線性系統(tǒng)理論第一章

1、1第一章第一章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)空間描述是狀態(tài)空間描述是6060年代初年代初, ,將力學(xué)中的相空間將力學(xué)中的相空間法引入控制系統(tǒng)的研究中而形成的描述系統(tǒng)方法，法引入控制系統(tǒng)的研究中而形成的描述系統(tǒng)方法，它是時(shí)域中最詳細(xì)的描述方法。它是時(shí)域中最詳細(xì)的描述方法。 給出了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息給出了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息 形式上簡潔，便于用數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算形式上簡潔，便于用數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算。21. 1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型例例1.1 1.1 考慮電路考慮電路列出電路方程列出電路方程R1u(t)Lcicuc+_R2+_uR2li3dtdiLiRulcc2)()(1

2、tudtdiLiiRlcldtducicc 右方程右方程左方程左方程clcudtdiLdtducR2)(11tuiRdtdiLdtducRllc整理得整理得dtducdtdil以以和為待定變量求解上述方程，得4)()(1)()(12121121tucRRicRRRucRRdtduLcc)()()()(2122121211tuRRLRiRRLRRuRRLRdtdiLcL)()( )(1)( )()( )(12122121212112121tuRRLRcRRiuRRLRRRRLRcRRRRRiuLcLc寫成向量形式5導(dǎo)出輸出方程：)(21221212122tuRRRiuRRRRRRRuLcR把 稱

3、為系統(tǒng)狀態(tài)變量。系統(tǒng)的狀態(tài)定義為表現(xiàn)系系統(tǒng)的狀態(tài)定義為表現(xiàn)系統(tǒng)時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組統(tǒng)時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組。Lciu , 在一般情況下，一個(gè)有r個(gè)輸入 m個(gè)輸出的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，可以描述為2Ru為輸出變量。6若 A,B,C,D 為常數(shù)，則稱系統(tǒng)為定常系統(tǒng)，記為（A,B,C,D）x 是 狀態(tài)變量，1nu1r1m輸出向量。是輸入向量，y是表示參數(shù)隨時(shí)間發(fā)生變化，稱為時(shí)變系統(tǒng))(),(),(),(tDtCtBtAutBxtAx)()(utDxtCy)()(狀態(tài)方程：輸出方程：(1-1)7rmnuuuuyyyyxxxx212121 XxUuYyTt狀態(tài)空間狀態(tài)空間輸入空間輸入空間輸出空間輸

4、出空間時(shí)間集時(shí)間集8建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型有兩種方法：建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型有兩種方法：機(jī)理建模辨識(shí)建模BACDu+dtx+Yx 91. 2 1. 2 解空間解空間定理定理1.1（解的存在與唯一性定理）初值為)(0txx ，則方程有唯一解。先研究0u情況，此時(shí)狀態(tài)方程變?yōu)閤Ax 00)(xtx （1-2）對(duì))(),(, ()(tutxtftx，若 f 在 T上滿足Lipschitz條件，（1-2）稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)1.2.1 零輸入系統(tǒng)10ttdxAtxx0)()()(000t t,)(t ),()()(HttAt（1-3）其中 為非奇異實(shí)常數(shù)值矩陣。H可以證明 有且僅有 個(gè)線性無關(guān)的解。任

5、意選取 個(gè)線性無關(guān)的解，并以它們?yōu)榱袠?gòu)成 矩陣函數(shù) ，則 為 的一個(gè)基本解陣。nnnn)( t)(tAxx Axx 11定義定義1.2： 的解陣 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。),(0tt由（1-3）和（1-5）得)()(),(010tttt狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有下列的特性：),(),(sstt),(),(1tsst),(),(),(1122stttst)(),(),(tAtsts),(0tt定義定義1.1：若00),()(xtttx (1-4)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱000t tI,(0) ),(),(ttAtt(1-5)滿足12定理定理1.2：零輸入響應(yīng)系統(tǒng)(1-2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為證明：tsdeeAtAtAst

6、)()()(),(tsdeeAtA)()(), ()(sttA 證畢。對(duì)于時(shí)候 和 ，若 滿足條件 時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可寫為1t2t)(tA)()()()(1221tAtAtAtA32)(! 31)(! 21)( )(exp),(tstststsdAdAdAdAstddeeAAdAstststs)( )()(),(1-6)13定理定理1.3：設(shè) K 為某個(gè)正常數(shù)，如果對(duì)所有的 t 有 ，則對(duì)所有的 t 和 s 有KtA)(stKstexp),(證明：設(shè) s 固定且 ts，因?yàn)?且),(ss),()(),(sttAst將上式從 s 到 t 積分，得tsdsAst),()(),(取范數(shù)為dsKdsA

