定積分的應用(面積)

1、2021/6/161第七節(jié)第七節(jié) 定積分的應用定積分的應用一一. .求平面圖形的面積求平面圖形的面積二二. .求幾何體的體積求幾何體的體積三三. .在經濟問題中的應用在經濟問題中的應用2021/6/162復習：定積分的幾何意義復習：定積分的幾何意義1A2A3A4A4321d)(AAAAxxfba Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值A一一. .求平面圖形的面積求平面圖形的面積2021/6/163ab)( xfxy0； baxxfAxfd)(,0)(ab)(xfxy0； baxxfAxfd)(,0)( .d)(A baxxf1.1.以以x軸為底

2、邊的曲邊梯形的面積軸為底邊的曲邊梯形的面積2021/6/164若若f (x)有正有負有正有負,則曲邊梯形面積為則曲邊梯形面積為.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab2021/6/165； bayyAyd)(,0)( ab)(yx xy0； bayyAyd)(,0)( .d)(A bayy 2.2.以以y軸為底邊的曲邊梯形的面積軸為底邊的曲邊梯形的面積b)(yx xy0a)(yx yxb a 2021/6/1663. 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x), y=g(x), 直線直線 x=a, x=b (ab)所圍成的平面所圍成的平面圖形的面積圖形的面積cxyoab)(xfy )(

3、xgy A cacaxxgxxfd )(d)( bcbcxxfxxgd)(d)( caxxgxfd)()( acxxfxgd)()( accaxxgxfxxgxfd)()(d)()( baxxgxfd)()(2021/6/1673. 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x), y=g(x), 直線直線 x=a, x=b (ab)所圍成的平面所圍成的平面圖形的面積圖形的面積cxyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(2021/6/168特別，特別， 時時,)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(2021/6/169,d)(dxxfA 面積元素面積

4、元素:由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y = f (x) ( f (x) 0), 直線直線 x=a, x=b (ab)及及x軸所圍成的平面圖形的面積軸所圍成的平面圖形的面積)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面積面積2021/6/1610由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x), y=g(x), 直線直線 x=a, x=b (ab)所圍成所圍成的平面圖形的面積的平面圖形的面積cxxx xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(,d)()(dxxgxfA 面積元素面積元素:2021/6/1611 dcyyyAd)()( 圍成的平面圖形的面積為圍成的平面圖形的面積為 ,)()(時時若

5、若特特別別，yy .d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 2021/6/1612計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解先求兩曲線的交點先求兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(選選x為積分變量為積分變量,1 , 0 xxxxAd)(210 103)332(23xx .31 2xy 2yx 例例1 1 xy 22yxxy能否選能否選y為積分變量為積分變量? ?2021/6/1613計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解先求兩曲線的交

6、點先求兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(選選y為積分變量為積分變量,1 , 0 yyyyAd)(210 103)332(23yy .31 2xy 2yx 例例1 1 22yxxyyx 2021/6/1614計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy 20d)2(2xxxA例例2 2 .18 82d)4(2xxx選選x為積分變量為積分變量,8 , 0 xxy2 xy2 2021/6/1615此題選此題選y為積分變量比較好為積分變量比較好, 422d)2

7、4(yyyA.18 20d)2(2xxxA 82d)4(2xxx選擇積分變量的原則：選擇積分變量的原則： (1)(1)盡量少分塊；盡量少分塊；(2)(2)積分容易。積分容易。4 xyxy22 4 yx22yx 42 y4232)642( yyy2021/6/161622xy 211xy 例例3 3 求求曲曲線線22xy , ,211xy 與與直直線線3 x所所 圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積. . xoy33 1 1解解 由對稱性由對稱性, 1022d)211(2xxxA.3233 交點交點,1 x 3122d)112(2xxx2021/6/1617例例4 4 求由拋物線求由拋物線1

8、)2(2 xy和與拋物線相切于縱坐和與拋物線相切于縱坐30 y處的切線及處的切線及x軸所圍成的平面圖形的面積軸所圍成的平面圖形的面積標標解解求導，得求導，得兩邊關于兩邊關于xxy1)2(2 )2(213 xy3 3 0 2d)42()2(1 yyyA 3 0 2d)96(yyy9)933(3023 yyy)2(213 xy1)2(2 xy50 4yx將將30 y帶入拋物線方程，得橫坐標帶入拋物線方程，得橫坐標20 x1)2(2 yy，代代入入20 x，得，得30 y21)2( y因此切線方程為因此切線方程為2)2(1 yx42 yx2021/6/1618?, 10,102和最小和最小圖中兩陰影

9、部分的面積圖中兩陰影部分的面積為何值時為何值時當當一點一點上的任上的任是區(qū)間是區(qū)間上上定義在定義在設設，ttxxy y = x2t12tyx11S2S21SSS 解解例例5 5 122022d)(d)(ttxtxxxt12303233ttxtxxxt ，313423 tt，令令0)12(224 2 ttttS10 t，得駐點得駐點21, 0: tt.21時兩面積和最小時兩面積和最小當當 t2021/6/1619練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx

10、 dAx1610 xeeAdx11233 2x xAdx3232021/6/1620練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。102Axx dx32123Axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 76.332 2021/6/16212 2222202Axxdx12221xdx一般地：如右圖中的陰影部分的面積為一般地：如右圖中的陰影部分的面積為 dcAfyg ydy練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。222,1yxyxy（6） 10

11、()2yAydy或或 22(1)322021/6/1622122222241yx24 2yx法一：以法一：以 y 作積分變量作積分變量 3223122414 2Axdxx dx法二：以法二：以 x 作積分變量作積分變量 221,244yxxy 22202(2)(1)44yyAdy22,4421xxyy（7） 練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。4 234 232021/6/16231A例例 5 求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。33cossinxatyat 1044aAAydx20422sin

12、c2s1ottadt 22022sin2s3inttdta22031 cos41 cos4att dt22031 cos4coscos4 cos4atttt dt23.8a03324sincosatd at解由圖形的對稱性可得解由圖形的對稱性可得偶次方化倍角偶次方化倍角 222333xya即即2021/6/1624作業(yè)：作業(yè)：1.(3)(5)(8)1.(3)(5)(8)2.2.1.1.選擇積分變量的原則：選擇積分變量的原則： (1)(1)盡量少分塊盡量少分塊(2)(2)積分容易。積分容易?？偨Y：總結：2.2.準確的作圖準確的作圖. .2021/6/1625 設設曲曲線線)(xfy 過過原原點點

13、及及點點)3 , 2(，且且)(xf為為單單調調函函數數，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導導數數，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點點作作兩兩坐坐標標軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程.備用題備用題1. 2021/6/1626解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩邊同

14、時對 求導求導x2021/6/1627yxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 ,2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調調函函數數所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 2021/6/1628xyO1 xy122 xy3421 1)3, 4(1 2.1122圖形的面積圖形的面積所圍成所圍成與直線與直線求由曲線求由曲線 xyxy解解 為確定積分限，解方程組為確定積分限，解方程組 1122xyxy. )3, 4()1, 0(，得交點得交點 312d)1(21)1(yyyS3132236121 yyy316 .積積分分對對 y2021/6/1629xyO1 xy122 xy3421 1)3, 4(1 此題如果選此題如果選 作積分變量，作積分變量，x 021d122xxS必須分成兩個部分，即必須分成兩個部分，即 40d)1(12xxx316 2021/6/16303.:)10(1:2221的值的值定定為大于零的常數，試確為大于零的常數，試確其中其中，分為面積相等的兩部分分為面積相等的兩部分所圍區(qū)域被曲線所圍區(qū)域被曲線軸軸