數(shù)列中的放縮法

1、 放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點(diǎn)內(nèi)容，在近是數(shù)列中的難點(diǎn)內(nèi)容，在近幾幾年的廣東高考年的廣東高考數(shù)列數(shù)列試題中都有考查試題中都有考查. .放縮法靈活多變，技放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)就太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)又放大一點(diǎn)點(diǎn)就太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)又太小太小”，這就讓同學(xué)們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得這就讓同學(xué)們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得高不可攀！高考命題專家說：高不可攀！高考命題專家說：“放縮是一種能力放縮是一種能力. .” 如何如何把握放縮的把握放縮的“度度”，使得放縮，使得放縮“恰到好處恰到好處”，這正是放縮，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在

2、！法的精髓和關(guān)鍵所在！其實(shí)，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，其實(shí)，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是放縮法也是“有法可依有法可依”的的，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列問題中一些常問題中一些常見見的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無限魅力！開其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無限魅力！一一. 放縮目標(biāo)模型放縮目標(biāo)模型可求和可求和2311111 ()2222nnN求證：例例1 1231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2231232 ()2

3、122232nnnnN求證：變變式式3 31(niiak k為常數(shù)）形形（一一）如如不等式左邊可用等比數(shù)列前不等式左邊可用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和項(xiàng)和公式求和.分析分析左邊左邊11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnN求證：例例1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和不等式左邊可用不等式左邊可用“錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法”求和求和.分析分析由錯(cuò)位相減法得由錯(cuò)位相減法得 222nn2231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和231232222nn左邊不能直接求和

4、，須先將其通項(xiàng)放縮后左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，如何放縮？求和，如何放縮？分析分析2311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2將通項(xiàng)放縮為將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列等比數(shù)列注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n 12311112222n左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，如何放縮？如何放縮？分析分析注意到注意到222nn2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 3231232222nn左邊22nnnnn將通項(xiàng)放縮為將通項(xiàng)放縮為 錯(cuò)錯(cuò)位相減位相減模型模型【方法總結(jié)之一方法總

5、結(jié)之一】201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問求證：例例2 222211112 ()23nnN求證：變變式式1 12221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 222211151()233nnN求證：變變式式3 3左邊可用左邊可用裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法求和，先求和再放縮求和，先求和再放縮.分析分析11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問求證：例例2 2表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和111111(1)

6、()()23352121nn左邊1111()(21)(21)2 2121nnnn左邊不能求和，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為左邊不能求和，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消模裂項(xiàng)相消模型型后求和后求和.分析分析11 1n 22 ()n保留第一項(xiàng)，保留第一項(xiàng)，從從第二項(xiàng)第二項(xiàng)開開始放縮始放縮111111 (1)()()2231nn 左邊21n22211112 ()23nnN求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強(qiáng)，要達(dá)目的，須將強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度”進(jìn)行修正，如何修正？進(jìn)行修正

7、，如何修正？分析分析2221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留前兩項(xiàng)，從保留前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)第三項(xiàng)開始放縮開始放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊111142n 714n374()n211111111()()()223341nn 111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮的通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮. .當(dāng)當(dāng)n = 1, 2時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式1 1放縮的放縮的“度度”進(jìn)行修正，如何修正？進(jìn)行修正，如何修正？分析分

8、析2221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留第一項(xiàng)，保留第一項(xiàng)，從從第二項(xiàng)第二項(xiàng)開開始放縮始放縮思路二思路二22111nn左邊左邊11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 將通項(xiàng)放得比變式將通項(xiàng)放得比變式1 1更小一點(diǎn)更小一點(diǎn).當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.變式變式3 3的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式2 2更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式式2 2放縮的放縮的“度度”進(jìn)一步修正，如何修正？進(jìn)一步修正，如何修正？分析分析保留前

9、兩項(xiàng)，保留前兩項(xiàng)，從從第三項(xiàng)第三項(xiàng)開開始放縮始放縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()()22243511nn 22211151()233nnN求證：變變式式3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮思路二中通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮.當(dāng)當(dāng)n = 1, 2時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.變式變式3 3的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式2 2更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式式2 2放縮的放縮的“度度”進(jìn)一步修正，如何修正？進(jìn)一步修正，如何修正

10、？分析分析保留保留第一第一項(xiàng)，項(xiàng)，從從第第二項(xiàng)二項(xiàng)開始開始放縮放縮思路二思路二22144nn左邊左邊1112()321n 1123 253()n11111112 ()()()35572121nn 112()2121nn(2)n 將通項(xiàng)放得比變式將通項(xiàng)放得比變式2 2思路二更小一點(diǎn)思路二更小一點(diǎn).22211151()233nnN求證：變變式式3 32441n當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.評注評注【方法總結(jié)之二方法總結(jié)之二】 放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過程放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過程中，很多時(shí)候要中，很多時(shí)候要“留一手留一手”， 即采用即采用“有所保留有

