圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)案例及分析

1、圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)案例及分析“圓的認(rèn)識(shí) ”一課選自小學(xué)數(shù)學(xué)教材第 11 冊(cè)，是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、正方形、 三角形等多種平面圖形的基礎(chǔ)上展開， 也是小學(xué)階段認(rèn)識(shí)的最后一種常見的平面圖形。 教材的編排思路是先借助實(shí)物揭示出 “圓”， 讓學(xué)生感受到圓與現(xiàn)實(shí)的密切聯(lián)系， 再引導(dǎo)學(xué)生借助 “實(shí)物 ”、 “圓規(guī) ”等多種方式畫圓， 初步感受圓的特征，并掌握用圓規(guī)畫圓的方法，在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生通過折一折、畫一畫、量一量等活動(dòng)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)直徑、半徑、圓心等概念，同時(shí)掌握?qǐng)A的基本特征。這樣的編排， 學(xué)生對(duì)于圓的相關(guān)概念及特征的理解和把握一般都是建立在教師的明確指引和調(diào)控之下， 學(xué)生相對(duì)獨(dú)立的探索空間不夠， 而

2、與此同時(shí)， 學(xué)生對(duì)于圓所內(nèi)涵的文化特性也無(wú)從感受、體驗(yàn)，對(duì)于圓在歷史、文化、數(shù)學(xué)發(fā)展過程中與人類結(jié)下的不解之緣感受不深。基于這樣的認(rèn)識(shí)，我試圖對(duì)本課的教學(xué)思路進(jìn)行重新調(diào)整：一方面，通過拓展空間， 將學(xué)生進(jìn)一步置身于探索者、 發(fā)現(xiàn)者的角色， 引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)完圓的一些基本概念后， 自主展開對(duì)于圓的特征的發(fā)現(xiàn)， 并在交流對(duì)話中完善相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)； 另一方面， 我又借助媒體， 將自然、 社會(huì)、 歷史、 數(shù)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中的 “圓” 有效整合進(jìn)本課教學(xué)，充分放大圓所內(nèi)涵的文化特性，努力折射“冰冷 ” 圖形背后所散發(fā)的獨(dú)特魅力。想起美國(guó)學(xué)者澤布羅夫斯基，曾因?yàn)?“在凝望波濤的時(shí)候 ”而產(chǎn)生了寫作圓的歷史 這

3、一迷人著作的沖動(dòng)， 而我 一個(gè)普通的年輕教師， 又是如何想起要在自己的課堂里打破常規(guī)、 沖破樊籬， 演繹 “走進(jìn)圓的世界”這一多少有些另類的教學(xué)案例的呢？如今回想起來， 是平靜水面上漾起的一圈圈漣漪？是陽(yáng)光下朵朵綻放的金色向日葵？是慈母心中那輪永恒的明月？是 “長(zhǎng)河落日?qǐng)A ”中夕陽(yáng)下落日的余輝？是偉大思想家墨子筆下 “圓，一中同長(zhǎng)也”和數(shù)學(xué)巨著周髀算經(jīng)中“圓出于方，方出于矩”的召喚？是古老的陰陽(yáng)太極圖所給予的神秘誘惑？是 “沒有規(guī)矩，不成方圓 ”這一古訓(xùn)背后的力量？還是西方數(shù)學(xué)哲學(xué)中 “圓是最美的圖形 ” 所帶來的無(wú)限誘惑？似乎都是，又不完全是。只是有一種莫明的沖動(dòng)，一直縈繞心頭，那就是：怎樣

4、讓數(shù)學(xué)課堂再厚重些、開闊些、深邃些、美麗些 藉此，想到了圓，繼而，便有了 “走進(jìn)圓的世界”這一大膽嘗試。師：對(duì)于圓，同學(xué)們一定不會(huì)感到陌生吧？（是）生活中，你們?cè)谀膬阂姷?過圓形？生：鐘面上有圓。生：輪胎上有圓。生：有些鈕扣也是圓的。師：今天，李老師也給大家?guī)硪恍?。見過平靜的水面嗎，（見過。）如果 我們從上面往下丟進(jìn)一顆小石子（播放動(dòng)態(tài)的水紋，并配以石子入水的聲音）， 你發(fā)現(xiàn)了什么？生：（激動(dòng)地）水紋、水紋、圓 （聲音此起彼伏）師：其實(shí)這樣的現(xiàn)象在大自然中隨處可見，讓我們一起來看看。（伴隨著優(yōu) 美的音樂，陽(yáng)光下綻放的向日葵、花叢中五顏六色的鮮花、光折射后形成的美妙 光環(huán)、用特殊儀器拍攝到的電

