高三數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)人教版知識(shí)精講

1、高三數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)人教版【本講教育信息】教學(xué)內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.yu2.本周教學(xué)重、難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)u (X)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux (x)， y f (u)，則f( (x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且yx 對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1f (u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)ux或 fx( (x) f (u)(x)yu3.(1) (lnx)x指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (ex)ex(2)(log ax)-log a e x(ax)In a【典型例題】例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(4)(x22x)31(sin x2)3(2)(5)(6)x3log3 x(7)e54x2(3

2、)y 3 ax2 bx c解:(1)(2)3uu e(3)u23u3(x25 4x2e(4)yuuvVx(5)(6)(7)ln(x .1 cos5x sin2xx2)22x) (2x 2)6(x8x1 ( 2(ax31u3x .1 x2(x13x2 log 31)(x22x)22bx c) 3 (2ax b)23 cosv (2x)訥X2)2cosx2x2x cosx223(si nx2)31 x2)12、1W1_1_- 1 x2(12xx2)啟)log3ex(cos5x) sin 2x cos5x(sin 2x)(1x32呱儆3)(cos5x)sin 2x5sin5x sin 2x 2cos

3、5x cos2x2(sin 2x)(sin 2x)2例2若 f (x)x In( x5)，g(x)In (x11解:f (x)1g (x)x 5x 1f (x)g(x)1 11x 5x 1x 5或x 1兩函數(shù)定義域?yàn)?)解不等式f (x) g (x). (x 3)2(x 5)(x 1)x 50 x 5x10解集為(5,)例3設(shè)曲線y 求切線I的方程。解：y- y(x0)在點(diǎn)t)處的切線l與x, y軸圍成的三角形面積為s(t),(etx)eet(xt)y lx tt e x(t 1)例5將水注入錐形容器中， 求當(dāng)水深為5m時(shí)，水面上升的速度。例4曲線y e2xcos3x在(o, 1)處的切線與I

4、的距離為一 5,求I的方程。 解：y(e2x) cos3x e2x(cos3x)2e2x cos3x 3( sin 3x)e2x2e2xcos3x 3e2x sin3x曲線在(0, 1)處的切線的斜率 k y lx 02切線方程為y 1 2x、Im 1| 廠設(shè)I的方程為y 2 x m d v 5 m 4或6當(dāng)m 4時(shí)，I為：y 2x 4當(dāng)m 6時(shí)，I為：y 2x 6其速度為4m3/min，設(shè)錐形容器的高為8m，頂口直徑為6m ,解：設(shè)注入水t min后，水深為3hm，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得水面直徑為hm，413264這時(shí)水的體積為V -(3h)2 h38由于水面高度h隨時(shí)間t而變化，因而

5、h是t的函數(shù)h h(t)由此可得水的體積關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為Vt Vh ht(3 h3) ht9 h2 ht6464由假設(shè)，注水速度為 4m3/min924 64- Vt 9 h2 ht 4即 ht 4649 h二當(dāng)h 5m時(shí)，水面上升的速度為:4 64256225(m/ min)例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y2(x)(2) y1(x 5)2(x 叭(2)5(x 4)。(x解:(1)：兩邊取對(duì)數(shù)得In y1丄冋122(x)兩邊求導(dǎo)得:y_y(x) (x)12(x)(x) (x)2(x)(x)2(x) 11(x)2(x)4)(x) (x)12(x)(2)V y 0兩邊取對(duì)數(shù):In在上式兩邊求導(dǎo)得整

6、理后得y 14)空2)5(x 4戶15) ln(x313(x 4)ln(x 5)2(x(x2ln(x2x 515)2(x 4)3(x 2)5(x14)24)5ln(x 2)12(x4)1An (x 4)213(x 4)x 22(x 4)求證：兩曲線在公共點(diǎn)處相切。證明：設(shè)兩曲線公共點(diǎn)為(X。，y )貝卩 yf(x), yf (x0) sin ax0即 f (Xo)f (Xo)sin axo sin ax01 ax02k -(k Z)2 x1 (2k-) ( ka2Z )對(duì)y1f (x)有 y1f (x)對(duì)y2f (x)sin ax 有 y2f (x) s in (ax)af (x) cosax

