南大復(fù)變函數(shù)與積分變換課件(PPT版)8.3傅立葉變換的性質(zhì)

1、8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換 8.3傅立葉變換的性質(zhì)一、基本性質(zhì)二、卷積與卷積定理*三、利用Matlab實(shí)現(xiàn)F ourier變換18.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換、基本性質(zhì)。在下面給出的基本性質(zhì)中，所涉及到的函數(shù)的Fourier變換均存在，且尸9）=苗/（切，GS） =苗g（/）。對于涉及到的一些運(yùn)算（如求昱、積金、極限及求和等）的次序交換問題，均不另作說明。1.線性性質(zhì)直接進(jìn)入基本性質(zhì)匯總？性質(zhì)設(shè)0為常數(shù)，則和（0+ 處=aF（0）+ bG）證明（略）38.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換基本性質(zhì)2.位移性質(zhì)性質(zhì)設(shè)如5為實(shí)常數(shù)

2、，則(1) WG=eWs);（時移性質(zhì)） 曠109-5）=如幾）（頻移性質(zhì)）#8.3傅里葉變換的性質(zhì)58.3傅里葉變換的性質(zhì)證明 co /a-o)i=C/a-o)e-dr令f f+7(x)e-.e-dxJ00（2）同理，可得到頻移性質(zhì)。#8.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換、基本性質(zhì)2.位移性質(zhì)性質(zhì)設(shè)如為實(shí)常數(shù)，則(1) /a-o)l = e-ZoF(d);（時移性質(zhì)） 曠109-5）=丿如幾）（頻移性質(zhì)）#8.3傅里葉變換的性質(zhì)78.3傅里葉變換的性質(zhì)。時移性質(zhì)表明：當(dāng)一個信號沿時間軸移動后，各頻率成份 的大小不發(fā)生改變，但相位發(fā)生變化；0頻務(wù)性質(zhì)則被用來講行頻譜搬

3、移,這一技術(shù)在通信系統(tǒng)中 得到了廣泛應(yīng)用。第八章傅里葉變換、基本性質(zhì)3. 相似性質(zhì)性質(zhì)設(shè)“為非零常數(shù)，則 冏/(訕二+尸. I。丿證明當(dāng)。0時，金耳 丄r%)e冷肛=丄H糾 a J-a a)(2)當(dāng) a 1），則其頻譜被擴(kuò)展;若信號被擴(kuò)展（+00證明 由 lim /（r） = 0,有 lim f（t）eja）t =0,If 1-+8IZl-+oO孑廣（小訂二廣=fWf +0 +Mp7（/）e%缶00 ,= /(/)=二 ja)F(a) e7dfi;= I嚴(yán))(l)I = C 1(溝)FS)|e購d0第八章傅里葉變換、基本性質(zhì)4.微分性質(zhì)0同理，可得到像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 /rFSis 曠“叫訕=

4、(-”)/(Q上式可用來求t1 f (/)的Fourier變換. 記憶 由 F(ty) = J/(r)e-dr, n 戸s = row)e-dz； *00 = |f()s)| = f+c01( 一河 J00 第八章傅里葉變換、基本性質(zhì)5. 積分性質(zhì)性質(zhì) 若lim f /(Odr = 0,則 和)肛=丄弘) r-+cO J_Q0J8JQ)證明 令 g(0 = f /(t)dr,則 lim g(l) = O,lflT+00由微分性質(zhì)有為gC) = /血G(e),又 g(r) = /(r),有孑/()=/血孑g(O, 即得肌L/W小盒158.3傅里葉變換的性質(zhì)178.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變

5、換基本性質(zhì)6-帕塞瓦爾Eseval）等式芽咖心幻二屮（勁訟證明由F(6y) = J/(0e-dr, zdz, 右邊=- f+F(ft)-F().位移性質(zhì) 和叫F（Q;（時移性質(zhì)）曠/-如匸/匕.（頻移性質(zhì)）相似性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)218.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換、基本性質(zhì)（匯總）微分性質(zhì) 和嚴(yán)）（切= （M）FS）;曠 1F()S) = (-)/(/)積分性質(zhì)/(Z)dZ = -F(d) JG)Parseval 等式(+cf2(t)dt =f IF(fi)l2d (直接進(jìn)入Parseval等式舉例?)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換根據(jù)線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)有和/（切=冠

6、匕 ss+）+諾亦+55）例 設(shè)/（） = （）2cos4.#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換例 設(shè) f(t) = t2cost,求 y/(0.解 令 g(r) = COSf,則 f(t) = t2g(t),又已知GS)=薩cos門=兀50-1)+兀59+1),根據(jù)微分，性質(zhì)茄一 1G() = ()2g(0,有=兀&(G) 1)兀5(血 + 1)第八章傅里葉變換 2例求積分號筍仏的值。解 設(shè)矩形脈沖函數(shù)/(/)=(?P200 例 8.12ki)l2dd = 2zrf f2(t)dt.J00J00n空評她=2垃訕心4兀.J-oo /J-l 2由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，故有=(O2298.3傅里