5、磁波、 雷達(dá)波、月球上的環(huán)形山等畫面展現(xiàn)在 學(xué)生的眼前，見圖）從這些現(xiàn)象中，你同樣找到圓了嗎？生：（驚異地，慨嘆地）找到了。師：有人說，因?yàn)橛辛藞A，我們的世界才變得如此美妙而神奇。 今天這節(jié)課, 就讓我們一起走進(jìn)圓的世界，去探尋其中的奧秘，好嗎？生：（激動(dòng)地）好！二師：俗話說，沒有規(guī)矩，不成方圓意思是說，如果沒有圓規(guī)，是 一一生：畫不出圓的。師：同學(xué)們都準(zhǔn)備了一把圓規(guī)，你能試著用它在白紙上畫出一個(gè)圓嗎？生：能。（學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫圓，交流，明確圓規(guī)畫圓的基本方法。）師：可要是真沒有了圓規(guī)，比如在圓規(guī)發(fā)明之前，我們就真畫不出一個(gè)圓了 嗎？生：不可能。師：今天，每個(gè)小組還準(zhǔn)備了很多其他的材料。你能利

6、用這些材料，試著畫 出一個(gè)圓嗎？生：能。（學(xué)生以小組為單位，利用手中的工具和材料畫圓。）師：李老師發(fā)現(xiàn)，每個(gè)小組都有了各自精彩的創(chuàng)造。讓我們一起來分享。生：我們組將圓形的瓶蓋按在白紙上，沿著瓶蓋的外框畫了一個(gè)圓。師：那叫拷貝不走樣（生笑）生：我們手中的三角板中就有一個(gè)圓形窟窿，利用它，很方便地畫出了一個(gè) 圓。師：真可謂就地取材，挺好！（笑）生：我們組在繩子的一端系一支鉛筆，另一端固定在白紙上，繩子繃緊，將 鉛筆繞一圈，也畫出了一個(gè)圓。師：看得出，你們組的創(chuàng)作已經(jīng)初步具備了圓規(guī)的雛形生：我們組在繩子的一端系上一塊橡皮，抓住繩子的另一端一甩，也同樣出 現(xiàn)了一個(gè)圓。師：盡管這一方法沒有能在白紙上最終

7、 畫”出一個(gè)圓，但他們的創(chuàng)造仍然是 十分美妙的，不是嗎？（生熱烈鼓掌）師：可是，既然不用圓規(guī)，我們依然創(chuàng)造出了這么多畫圓的方法，那么俗語(yǔ) 中為什么還會(huì)有 沒有規(guī)矩，不成方圓”的說法呢？生：我想，大概是古時(shí)候的人們沒想到這些方法吧？（生笑）生：我覺得不是這樣，因?yàn)椋蛟S一開始，沒有規(guī)矩，不成方圓”指的是沒有圓規(guī)和 矩”畫不出方和圓，但是流傳到后來，它的意思已經(jīng)發(fā)生了改變，不再 僅僅指原來的意思了，而是指很多事情，必須要講究規(guī)矩，遵循章法。（不少同學(xué)投以贊許的目光）師：真沒想到，一條普通的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)過千年流傳，竟逐漸成為我們生活 中一條重要的人生準(zhǔn)則。當(dāng)然，同學(xué)們能夠利用各自的智慧，成功演繹 沒

8、有規(guī) 矩，仍成方圓”，足以說明大家不凡的創(chuàng)造力了。（通過自學(xué)，學(xué)生認(rèn)識(shí)完半徑、直徑、圓心等概念后。）師：學(xué)到現(xiàn)在，關(guān)于圓，該有的知識(shí)我們也探討得差不多了。那你們覺得還 有沒有什么值得我們深入地去研究？生：有（自信地）。師：說得好，其實(shí)不說別的，就圓心、直徑、半徑，還蘊(yùn)藏著許多豐富的規(guī) 律呢，同學(xué)們想不想自己動(dòng)手來研究研究？（想！）同學(xué)們手中都有圓片、直尺、圓規(guī)等等，這就是咱們的研究工具。待會(huì)兒就請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手折一折、量一量、比 一比、畫一畫，相信大家一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。兩點(diǎn)小小的建議：第一，研究過程 中，別忘了把你們組的結(jié)論，哪怕是任何細(xì)小的發(fā)現(xiàn)都記錄在學(xué)習(xí)紙上， 到時(shí)候 一起來交流。第二，實(shí)在沒