7、sttsts),(1),()(1),(14應(yīng)用格郎瓦別爾曼不等式得stKstexp),(證畢。 由這個(gè)定理知，若系統(tǒng)的參數(shù)矩陣是有界的，則它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣也是有界的。1.2.2 非齊次方程的解utBttxtAttxtt)(),()(),(),(000由性質(zhì)4得utBttxttdtd)(),(),(00 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，很容易求出 時(shí)的狀態(tài)軌跡表達(dá)式0u15dBBttxxtttt)()(),(),(0000則有ttudBtxttx0)(),(),(00(1-7)(1-7)中第一項(xiàng)為 u = 0 時(shí)由初始狀態(tài) 引起的效應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)是當(dāng)系統(tǒng)初態(tài) 時(shí)由輸入 u 引起的效應(yīng)，稱為零

8、狀態(tài)響應(yīng)。 )(0tx0)(0tx從 到 t 積分后成為0t 由(1-5)、(1-7)可知要求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，關(guān)鍵是求出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。對(duì)于一般的時(shí)變系統(tǒng)，這是一件困難的事情，大多只能依靠數(shù)值解法。161.2.3 脈沖響應(yīng)陣 在狀態(tài)空間模型下，只要有了系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡表達(dá)式(1-7)，可由輸出方程(1-1)求得輸出 y 的表達(dá)式)()()()(),()(),()( )()(000tutDduBttCxtttCutDxtCytt 第1項(xiàng)是在 u = 0 時(shí)由初始狀態(tài) 后引起的狀態(tài)響應(yīng)在輸出中的反映，稱為零輸入響應(yīng)；第2項(xiàng)和第3項(xiàng)是初始狀態(tài) 時(shí)由 u 后引起的狀態(tài)響應(yīng)及 u 本身在輸出中的反映

9、，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。0 x00 x（1-8）17若成立ttt, 0)(1)(lim)(0dttdtt則稱 為作用時(shí)刻為 的單位脈沖函數(shù)。定義定義1.31.3 對(duì)單輸入單輸出連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)，零初始狀態(tài)下以單位脈沖為輸入的系統(tǒng)輸出響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)，表為 。)(t)(th)(th具有屬性tth和 , 0)(18 很顯然，對(duì)于單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)初始狀態(tài)為0，則系統(tǒng)在任意輸入 u 作用下基于脈沖響應(yīng)的輸出響應(yīng)y(t) 的關(guān)系式為00 ,)()()(ttduthtytt證明：略。對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，用 表示系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。 ),(th),( ),( ),(),( ),( ),(),(21112

10、11ththththththtHmrmmr(1-9)定義定義1.4 對(duì) r 維輸入 m 維輸出的連續(xù)線性時(shí)變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣定義為零初始狀態(tài)條件下以脈沖響應(yīng) 為元構(gòu)成的一個(gè) 輸出響應(yīng)矩陣),(thijrm ), 2 , 1 ;, 2 , 1(rjmi19由脈沖響應(yīng)矩陣定義，有)()()(),()( )()()()(),()(),(ttDBttCttDdtBttCtHt(1-10)（1-10）式為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與脈沖響應(yīng)矩陣之間的關(guān)系。 對(duì)于容許的任意輸入 u ，利用 函數(shù)的性質(zhì)將其表示為ttdtuu0)()(這就是系統(tǒng)對(duì)任意輸入 u 的響應(yīng)。那么由式 (1-8) 即可寫出在初態(tài) 下的輸出00)

11、(xtxttdutHxtttCy0)(),(),()(00(1-11)201.3 1.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析線性時(shí)不變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析令 即無外部輸入，導(dǎo)出自治運(yùn)動(dòng)方程為：0)(tu00)(xtxAxx (1-12)3322)(! 3)(! 2)(),(stAstAstAIst)(0)(!1)(stAkkkestAkstAtA)(令式(1-6)中的參數(shù)矩陣 為常數(shù)矩陣，積分得或(1-13)21在（1-13）式對(duì)t微分后得AeAeedtdstAstAstA)()()( 由于定常系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)矩陣不隨時(shí)間的起點(diǎn)不同而變化，不妨設(shè) s = 0. 于是即有)()0 ,(tetAt)()(tAtI)0(

