661數(shù)位邏輯設(shè)計(jì)與電路

1、數(shù)位邏輯設(shè)計(jì)與電路3-1 布林代數(shù)的應(yīng)用3-2 邏輯公式的簡(jiǎn)化3-3 各種類型的邏輯閘級(jí)應(yīng)用3-4 設(shè)計(jì)邏輯電路3-5 組合電路的應(yīng)用3-1布林代數(shù)的應(yīng)用3-1-1什麼是布林代數(shù)布林代數(shù)名稱取自於英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治布林(george boolean)，他致力於尋找可做邏輯計(jì)算(logical calculation)之工具，並發(fā)明一組可處理邏輯符號(hào)的結(jié)構(gòu)和規(guī)則，就像處理數(shù)字運(yùn)算一樣的符號(hào)代數(shù)。交集交集當(dāng)某一事件當(dāng)某一事件“同時(shí)同時(shí)”符合某些條件時(shí)，我們才說它成立，而這就是所謂的符合某些條件時(shí)，我們才說它成立，而這就是所謂的交集交集(conjunction)(conjunction)。例如當(dāng)我們?cè)u(píng)估

2、是否要購(gòu)買某一棟房子時(shí)，我們可以列出能不能購(gòu)買的各種條件，如：a：是否有足夠的錢付頭期款？ b：坪數(shù)夠不夠？c：交通方不方便？在此我們將是否購(gòu)買的結(jié)果設(shè)為x，則可以得到一如下的關(guān)係式： x = a and b and c 而在布林代數(shù)中符號(hào)【】代表and的意思，所以由上式我們可以得到： x = a b c若以圖形來表示的話，則兩兩之間的交會(huì)處所代表的意思為兩者條件皆兩兩之間的交會(huì)處所代表的意思為兩者條件皆符合者符合者，由此可知若要同時(shí)符合a、b、c這三個(gè)條件的話，則必須取其三項(xiàng)交集處，如下圖的藍(lán)色區(qū)域，其表示同時(shí)符合a、b、c這三個(gè)條件時(shí)，結(jié)果才算成立： 聯(lián)集聯(lián)集(or)(or)當(dāng)某一事件只要

3、符合當(dāng)某一事件只要符合“其中一個(gè)條件其中一個(gè)條件”時(shí)，我們就說它成立，而這就是時(shí)，我們就說它成立，而這就是所謂的聯(lián)集所謂的聯(lián)集(disjunction)(disjunction)。例如辦理信用卡時(shí)，只要資格符合信用卡公司所列出的其中一個(gè)條件就可以辦理信用卡，如： a.有穩(wěn)定的收入 b.上班族 c.企業(yè)負(fù)責(zé)人(如老闆) 這時(shí)三個(gè)條件中只要有一項(xiàng)成立，就可以順利的辦理信用卡，在這我們將結(jié)果設(shè)為x，則關(guān)係式如下： x = a or b or c 而在布林代數(shù)中符號(hào)【+ +】代表or的意思，所以由上式我們可以得到： x = a + b + c 若以圖形來表示的話，則在有a、b、c三項(xiàng)交集的藍(lán)色區(qū)域，其

4、結(jié)果全部都能成立： 反反(not)(not)： 這裡所說的反反(negation)(negation)即表示【相反】的意思即表示【相反】的意思，例如：我們?nèi)ケO(jiān)理所辦理監(jiān)理業(yè)務(wù)時(shí)，若我們之前有未繳清的罰款，監(jiān)理所會(huì)要求我們將所有的罰單款項(xiàng)繳清才能辦理，這時(shí)只有一個(gè)條件a(罰單款項(xiàng)繳清)是可以決定我們能否辦理監(jiān)理業(yè)務(wù)，假設(shè)我們將結(jié)果設(shè)為x，則關(guān)係式如下： x = not a 在布林代數(shù)中符號(hào)【】代表not的意思，所以由上式我們可以得到： x = a 3-1-2布林代數(shù)的運(yùn)算方式布林代數(shù)加布林代數(shù)加當(dāng)運(yùn)算式中的其中一項(xiàng)變數(shù)為1時(shí)，則結(jié)果必定為1：0 + 0 = 0(兩個(gè)變數(shù)為0，結(jié)果為0)0 + 1

5、 = 1(其中一個(gè)變數(shù)為1，結(jié)果為1)1 + 0 = 1(其中一個(gè)變數(shù)為1，結(jié)果為1)1 + 1 = 1(兩個(gè)變數(shù)為1，結(jié)果為1)布林代數(shù)乘布林代數(shù)乘當(dāng)運(yùn)算式中的其中一項(xiàng)變數(shù)為0時(shí)，則結(jié)果必定為0： 0 0 = 0 (兩個(gè)變數(shù)為0，結(jié)果為0)0 1 = 0 (其中一個(gè)變數(shù)為0，結(jié)果為0)1 0 = 0 (其中一個(gè)變數(shù)為0，結(jié)果為0)1 1 = 1 (兩個(gè)變數(shù)為1，結(jié)果為1) 3-1-3布林代數(shù)的基本定理布林代數(shù)的基本定理對(duì)偶定理對(duì)偶定理(duality theorem)(duality theorem) a+0=a (變數(shù)a+0，結(jié)果仍為a)a1=a(變數(shù)a乘1，結(jié)果仍為a) 吸收定理吸收定理