9、啥研究了，別急，老師還為每一小組準(zhǔn)備一份研究提 示，到時(shí)候打開,看看, 或許對(duì)大家的研究會(huì)有所幫助。（隨后，伴隨著優(yōu)美的音樂，學(xué)生們以小組為單位，展開研究，并將研究的 成果記錄在教師提供的 研究發(fā)現(xiàn)單”上，并在小組內(nèi)先進(jìn)行交流）師：光顧著研究也不行，我們還得善于將自己的發(fā)現(xiàn)和大家一起交流、一起 分享，你們說是嗎？（是）很多小組都向李老師推薦了他們剛才的研究發(fā)現(xiàn)，李 老師從中選擇了一部分。下面，就讓我們一起來分享大家的發(fā)現(xiàn)吧！生：我們小組發(fā)現(xiàn)圓有無(wú)數(shù)條半徑。師：能說說你們是怎么發(fā)現(xiàn)的嗎？生：我們組是通過折發(fā)現(xiàn)的。把一個(gè)圓先對(duì)折，再對(duì)折、對(duì)折，這樣一直對(duì) 折下去，展開后就會(huì)發(fā)現(xiàn)圓上有許許多多的半徑

10、。生：我們組是通過畫得出這一發(fā)現(xiàn)的。只要你不停地畫，你會(huì)在圓里畫出無(wú) 數(shù)條半徑。生：我們組沒有折，也沒有畫，而是直接想出來的。師：噢？能具體說說嗎？生：因?yàn)檫B接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓的半徑，而圓上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn) （邊講邊用手在圓片上指），所以這樣的線段也有無(wú)數(shù)條，這不正好說明半徑有 無(wú)數(shù)條嗎？師：看來，各個(gè)小組用不同的方法，都得出了同樣的發(fā)現(xiàn)。至少直徑有無(wú)數(shù) 條，還需不需要再說說理由了？生：不需要了，因?yàn)榈览硎且粯拥?。師：關(guān)于半徑或直徑，還有哪些新發(fā)現(xiàn)？生：我們小組還發(fā)現(xiàn)，所有的半徑或直徑長(zhǎng)度都相等。師：能說說你們的想法嗎？生：我們組是通過量發(fā)現(xiàn)的。先在圓里任意畫出幾條半徑，再量一量，結(jié)果

11、 發(fā)現(xiàn)它們的長(zhǎng)度都相等，直徑也是這樣。生：我們組是折的。將一個(gè)圓連續(xù)對(duì)折，就會(huì)發(fā)現(xiàn)所有的半徑都重合在一起， 這就說明所有的半徑都相等。直徑長(zhǎng)度相等，道理應(yīng)該是一樣的。生：我認(rèn)為，既然圓心在圓的正中間，那么圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離應(yīng)該 都相等，而這同樣也說明了半徑處處都相等。生：關(guān)于這一發(fā)現(xiàn)，我有一點(diǎn)補(bǔ)充。因?yàn)椴煌膱A，半徑其實(shí)是不一樣長(zhǎng)的。 所以應(yīng)該加上 在同一圓內(nèi)”，這一發(fā)現(xiàn)才準(zhǔn)確。師：大家覺得他的這一補(bǔ)充怎么樣？生：有道理。師：看來，只有大家互相交流、相互補(bǔ)充，我們才能使自己的發(fā)現(xiàn)更加準(zhǔn)確、 更加完善。還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？生：我們小組通過研究還發(fā)現(xiàn)，在同一個(gè)圓里，直徑的長(zhǎng)度是半徑的兩倍。師

