四種命題與充要條件

1、常用邏輯用語(yǔ)與充要條件【高考考情解讀】1.本講在高考中主要考查集合的運(yùn)算、充要條件的判定、含有一個(gè)量詞的命題的真假判斷與否定，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)綜合在一起考查.2.試題以選擇題、填空題方式呈現(xiàn)，考查的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，題目難度中等偏下1命題的定義用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以 判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題2 四種命題及其關(guān)系(1)原命題為“若p則q”，則它的逆命題為若q則p ；否命題為若p則q ；逆否命題為若q則p .(2)原命題與它的逆否命題等價(jià)；逆命題與它的否命題等價(jià)四種命題中原命題與逆否命題同真同假，

2、逆命題與否命題同真同假，遇到復(fù)雜問(wèn)題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理，即，可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假命題真假判斷的方法：(1)對(duì)于一些簡(jiǎn)單命題，若判斷其為真命題需推理證明若判斷其為假命題只需舉出一個(gè)反例(2)對(duì)于復(fù)合命題的真假判斷應(yīng)利用真值表(3)也可以利用“互為逆否命題”的等價(jià)性，判斷其逆否命題的真假3充分條件與必要條件的定義(1)若pq且qp，則p是q的充分非必要條件(2)若qp且pq，則p是q的必要非充分條件(3)若pq且qp，則p是q的充要條件(4)若pq且qp，則p是q的非充分非必要條件設(shè)集合ax|x滿足條件p，bx|x滿足條件q，則有(1)若ab，則p是q的充分條件，若

3、ab，則p是q的充分不必要條件；(2)若ba，則p是q的必要條件，若ba，則p是q的必要不充分條件；(3)若ab，則p是q的充要條件；(4)若ab，且ba，則p是q的既不充分也不必要條件2充分、必要條件的判定方法(1)定義法，直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)傳遞法(3)集合法：若p以集合a的形式出現(xiàn)，q以集合b的形式出現(xiàn)，即ax|p(x)，bx|q(x)，則若ab，則p是q的充分條件；若ba，則p是q的必要條件；若ab，則p是q的充要條件(4)等價(jià)命題法：利用ab與ba，ba與ab，ab與ba的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法，利用原命題和逆否命題是等價(jià)的這個(gè)結(jié)論，

4、有時(shí)可以準(zhǔn)確快捷地得出結(jié)果，是反證法的理論基礎(chǔ)1 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的“且”、“或”、“非”叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞(2)簡(jiǎn)單復(fù)合命題的真值表：pqpqp或qp且q(p或q)(p且q)p或qp且q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2. 全稱量詞與存在量詞(1)常見(jiàn)的全稱量詞有“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等(2)常見(jiàn)的存在量詞有“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”“有一個(gè)”“某個(gè)”“有的”等3 全稱命題與特稱命題(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題4 命題的否定(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題

5、的否定是全稱命題(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.注：1 邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的含義邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”的含義，與并集概念中的“或”的含義相同如“xa或xb”，是指：xa且xb；xa且xb；xa且xb三種情況再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三種情況2 命題的否定與否命題“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論命題的否定與原命題的真假總是對(duì)立的，即兩者中有且只有一個(gè)為真，而原命題與否命題的真假無(wú)必然聯(lián)系3 含一個(gè)量詞的命題的否定全稱命題的否定是

6、特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題1(2013皖南八校)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()a“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”b“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”c“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”d“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析依題意得原命題的逆命題是：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)選b.2 (2012湖北)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()a任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)b任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)c存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)d存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)答案b解析 這是一個(gè)特稱命題，特稱命題的否定不僅

7、僅要否定結(jié)論而且要將相應(yīng)的存在量詞“存在一個(gè)”改為全稱量詞“任意一個(gè)”，故選b。 2已知a，b，cr，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是()a若abc3，則a2b2c23b若abc3，則a2b2c2y，則x|y|”的逆命題b命題“若x1，則x21”的否命題c命題“若x1，則x2x20”的否命題d命題“若x20，則x1”的逆否命題答案a解析對(duì)于a，其逆命題：若x|y|，則xy，是真命題，這是因?yàn)閤|y|，必有xy；對(duì)于b，否命題：若x1，則x21，是假命題如x5，x2251；對(duì)于c，其否命題：若x1，則x2x20，因?yàn)閤2時(shí)，x2x20，所以是假命題；對(duì)于d，若x20，則x0或x1，

8、因此原命題的逆否命題是假命題，故選a.2已知命題p：nn,2n1 000，則p為()ann,2n1 000 bnn,2n1 000cnn,2n1 000 dnn,2n1 000解析特稱命題的否定是全稱命題即p：xm，p(x)，則p：xm，p(x)故選a.答案a4 (2012湖北改編)命題“存在x0rq，xq”的否定是()a存在x0d/rq，xq b存在x0rq，xd/qc任意xd/rq，x3q d任意xrq，x3d/q答案d解析“存在”的否定是“任意”，x3q的否定是x3d/q.命題“存在x0rq，xq”的否定是“任意xrq，x3d/q”，故應(yīng)選d.1 (2011安徽)命題“所有能被2整除的整