11、所保留”的方法，的方法，保留數(shù)列的第一項(xiàng)或前兩項(xiàng)，從數(shù)列的第保留數(shù)列的第一項(xiàng)或前兩項(xiàng)，從數(shù)列的第二項(xiàng)或第三項(xiàng)開始放縮二項(xiàng)或第三項(xiàng)開始放縮，這樣才不致使結(jié)果放得過，這樣才不致使結(jié)果放得過大或縮得過小大或縮得過小. .牛刀小試牛刀小試（變式練習(xí)（變式練習(xí)1 1）*22211151()35(21)4nnN求證：證明證明21(21)n111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn 14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.a202(1),(1)nnan nbn1122111512nnababab1

12、1(1)(21)nnabnn故故1111 111111()62 23341niiiabnn51122(1)5.12n(2)n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 也成立也成立 1n 156121 11()212 (11)nnnna21na221nnna 1(1)3niiia a當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 也成立也成立 1n 2322(1)(21)(21)(21)(22)iiiiiiiiaa 111211(2)(21)(21)2121iiiiii21111111(1)2()()33(2)2 121212121niinnnia ana22常見的裂項(xiàng)放縮技巧：常見的裂項(xiàng)放縮技巧：)1(212n22112)1(2nnnnnn

13、nnn)2(121121) 12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(21112nnnnnnnnnnnnnn)3()111(2) 1(21212) 1(1)(1) 11 (12n21210 nnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111) 1(111) 1(11111211212) 12)(12(4144441111121) 1)(1(11112222224.1.3.5.6.2.右邊保留右邊保留第一項(xiàng)第一項(xiàng)1111231001111231(2009200)0S 珠海二求模理第(2)的整.問例數(shù)部分3 3122nn21nn2(1

14、)nn21nn 2(1)nn 1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路為了確定為了確定S的整數(shù)部分，的整數(shù)部分，必須必須將將S的值放縮在相鄰的兩個(gè)的值放縮在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間整數(shù)之間. .分析分析思路思路左邊32nn211111333n 22331(2011113()3232322193(3)22nnnN求廣東理第：問證例例4 4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型23 1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n分析分析左邊左邊32n21111(1)733n 2311111

15、7()3214323232nnN求證：例例4 4 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留第一項(xiàng)，從保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)第二項(xiàng)開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項(xiàng)的方法將通項(xiàng)也放縮為也放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.【方法總結(jié)之三方法總結(jié)之三】a27na221nnna 1(1)3niiia a21112111(1)(2)22 21222222iiiiiiiiiaai故故211

16、1111(1)233(2)2222niinnia an當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 也成立也成立 1n 23(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nn N全國求：例證5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n 思路思路nT nR123nnTbbbb123nnRcccc1( )niiaf n二形形（）如如證明證明(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1)n n1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n評注評注用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！【方法總結(jié)之四方法總結(jié)之四】二二. 放縮目標(biāo)模型放縮目標(biāo)模型可求積可求

17、積135211()24(2060922121 (2) )nnnn N求證東理：例廣第問6 6思路思路135211246221nnn nB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三（形形如如）證明證明212nn22141nn21()21nnnN1352135721nn左邊121n【方法總結(jié)之五方法總結(jié)之五】牛刀小試牛刀小試（變式練習(xí)（變式練習(xí)2 2）(1998(1998全國理全國理2525第第(2)(2)問問) )*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnN求證：證明證明31(1)32n313113232nnn 333334710313114732nnn23331132(3

18、2)(32)nnn 33113232nnn 左邊課堂小結(jié)課堂小結(jié) 本節(jié)課我們一起研究了本節(jié)課我們一起研究了利用放縮法證明數(shù)列不等利用放縮法證明數(shù)列不等式式，從中我們可以感受到在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，從中我們可以感受到在平時(shí)的學(xué)習(xí)中有意識地去有意識地去積累積累總結(jié)總結(jié)一些常用的一些常用的放縮模型和放縮模型和放縮方法非常必要放縮方法非常必要，厚積薄發(fā)，厚積薄發(fā)，“量變引起質(zhì)變量變引起質(zhì)變”. . 當(dāng)然，要想達(dá)到爐火當(dāng)然，要想達(dá)到爐火純青的深厚功力，還必須在實(shí)踐中不斷去感悟，仔細(xì)純青的深厚功力，還必須在實(shí)踐中不斷去感悟，仔細(xì)揣摩其方法，逐步內(nèi)化為自己個(gè)人的揣摩其方法，逐步內(nèi)化為自己個(gè)人的“修為修為”. . 南宋