12、：你們是怎么發(fā)現(xiàn)的？生：我們是動(dòng)手量出來的。生：我們是動(dòng)手折出來的。生：我們還可以根據(jù)半徑和直徑的意義來想，既然叫半徑”，自然應(yīng)該是直徑長(zhǎng)度的一半嘍師：看來，大家的想象力還真豐富。生：我們組還發(fā)現(xiàn)圓的大小和它的半徑有關(guān)，半徑越長(zhǎng)，圓就越大，半徑越 短，圓就越小。師：圓的大小和它的半徑有關(guān)，那它的位置和什么有關(guān)呢？生：應(yīng)該和圓心有關(guān)，圓心定哪兒，圓的位置就在哪兒了。生：我們組還發(fā)現(xiàn)，圓是世界上最美的圖形。師：能說說你們是怎樣想的嗎？生：生活中，我們到處都能找到圓。如果沒有了圓，我們生活的世界一定會(huì)缺乏生機(jī)生：我們生活的世界需要圓，如果沒有了圓，車子就沒法自由的行駛 師：當(dāng)然，李老師相信，同學(xué)們手

13、中一定還有更多精彩的發(fā)現(xiàn)，沒來得及展示。 沒關(guān)系， 那就請(qǐng)大家下課后將剛才的發(fā)現(xiàn)剪下來， 貼到教室后面的數(shù)學(xué)角上，讓全班同學(xué)一起來交流，一起來分享，好嗎？生：好。四師：其實(shí)，早在二千多年前，我國(guó)古代就有了關(guān)于圓的精確記載。墨子在他的著作中這樣描述道： “圓，一中同長(zhǎng)也。 ”所謂一中，就是指一個(gè)生：圓心。師：那同長(zhǎng)又指什么呢？大膽猜猜看。生：半徑一樣長(zhǎng)。生：直徑一樣長(zhǎng)。師：這一發(fā)現(xiàn)，和剛才大家的發(fā)現(xiàn)怎么樣？生：完全一致。師：更何況，我古代這一發(fā)現(xiàn)要比西方整整早一千多年。聽到這里，同學(xué)們感覺如何？生：特別的自豪。生：特別的驕傲。生：我覺得我國(guó)古代的人民非常有智慧。師：其實(shí)，我國(guó)古代關(guān)于圓的研究和記

14、載還遠(yuǎn)不止這些。老師這兒還搜集到一份資料，周髀算經(jīng)中有這樣一個(gè)記載，說 “圓出于方，方出于矩” ，所謂圓出于方， 就是說最初的圓形并不是用現(xiàn)在的這種圓規(guī)畫出來的， 而是由正方形不斷地切割而來的（動(dòng)畫演示：圓向方的漸變過程，如圖）?，F(xiàn)在，如果告訴你正方形的邊長(zhǎng)是6 厘米，你能獲得關(guān)于圓的哪些信息？生：圓的直徑是6 厘米。生：圓的半徑是3 厘米。師：說起中國(guó)古代的圓，下面的這幅圖案還真得介紹給大家（出示圖），認(rèn)識(shí)嗎？生：陰陽(yáng)太極圖。師：想知道這幅圖是怎么構(gòu)成的嗎？（想?。┰瓉硭怯靡粋€(gè)大圓和兩個(gè)同樣大的小圓組合而成的（出示圖）?，F(xiàn)在，如果告訴你小圓的半徑是3厘米,你又能知道什么呢？生：小圓的直徑是

15、6 厘米。生：大圓的半徑是6 厘米。生：大圓的直徑是12 厘米。生：小圓的直徑相當(dāng)于大圓的半徑。師：看來，只要我們善于觀察，善于聯(lián)系，我們還能獲得更多有用的信息?，F(xiàn)在讓我們重新回到現(xiàn)實(shí)生活中來。 平靜的水面丟進(jìn)石子， 蕩起的波紋為什么是一個(gè)個(gè)圓形？現(xiàn)在，你能從數(shù)學(xué)的角度簡(jiǎn)單解釋這一現(xiàn)象了嗎？生：我覺得石子投下去的地方就是圓的圓心。生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一個(gè)個(gè)圓。生：這里似乎包含著半徑處處相等的道理呢。師：瞧，簡(jiǎn)單的自然現(xiàn)象中，有時(shí)也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律呢。至于其他一些現(xiàn)象中又為何會(huì)出現(xiàn)圓， 當(dāng)中的原因， 就留待同學(xué)們課后進(jìn)一步去調(diào)查、 去研究了。師： 其實(shí)， 又何止是大自然對(duì)圓