6、(absorbtive theorem)(absorbtive theorem) a+1=1(變數(shù)a+1，無論a為何，結(jié)果為1)a0=0(變數(shù)a乘0，結(jié)果絕對(duì)為0) 全等定理全等定理(equal theorem)(equal theorem)a+a=a(變數(shù)a和自己相加，結(jié)果為a本身)aa=a(變數(shù)a和自己相乘，結(jié)果為a本身) 補(bǔ)數(shù)定理補(bǔ)數(shù)定理(complementary theorem)(complementary theorem)a+a=1(變數(shù)a和a相加，必定等於1)aa=0(變數(shù)a和a相乘，必定等於0)自補(bǔ)定理自補(bǔ)定理(involution theorem)(involution th

7、eorem)a=( a ) (變數(shù)a作兩次補(bǔ)數(shù)運(yùn)算not後，會(huì)等於原來的變數(shù)a) 3-1-43-1-4布林代數(shù)定律與多變數(shù)定理布林代數(shù)定律與多變數(shù)定理 布林代數(shù)交換律布林代數(shù)交換律運(yùn)算式中的兩變數(shù)相加時(shí)，可以交換其變數(shù)位置： 加法：a + b = b + a乘法：ab = ba 布林代數(shù)結(jié)合律布林代數(shù)結(jié)合律運(yùn)算式中的變數(shù)相加時(shí)，可以更換變數(shù)相加的優(yōu)先順序：加法：a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c 乘法：a(bc) = (ab)c = abc 布林代數(shù)分配律布林代數(shù)分配律運(yùn)算式中的變數(shù)相加時(shí)有共通變數(shù)時(shí)，可以將共通變數(shù)提出括號(hào)外：加法：a + (bc) =

8、 (a + b)(a + c) 乘法：a(b + c) = (ab) + (ac) 布林代數(shù)消去律布林代數(shù)消去律運(yùn)算式中的變數(shù)相加時(shí)有共通變數(shù)時(shí)，結(jié)果等於共通變數(shù)：加法：a + (ab) = a 乘法：a(a + b) = a 布林代數(shù)第摩根定理布林代數(shù)第摩根定理運(yùn)算式中的變數(shù)相加時(shí)有共通變數(shù)時(shí)，結(jié)果等於共通變數(shù)： 加法：(a + b) = ab 乘法：(ab) = a + b 3-1-53-1-5文氏圖（文氏圖（venn diagramvenn diagram）文氏圖是john venn(18341923)所發(fā)明的，文氏圖可以很容易的繪製數(shù)學(xué)集合關(guān)係圖。例如我們使用三個(gè)圈圈，每一個(gè)圈圈代表a

9、、b、c，則：a和b交集的區(qū)域則為abb和c交集的區(qū)域則為bca和c交集的區(qū)域則為ac三者同時(shí)交集則為abc abc集合關(guān)係圖 如果我們將圈圈畫成有顏色，可以很清楚地看到?jīng)]有交集的為黃色，兩者交集的為紅色，三者交集的為藍(lán)色： 三個(gè)集合的文氏圖 如果改成四個(gè)圈圈，則會(huì)有更多的組合，但是其交集的位置仍維持在中心，而且只會(huì)有一個(gè)： 四個(gè)集合的文氏圖 我們可以利用文氏圖來表示各種布林代數(shù)的式子，例如下圖，如果區(qū)域內(nèi)全部空白，則結(jié)果恆等於0，如果區(qū)域內(nèi)全部填滿顏色，則結(jié)果恆等於1： 01如果圈圈代表x，則圈圈填色時(shí)則x=1，但圈圈外有填色時(shí)則x=1： x = 1x = 1如果同時(shí)有兩個(gè)圈圈，一個(gè)代表x，

10、一個(gè)代表y，左圖是兩個(gè)圈圈交互的區(qū)域?yàn)?，而右圖是兩個(gè)圈圈內(nèi)都為1： x and yx or y3-1-63-1-6第莫根定理第莫根定理(demorgen theorem)(demorgen theorem)第莫根定理最重要的可以用下面兩公式來表示：(x + y) = x y (等式 1) (x y) = x + y (等式 2) 證明等式證明等式1 +=xyx + y(x + y)*=xyxy3-1-73-1-7真值表（真值表（true table)true table)一般的邏輯電路會(huì)有一個(gè)或數(shù)個(gè)輸入和輸出，為了要了解這些輸入和輸出的關(guān)係，我們可以使用真值表。常見真值表如下，利用變數(shù)x和y