9、數(shù)都是偶數(shù)”的否定是 ()a所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)b所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)c存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)d存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案d解析由于全稱命題的否定是特稱命題，本題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”是全稱命題，其否定為特稱命題“存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”2 (2012遼寧改編)已知命題p：對(duì)任意x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，則p是()a存在x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0b對(duì)任意x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0c存在x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0d對(duì)任意x1，x2r，(f(

10、x2)f(x1)(x2x1)0答案c解析p：存在x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)1”的否定是()a對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x1b不存在實(shí)數(shù)x，使x1c對(duì)任意實(shí)數(shù)x ，都有x1d存在實(shí)數(shù)x，使x1答案c解析利用特稱命題的否定是全稱命題求解“存在實(shí)數(shù)x，使x1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x1”故選c.11給出以下三個(gè)命題：若ab0，則a0或b0；在abc中，若sin asin b，則ab；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0的解集為，故由x2x2x10，但2x2x10d/x，故選a.(2) 在abc中，由正弦定理得sin asin babab.故選b.6 下列結(jié)論：若命題p：

11、存在xr，tan x1；命題q：對(duì)任意xr，x2x10.則命題“p且q”是假命題；已知直線l1：ax3y10，l2：xby10，則l1l2的充要條件是3；命題“若x23x20，則x1”的逆否命題：“若x1，則x23x20”其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)答案解析中命題p為真命題，命題q為真命題，所以p且q為假命題，故正確；當(dāng)ba0時(shí)，有l(wèi)1l2，故不正確；正確所以正確結(jié)論的序號(hào)為.5 下列命題中正確命題的序號(hào)是_若ac2bc2，則ab；若sin sin ，則；“實(shí)數(shù)a0”是“直線x2ay1和直線2x2ay1平行”的充要條件；若f(x)log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)答案解析對(duì)于，ac2bc2，c20，

12、ab正確；對(duì)于，sin 30sin 150d/30150，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，l1l2a1b2a2b1，即2a4aa0且a1c2a2c1，所以對(duì)；對(duì)于顯然對(duì)6 已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)答案3,8)解析因?yàn)閜(1)是假命題，所以12m0，解得m3；又因?yàn)閜(2)是真命題，所以44m0，解得m8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是3m0”的否定是“x0r,2x00”答案d解析對(duì)a，只有當(dāng)p，q全是真命題時(shí)，pq為真；對(duì)b，sin 2k或2k，kz，故“sin ”是“”的必要不充分條件；對(duì)c，l，l或l；對(duì)d，全稱命題的否定是特稱命題，故選d.15給出

13、下列四個(gè)命題：命題“若，則cos cos ”的逆否命題；“x0r，使得xx00”的否定是：“xr，均有x2x0”的否定應(yīng)是：“xr，均有x2x0”，故錯(cuò)；對(duì)，因由“x24”得x2，所以“x24”是“x2”的必要不充分條件，故錯(cuò)；對(duì)，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故正確10給出下列命題：xr，不等式x22x4x3均成立；若log2xlogx22，則x1；“若ab0且c”的逆否命題；若p且q為假命題，則p，q均為假命題其中真命題是()a b c d答案a解析中不等式可表示為(x1)220，恒成立；中不等式可變?yōu)閘og2x2，得x1；中由ab0，得，而c1，則mx22(m1)xm30

14、的解集為r”的逆命題其中真命題是_(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填在橫線上)解析：原命題為真，而它的逆命題、否命題不一定為真，互為逆否命題同真同假，故錯(cuò)誤，正確又因?yàn)椴坏仁絤x22(m1)xm30的解集為r，由m1.故正確答案：3設(shè)x，yr，則“x2y29”是“x3且y3”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件答案b解析 結(jié)合圖形與性質(zhì)，從充要條件的判定方法入手如圖：x2y29表示以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上及圓外的點(diǎn)，當(dāng)x2y29時(shí)，x3且y3并不一定成立，當(dāng)x2，y3時(shí)，x2y29，但x3且y3不成立；而x3且y3時(shí)，x2y29一定成立，故選b. 一個(gè)命

15、題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時(shí)要注意對(duì)于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于進(jìn)行充要條件判斷實(shí)際上就是判斷兩個(gè)命題的真假，這里要注意斷定一個(gè)命題為真需要進(jìn)行證明，斷定一個(gè)命題為假只要舉一個(gè)反例即可4“a0”是“|a|0”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析因?yàn)閨a|0a0或a0|a|0，但|a|0a0，所以a0是|a|0的充分不必要條件，故選a.50x5是不等式|x2|4成立的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解

16、析由|x2|4，得2x6。0x5是2x”是“2x2x10”的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件3 (2013福建)已知集合a1，a，b1,2,3，則“a3”是“ab”的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件答案a解析a3時(shí)a1,3，顯然ab.但ab時(shí)，a2或3.所以a正確6 (2013陜西)設(shè)a，b為向量，則“|ab|a|b|”是“ab”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件答案c解析由|a|b|cosa，b|a|b|，則有cosa，b1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a與 b同向或反向，所以a，b0或，所以|ab|a|b|.(1)已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0，且q是p的充分條件，則a的取值范圍為_(kāi)【解析】設(shè)q，p表示的范圍為集合a，b，則a(2,3)，b(a4，a4)因