7、y1|x x0f (x0)y2 lxx f (x)sinaxaf(x0)cosax0f (x0)sin(2k)af (x0) cos(2k)f (x)例7已知曲線y f (x)與yy1 |x X。y2 |x X。-兩曲線彼此相切f (x) sinax(a 0)，其中f(x) 0，且都為可導(dǎo)函數(shù),例 9已知 f (x) In(ex 解：設(shè) y In(ex a) /. x In(ey a)a)(a0)求ey1(x) In(f (x)的反函數(shù) ae a)(xx eIn a)yeyf 1(x)及 f (x)af (x) In(ex a)f (x) In(ex a)x-(eaa)xexe a例8設(shè)曲線y

8、 x2 x 1 Inx在x 1處的切線為I，數(shù)列an中ai 1，且點(diǎn) (an ,an 1 )在 I 上。(1)求證:數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an;(2)求an的前n項(xiàng)和Sn。(1)證明:由y x2x1 In x 得 x1 時(shí)，y 3又- y 12 x 1切線方程為y32(x1)即 y 2x 1( an? an1)在切線I上an 12an 1則 an 112(an 1)即 an 11an 12 an1是以a112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 an 12 2n 1 即 an2n 1(2)解：由(1)知 Sn a1a21an21 22 12n1(22n、2(1 2n)n1 2n22 ) n2(21)

9、 n2n 1 n 2an的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 n 2【模擬試題】.選擇：1函數(shù)y(3x4)2的導(dǎo)數(shù)是( )A.4(3x2)B. 6x C.6x(3x4) D. 6(3x4)2.已知 f (x) cos(2xA.3)，則 f13.函數(shù)y2 B. 2 C.1的導(dǎo)數(shù)是 a x(-)等于(D. 012(a32)2D.1 z 22(a3X2/4. ysin ( 33x)在 x 3處的切線方程是()A.33y(x)B.y2223C.333y(x-)D.y22325.若f(x) (12 x1)5 ,則f (0)等于()2A.xx(a23x2)2 C.2 2a xB.3(x2(xA. 5 B. 20 C.

10、 40 D. 06.已知 f (x) In (In x)，則 f (e)等于()A. 0 B. 1 C.7.已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 yA.ln(1x)B.D. e 11 ，則這個(gè)函數(shù)可能是(2(x 1)1y ln C.J xy ln . 1 x D.1ln1 x8.函數(shù)f(x)log 2A.1x21B.1 x的導(dǎo)數(shù)f (x)等于( ,1 x王C1 x2Iog2ex21D.1.解答：首先指出下列函數(shù)是怎樣復(fù)合的,然后求導(dǎo):2.3.2x log 2 ex25(1) y (2x 1) ；( 2) y求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y(3) y已知曲線3 2axbx(3)1y (12x)5log2(x 1 x2)

11、ln- 11 x22x,sin 2x lnxC1： y x2 與 C2： y(4)2(x 2)，2ln sin (e x)直線I與G、a都相切，求直線l的方程。參考答案1. D2. D解析:f (x)sin(2x3)(f(3)2si n(2 3-)3C2x解析2 a2x2J2 2、2 (、a x )(a2B解析:y3cos(3x), y |3ysin ( 3)TD解析:f (x)5(1 、一 1x2)4(5(1, 1x2)5(1, 1x2)VT2 xf (0)524 0 0D1ln x解析:f (x)ln(ln x)CC解析:f (x)J .1(2log21x)xlog2 elog 22(1

12、x)2(13.4.5.6.7.8.2x 3)2S(2x3)2一2 一x(a2).a x3cos(3切線方程為yI.14丄(124xx2)1x2) 2(1(In x)1xln x1log 2 (1 x) 2ex)log2ex2-時(shí),3I(x 3)x2)1f (e)e1嚴(yán)2(1 x)(1) 解：設(shè) u 2x 1,則 y u5445(2x 1)210(2x1)2(2) 解：設(shè) u ax bx c，則 y yx1u?4yu ux 5u (2x1)1.yxyuUx1(ax2bx c)23 (2ax b)(2ax b)Vax2 bx c(3)解:12x, y5u , yxyuux5u3(ax22)bx c

13、)10(12x)62.解:(1)log2eq (xX , 1 Xlog 2 e_2 IX3.(2)(3)(4)由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，有-.1 x2)2 21(1 X )(1 x )X-2)1 X21丄l n(121(1Xlog2 e2X v 1 X log2 e1X2(1x2)ln(1x2)2 21 X 1 Xxsin 2x( )si n2xx2sin (e x)sin2(e x)2sin(e x) sin(e x)sin 2x2x2 Xcos2x 2 x芒)2x1 X4sin 2x 1x22cot 2 xsi n2(e x)2sin(e x) cos(e x) (e x)si n2(e x)2cot(e x)解：依題意，可