圓錐曲線上的動點與不動點一道習題的挖掘延伸和類比發(fā)散

1、思路一（設過，由PCD是以P為頂點的P 1,的直線）：設直線y =k x 13C 3、4k2 -12k -324k 3圓錐曲線上的動點與不動點一道習題的挖掘、延伸與類比發(fā)散PA :3 等腰三角形知：乙PCD二.PDC，從而k” kPB = 0，所以直線PB ： y = -k x -1 -2f3由y=k(x門+ 消去 y 得: (4k2+3X2+4(3k_2k2 X + 4k2 _12k_3 = 0，3x2 4y2 =12則：xA xP 二巡，由 xP =1 得:4k2+3P同理可得：24k +12k3XB24k2 3所以：kAB-yB k Xa Xb - 224k 312Xa _XbXa-Xb

2、-24k244k2 3思路二（設直線 AB）:設直線AB :y = kx + my =kx +m，由消去y 得:Qx2 +4y2 =12貝U Xa Xb =-由 kPA kPB =0 得:8 km2 ，4k 34m2 T2Xa Xb _ 4k234k2 3 x2 8kmx 4m2 -12 = 0,3 y+ m k_? |；xA+xB )2m+3 = 0所以：4k2 -8k 4km-2m 3 = 0= 2k-1 2k 2m-3 =0，故 k。思路二（小題小做，考慮特殊位置，點C落在原點）：當點C落在原點時，點B落在橢圓的右頂點， 此時由橢圓的對稱性易知：A 1,- i,從而思路三（小題小做，考慮

3、特殊位置，當點當點C與D重合時,（3 A與B重合，此時A 1, 1，直線AB為橢圓的切線, 2丿由橢圓的切線方程：XXo yy0 =1，代入點A4311方程為：y x - 2，故kAB -22思路四（改進思路三，當點C與點D重合）：當點C與D重合時,A處橢圓的切線，與 P點處橢圓的切線，兩直線斜率互為相反數(shù)，可求P處的切線，易求、通過例題及變式，你有何發(fā)現(xiàn)?2 2結(jié)論：過橢圓篤-爲=1上任一點P xo,yo （不在x軸上）引兩天斜率互為相反數(shù)（斜率a b存在）的直線與橢圓交于 A，B，則直線AB的斜率是。（并證明結(jié)論）當a例2.如圖，過拋物線 y = x上一點P 1,1作兩條直線PA，PB分別

4、交拋物線于點，直線AB的斜率為- 2。（I）證明：直線 PA的斜率與PB的斜率互為相反數(shù)；（n）若直線PA的斜率為k k 2，且ABP的內(nèi)切圓半徑為 2 5, =b2時，可得圓中相應結(jié)論；當 b2二-b2時，可得雙曲線中相應結(jié)論。三、學以致用例1. （ 1）如圖，點P 4,3為圓x2 y2 =25上一點，點E，F(xiàn)為y軸上的兩個點， PEF是以P為頂點的等腰三角形,直線PE，PF交圓于點C，則直線CD的斜率是（3A.22B.3C. 21D.2）2（2）已知橢圓C :二社a b1 (anbO )經(jīng)過點 P 3,16 i5丿3B，記PA，PB的斜離心率為（i）求 ABP的周長（用k表示）；（ii）求

5、直線 AB的方程。,過橢圓C的右焦點作斜率為k的直線丨交橢圓于點A，5率為k1， k2，則橢圓C的標準方程為 ，若k10，則k二（3）過拋物線y2 =2x上任一點P （不在x軸上）引兩條斜率互為相反數(shù)的直線與拋物線交于A , B，若kAB二-，則點P的坐標為。2類比發(fā)散:A , B為圓x 2A, B為雙曲線字-廿1 a b 0上的兩個點，弦AB過坐標原點0。若點P是橢 yR2上的兩個點，弦 AB過坐標原點O。若點P是圓上異于點 A , B的動點，且kpA與kpB都存在，則kpA kpB二一1 。AB為圓x2 y= R2的弦，M是AB的中點，O為坐標原點，貝U koM ab = -1 ；類比圓的

6、兩個性質(zhì)，橢圓有如下兩個性質(zhì)：2 2A , B為橢圓 篤篤=1 a b 0上的兩個點，弦AB過坐標原點O。若點P是橢圓a b上異于點A , B的動點，且kpA與kpB都存在，貝U kpA kPBb22 ；a2 2M是AB的中點，則AB為橢圓務每=1 a b 0的弦，M是AB的中點,類比圓的兩個性質(zhì)，雙曲線有如下兩個性質(zhì):a b圓上異于點A,B的動點，且kpA與kpB都存在，則kPB2 2AB為雙曲線 篤爲=1 a b 0的弦，M是AB的中點，M是AB的中點，則a bkOM例3.(1)已知A , B分別是橢圓2 2X ya b 0的兩個頂點,a bM是雙曲線上一1點，若直線AM與BM的斜率之積kAM kB -，則該橢圓離心率的取值范圍為 c32 2(2 )已知直線l與橢圓C :務與=1 a b 0交于A，B兩