12、是方程（1-12）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。顯然它有性質(zhì))(t22I)0()()(1tt)()()(2112tttt)()(kttk1.3.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的算法（1）定義法）定義法3322! 31! 21tAtAAtIeAt(1-14) 利用定義法，只能得到 的數(shù)值結(jié)果，難以得到 的解析表達(dá)式.AteAte（2）特征值法）特征值法 給定 矩陣 A ，且其 n 個(gè)特征值 兩兩相異，A 的各個(gè)特征值的右特征向量組成變換陣為nnn,2123nvvvP 21 的算式為Ate11PeePettAtn(1-15)若 A 的特征值屬于包含重值情形。為設(shè)符號(hào)不致過于復(fù)雜，設(shè) n = 5 ,特征值 （重?cái)?shù)為 3 ），（

13、重?cái)?shù)為2）。由A 的廣義特征向量組所構(gòu)成的變換陣為Q12Ate的算式為24122221111110000000000000000! 21QeteeeteeetteeQetttttttttAt（3）求預(yù)解矩陣法）求預(yù)解矩陣法11)(AsILeAt證：證：1322)()(AsIsAsAsIeLAt對(duì)上式兩邊求拉普拉斯變換，即得證。25例例 1.2 給定一個(gè)連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)，其自治狀態(tài)方程為解:（1）定義法。由算式（1-14）得xx31202222222222273123321 272333201001 !21tttttttttttttttAAtIeAt26（2）特征值法2 , 1211112 211

14、11ppttttttttttttAteeeeeeeeeepeepe22221222 111221112127（3）求預(yù)解矩陣法求預(yù)解矩陣法)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1() 3(321)(11ssssssssssssAsI)2(2) 1(1)2(2) 1(2)2(1) 1(1)2(1) 1(2ssssssssttttttttAteeeeeeeeAsILe2222112222)(281.3.2 狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：0)(00)(00 ,)(),(0ttdBuettxeuxttxtAttA0 212120102220)(0),0,0,(22)(2)()

15、(2)()(2)()(2)()(2)()(2)()(teeeedeeeetdteeeeeeeetdBuetuttttttttttttttttttA對(duì)于例(1.2)， , 設(shè) 為單位階躍響應(yīng)，可以得出狀態(tài)響應(yīng))( , 0)0()0(21tuxx10B291.3.3 脈沖響應(yīng)矩陣和狀態(tài)空間描述對(duì)于連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)DuCxyttxtxBuAxx000 ,)( ,其中，A,B,C,D分別為 和 的實(shí)常數(shù)陣，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣為nrnnnm , ,rm或)()()()()(tDBCetHtDBCetHAttA(1-16)（1-16）式由（1-10）容易得出。301.4 1.4 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的離散化連續(xù)時(shí)

16、間線性系統(tǒng)的離散化圖1.1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)問題的提出現(xiàn)代計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)連續(xù)系統(tǒng)保持器采樣器 數(shù)字計(jì)算機(jī)D/AA/Du(t)y(t)u(k) 31離散化原則：離散化原則：1. 等間隔采樣，且采樣時(shí)間寬度 比采樣周期 T 要小得多，即 。TkTtkTttyky,0)()(2. 采樣周期要滿足香農(nóng)定理（Shannon）cs2)(jYicc圖1.2 連續(xù)信號(hào)的幅頻譜及其上限頻率32結(jié)論結(jié)論1：連續(xù)系統(tǒng) 的離散化模型為)(),(),(),(tDtCtBtA, 1 , 0 ),()()()() 1(kkukHkxkGkx(1-17)0)0( ),()()()()(xxkukDkxkCky系數(shù)矩陣存在如

17、下關(guān)系式kTtkTttDkDtCkCdBTkkTTkkHkTTkkG)()()()()(),) 1() 1()(),) 1()(證：連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為33令 則, 0 ,) 1(0tTktduBTkTkxkkx)()(),) 1(0) 1()0 , 1() 1(0)()(),)1()1( )()(),(0)0 ,(), 1(0kudBTkkTTkduBkTkTxkkk)()()()(kukHkxkGduBtttxtttx)()(),(),()(000340)0( ),()() 1(xxkHukGxkx(1-18)()()()(kukDkCxky其中，系統(tǒng)矩陣G和H為ATeG BdteTHAt)0(結(jié)論結(jié)論2：連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng) (A,B,C,D) 的離散化模型為而對(duì)輸出方程離散化)()()()()(kukDkxkCky結(jié)論結(jié)論3：對(duì)（1-17）所