11、來求出z。andand真值表真值表當(dāng)x和y皆為1時(shí)，z才會(huì)等於1： or真值表真值表當(dāng)x和y有一者為1時(shí)，z就會(huì)等於1： not真值表真值表z會(huì)等於x的相反值： 3-2邏輯公式的簡(jiǎn)化3-2-13-2-1卡諾圖（卡諾圖（karnaugh map methodkarnaugh map method）卡諾圖karnaugh maps也可稱為k-maps，利用2維矩陣的圖形，可以很容易將2、3、4個(gè)變數(shù)最小化，5、6個(gè)變數(shù)可以作，但是略為困難，而7個(gè)以上的變數(shù)，則會(huì)變的非常困難，所以卡諾圖不適合用在7個(gè)以上的變數(shù)上。變數(shù)的數(shù)目不同，則使用的矩陣大小就不同： 3-3各種類型的邏輯閘及應(yīng)用一般的邏輯電路會(huì)

12、有一個(gè)或數(shù)個(gè)輸入和輸出，為了要了解這些輸入和輸出的關(guān)係，我們可以使用真值表、邏輯閘來了解這些電路圖。3-3-1and3-3-1and閘閘 當(dāng)輸入的訊號(hào)a和b皆為1時(shí)，結(jié)果w才會(huì)等於1，真值表如下： 邏輯符號(hào) 3-3-2or3-3-2or閘閘當(dāng)輸入的訊號(hào)a和b有一個(gè)訊號(hào)為1時(shí)，結(jié)果w就會(huì)等於1，真值表如下： 邏輯符號(hào) 3-3-3not3-3-3not閘閘輸出的訊號(hào)為等於輸入的訊號(hào)的相反值： 邏輯符號(hào) 3-3-4nand3-3-4nand閘閘(not and)(not and) 輸出訊號(hào)和and閘所輸出的結(jié)果相反，因?yàn)閚and閘就是在and閘前加一個(gè)not閘，真值表如下： 邏輯符號(hào) 3-3-5no

13、r3-3-5nor閘閘(not or)(not or) 輸出訊號(hào)和or閘所輸出的結(jié)果相反，因?yàn)閚or閘就是在or閘前加一個(gè)not閘，真值表如下： 邏輯符號(hào) 3-3-6xor3-3-6xor閘閘(exelusive or)(exelusive or) 當(dāng)兩個(gè)輸出訊號(hào)不同時(shí)則輸出1，兩個(gè)輸出訊號(hào)相同時(shí)則輸出0，是利用2個(gè)and閘、1個(gè)or閘和2個(gè)not閘所組成的電路，真值表如下： xor電路圖 邏輯符號(hào) 3-3-7xnor3-3-7xnor閘閘(exelusive nor)(exelusive nor) 當(dāng)兩個(gè)輸出訊號(hào)不同時(shí)則輸出0，兩個(gè)輸出訊號(hào)相同時(shí)則輸出1，是利用2個(gè)and閘、1個(gè)or閘和2個(gè)

14、not閘所組成的電路，輸出的結(jié)果和xor是相反的，真值表如下： xor電路圖 邏輯符號(hào) 3-3-83-3-8正反器正反器ff(flip-flop)ff(flip-flop)：正反器是由邏輯閘所製作而成的，正反器最大的特色就是有時(shí)脈控制端(clock、ck或clk)，時(shí)脈控制端可以提供數(shù)位系統(tǒng)在對(duì)正反器連接時(shí)，致能時(shí)的反應(yīng)。當(dāng)我們輸入訊號(hào)時(shí)，並不會(huì)馬上有輸出訊號(hào)，必需由時(shí)脈控制端ck觸發(fā)後，才會(huì)有所動(dòng)作： q=1q=0 q=0q=1稱為高電位或設(shè)定狀態(tài)輸出狀態(tài)稱為低電位或清除、重置狀態(tài) 3-3-9rs3-3-9rs正反器：正反器：反或閘r-s正反器，由兩只二輸入的反或閘連接而成，r是重置(res

15、et)的意思，s是設(shè)定(set) 的意思，q則是門栓電路的輸出端，想當(dāng)然q就是q的反相輸出： 3-3-10d3-3-10d型正反器型正反器(delay flip-flop)(delay flip-flop)d型正反器只是將d型門栓中的致能(enable)接腳加上了脈波邊緣的觸發(fā)電路，包含正緣觸發(fā)和負(fù)緣觸發(fā)兩種： 3-3-11jk3-3-11jk型正反器型正反器 j-k型正反器的j、k接腳接在一起時(shí)會(huì)成為t型正反器，分開時(shí)就包含了r-s正反器的功能，j=s、k=r： 真值表：3-3-12t3-3-12t型正反器型正反器 (toggle flip-flip)(toggle flip-flip) t型正反器的t接腳等於0時(shí)，輸出等於輸入的訊號(hào)，若t接腳等於1，會(huì)輸出和輸入相反的訊號(hào)