2005年北京高考理科數學真題及答案

1、2005年北京高考理科數學真題及答案本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷 1至2頁，第II卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。 第I卷（選擇題共40分） 注意事項： 1答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。 2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。 一、本大題共8小題每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項. （1）設全集U=R，集合M=x| x1，P=x| x21，則下列關系中正確的是

2、 （A）MP （B）PM （C）MP （ D）（2）“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的 （A）充分必要條件 （B）充分而不必要條件 （C）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 （3）若，且，則向量與的夾角為 （A）30 （B）60 （C）120 （D）150 （4）從原點向圓 x2y212y27=0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為 （A） （B）2 （C）4 （D）6（5）對任意的銳角，下列不等關系中正確的是 （A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos （C）cos(+)sinsin （D）co

3、s(+)0；. 當f(x)=lgx時，上述結論中正確結論的序號是 .（14）已知n次多項式, 如果在一種算法中，計算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計算的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算的值共需要 次運算 下面給出一種減少運算次數的算法：（k0， 1，2，n1）利用該算法，計算的值共需要6次運算，計算的值共需要 次運算三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（15）（本小題共13分） 已知函數f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的單調遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值（16）（

4、本小題共14分） 如圖, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足未E， （I）求證：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大??； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小 （17）（本小題共13分） 甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率， （I）記甲擊中目標的次數為，求的概率分布及數學期望E； （II）求乙至多擊中目標2次的概率； （III）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率（18）（本小題共14分）如圖，直線 l1：ykx（k0）與直線l2：ykx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半

5、部分記為W1，右半部分記為W2（I）分別用不等式組表示W1和W2；（II）若區(qū)域W中的動點P(x，y)到l1，l2的距離之積等于d2，求點P的軌跡C的方程；（III）設不過原點O的直線l與（II）中的曲線C相交于M1，M2兩點，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點求證OM1M2的重心與OM3M4的重心重合 （19）（本小題共12分）設數列an的首項a1=a，且, 記，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判斷數列bn是否為等比數列，并證明你的結論；（III）求（20）（本小題共14分） 設f(x)是定義在0, 1上的函數，若存在x*(0，1)，使得f(x)在0, x*上單調遞增，在x*，1

6、上單調遞減，則稱f(x)為0, 1上的單峰函數，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間 對任意的0，l上的單峰函數f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法（I）證明：對任意的x1，x2(0，1)，x1x2，若f(x1)f(x2)，則(0，x2)為含峰區(qū)間；若f(x1)f(x2)，則(x*，1)為含峰區(qū)間；（II）對給定的r（0r0.5），證明：存在x1，x2(0，1)，滿足x2x12r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于 0.5r；（III）選取x1，x2(0, 1)，x1x2，由（I）可確定含峰區(qū)間為(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰區(qū)間內選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地

7、可確定一個新的含峰區(qū)間在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x2)的情況下，試確定x1，x2，x3的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分） （1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10）； （11）15 （12）(1, e)；e （13） （14）n(n3)；2n三、解答題（本大題共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（I） f (x)3x26x9令f (

8、x)0，解得x3， 所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間為（，1），（3，） （II）因為f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因為在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上單調遞增，又由于f(x)在2，1上單調遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函數f(x)在區(qū)間2，2上的最小值為7（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（

9、II）連結A1E，C1E，A1 C1 與（I）同理可證BDA1E，BDC1E， A1EC1為二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190， 即二面角A1BDC1的大小為90（III）過B作 BF/AD交 AC于 F，連結FC1， 則C1BF就是AD與BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC1=，BC1， 在BFC1 中，, C1BF= 即異面直線

10、AD與BC1所成角的大小為（17）（共13分）解：（I）P(0)，P(1)，P(2)，0123PP(3)， 的概率分布如下表： E, （或E=3=1.5）； （II）乙至多擊中目標2次的概率為1=； （III）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B1，甲恰擊中目標 3次且乙恰擊中目標 1次為事件B2，則AB1B2， B1，B2為互斥事件 所以，甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為.（18）（共14分）解：（I）W1=(x, y)| kxykx, x0，W2=(x, y)| kxy0， （II）直線l1：kxy0，直線l2：kxy0，由題意得 , 即， 由P(x

11、, y)W，知k2x2y20， 所以 ，即, 所以動點P的軌跡C的方程為； （III）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為xa（a0）由于直線l，曲線C關于x軸對稱，且l1與l2關于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點坐標都為（a，0），所以OM1M2，OM3M4的重心坐標都為（a，0），即它們的重心重合， 當直線l1與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=mx+n（n0） 由，得 由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知k2m20且=0設M1，M2的坐標分別為(x1, y1)，(x2, y2)，則, , 設M3，M4的坐標分別為(x3, y3)，(x4, y4)， 由得從而，所以y3+y4=m

12、(x3+x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2, 于是OM1M2的重心與OM3M4的重心也重合（19）（共12分）解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比為的等比數列 證明如下： 因為bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首項為a, 公比為的等比數列 （III）.（20）（共14分）（I）證明：設x*為f(x) 的峰點，則由單峰函數定義可知，f(x)在0, x*上單調遞增，在x*, 1上單調遞減 當f(x1)f(x2)時，假設x*(0, x2)，則x1x2f(x1)， 這與f(x1)f(x2)矛盾，所以x*(0, x2)，即(0, x2)是含峰區(qū)間. 當f(x1)f(x2)時，假設x*( x2, 1)，則x*x1f(x2)， 這與f(x1)f(x2)矛盾，所以x*(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰區(qū)間.（II）證明：由（I）的結論可知： 當f(x1)f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l1x2； 當f(x1)f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l2=1x1； 對于上述兩種情況，由題意得 由得 1x2x11+2r，即x1x12r. 又因為x2x12r，所以x2x1=2r,