16、情有獨(dú)鐘呢， 在我們?nèi)祟惿畹拿恳粋€(gè)角落，圓都扮演著重要的角色，并成為美的使者和化身。讓我們一起來欣賞 （伴隨著優(yōu)美的音樂， 如下的畫面一一展現(xiàn)在學(xué)生眼前： 生活中的圓形拱橋、世界著名的圓形建筑、 中國(guó)著名的圓形景德鎮(zhèn)瓷器、 中國(guó)民間的圓形中國(guó)節(jié)、 中國(guó)傳統(tǒng)的圓形剪紙、世界著名的圓形標(biāo)志設(shè)計(jì)等等，如圖。）師：感覺怎么樣？生：我覺得圓真是太美了！生：我無(wú)法想象生活中如果沒有了圓，將會(huì)是什么樣子。生：生活中因?yàn)橛辛藞A而變得格外多姿多彩。師：而這，不正是圓的魅力所在嗎？五師：西方數(shù)學(xué)、哲學(xué)史上歷來有這么種說法， “上帝是按照數(shù)學(xué)原則創(chuàng)造這個(gè)世界的 ”。對(duì)此，我一直無(wú)從理解。而現(xiàn)在想來，石子入水后渾然

17、天成的圓形波紋，陽(yáng)光下肆意綻放的向日葵，天體運(yùn)行時(shí)近似圓形的軌跡，甚至于遙遠(yuǎn)天際 懸掛的那輪明月、朝陽(yáng) 而所有這一切，給予我們的不正是一種微妙的啟示 嗎？至于古老的東方，圓在我們身上遺留下的印痕又何嘗不是深刻而廣遠(yuǎn)的呢。 有的說，中國(guó)人特別重視中秋、除夕佳節(jié)；有人說，中國(guó)古典文學(xué)喜歡以大團(tuán)圓 作結(jié)局；有人說，中國(guó)人在表達(dá)美好祝愿時(shí)最喜歡用上的詞匯常常有圓滿”美滿” 而所有這些，難道就和我們今天認(rèn)識(shí)的圓沒有任何關(guān)聯(lián)嗎？那就讓我們 從現(xiàn)在起，從今天起，真正走進(jìn)歷史、走進(jìn)文化、走進(jìn)民俗、走進(jìn)圓的美妙世界 吧！臉析多少年來，在孩子們的心目中，在教師們的課堂里，數(shù)學(xué)一直與定理、法則、 記憶、運(yùn)算、冷峻、

18、機(jī)械等聯(lián)系在一起，難學(xué)難教、枯燥乏味一直成為障礙學(xué)生 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的絆腳石。事實(shí)上，造成這一現(xiàn)象的原因是多方面的， 而一味注重?cái)?shù)學(xué) 知識(shí)的傳遞、數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，漠視數(shù)學(xué)本身所內(nèi)涵的鮮活的文化背景， 漠視浸 潤(rùn)在數(shù)學(xué)發(fā)展演變過程中的人類不斷探索、不斷發(fā)現(xiàn)的精神本質(zhì)、力量以及數(shù)學(xué) 與人類社會(huì)（包括自然的、歷史的、人文的）千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，顯然應(yīng)看成造成 這一現(xiàn)象的重要原因之一。眾所周知，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種文化，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在前言中明確指出： 數(shù)學(xué)的 內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分?！比绾卧谡n程實(shí)施過程中踐行并彰顯數(shù)學(xué)的文化本性， 讓文化成為數(shù)學(xué)課堂的一種自然本色， 我立 足從過程與凝聚兩個(gè)角度進(jìn)行探索。圓的認(rèn)識(shí)”一課正是我所作的一次粗淺嘗試。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，人們對(duì)于她的認(rèn)識(shí)已經(jīng)歷了巨大的變化。如今，與其說數(shù) 學(xué)是一些結(jié)論的組合，毋寧說她更是一種過程，一種不斷經(jīng)歷嘗試、反思、解釋、 重構(gòu)的再創(chuàng)造過程。因而對(duì)于圓的特征的認(rèn)識(shí)，我并沒有沿襲傳統(tǒng)的小步子教學(xué)， 即在亦步亦趨的卿生問答”中展開，而是將諸多細(xì)小的認(rèn)知活動(dòng)統(tǒng)整在一個(gè)綜合 性、探究性的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中，通過學(xué)生的自主探索、合作交流、共同分享等， 引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了一次 研究與發(fā)現(xiàn)”的完整過程。整堂課， 發(fā)現(xiàn)與分享”成為真正 的主旋律，而知識(shí)、能力、方法、情感等恰恰在創(chuàng)造與分享的過