7、葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換二、卷積與卷積定理1 卷積的概念與運(yùn)算性質(zhì)定義 設(shè)函數(shù)/衛(wèi)）與心在區(qū)間（-8, +上有定義，如果P200定義&2廣義積分工久心/-刁氏對任何實(shí)數(shù)t都收斂，則 它在（_8,+8）上定義了一個自變量為/的函數(shù)，稱此函數(shù)為AC）與心（冇的卷超，記為/1（0*/2（0,即/1(0*(0=Ol(T)/2a-T)dT.318.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換二、卷積與卷積定理1卷積的概念與運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)交換律P201/1(0*/2(0=/2(0*/1(0-結(jié)合律/1(0*/2(0*/3(0=/1(0*/2(0*/3(0 分配律幾也

8、+厶=/d+/d(Q338.3傅里葉變換的性質(zhì)；#8.3傅里葉變換的性質(zhì)；第八章傅里葉變換例 設(shè)/(f) = eF%(t),其中，。0,00,且求函數(shù)和g(r)的卷積。P201例8.13解 /(f)*g(。= J/(刃g(shù)(-刃皿，當(dāng)r vo 時,/(O*g(O = 0-(2)當(dāng) f0 時,/a)*g(o=/(/-T)dr= e_are(zr)drT八g)丿Tg(煖妙)/、f(r)tT358.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換0 從上面的例子可以看出P203的關(guān)鍵。如果采用圖形方式則比較容易確定積分限。(1)在計(jì)算一些分段函數(shù)的卷積時，如何確定積分限是解題(2)卷積由反褶、平移、相乘、積分四個部

9、分組成。即首先將函數(shù)g(&)反褶并平移到t,得到gC -刃=g(-(r-O), 再與函數(shù)相乘后求積分,得到卷積 因此，卷積又稱為褶積或卷乘。另外，利用卷積滿足交換律這一性質(zhì)，適當(dāng)?shù)剡x擇兩個函數(shù) 的卷積次序，還可以使積分限的確定更直觀一些。第八章傅里葉變換例 求函數(shù)/（）和 曲）的卷積，其中，S（r）P202例&14修改f(t)= t2u(t), g(r) =o：其它解由卷積的定義及性質(zhì)有/(O * g(f) =8/(c)g(f-r)dTJ0012 tW00378.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)當(dāng)f 1時，/(O*g(0 = 0.398.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八

10、章傅里葉變換例求函數(shù)/()和曲)的卷積，其中, /22 lt2.f(t) = t2u(t), g(r) = 10， 其它.解由卷積的定義及性質(zhì)有/(O * g(f) = P/(Cg(f-r)dfJ00f+8J00(2)當(dāng) 1 t2 時,/C)*g(r) =2-(Z-r)2dr=豐(3丿 g(r)2-12418.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換求函數(shù)/()和曲)的卷積，其中,f(t) = t2u(t), g(t) =2，lt2 時，= |(Z-l)3-(Z-2)3.438.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換丿 g(r)2-1 2例求函數(shù)/()和曲)的卷積，其中,/22

11、lt2,f(t) = t2u(t), g(r) = 10， 其它.解由卷積的定義及性質(zhì)有/(O * g(f) = f+CfMg(t-r)drJ00W00綜合得0，tl,f(t)*g(t)n 2(11)3/3,lt2.458.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換二、卷積與卷積定理2.卷積定理定理 設(shè)同辦（。=片（勁，和/2（。=場佃人貝IJ有P203定理8.4鳳/；（小心01 =耳（勁迅0）； 曠1 X S） * 巧）=271（0 兀（ (昇)(B)478.3傅里葉變換的性質(zhì)證明 /1(0*/2二71 */2e%仏100W00W00二匚齊（譏如匚從y）切d “ F S） F

12、2 S）;同理可證（B）式。第八章傅里葉變換二、卷積與卷積定理*3卷積的物理意義 = 僦過?)背景 如何從收到的實(shí)際信號中分離出“想要”的某個頻帶 內(nèi)的信號。(2)如何從收到的實(shí)際信號中消除在傳輸過程中加入的 高頻干擾噪聲。問題 設(shè)有某信號為試將該信號的低頻成份完全保留,而高頻成份完全去掉,即對其進(jìn)行理想低通濾波。第八章傅里葉變換二、卷積與卷積定理*3卷積的物理意義方法方法一在頻率域中實(shí)現(xiàn)（1）求出信號/頻譜函數(shù)F）（2）令H（勁血広（理想低通濾波器）10, a）a.將FS）與H（勁相乘，得到戸（勁=F（勁 HS） 對戸S）作Fourier逆變換,得到于C）=薩一】戸S）0顯然，新的信號了中完

13、全保留了原信號/中頻率低于a的頻率成份，而去掉了頻率高于a的頻率成份。518.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換二、卷積與卷積定理*3卷積的物理意義方法方法二在時間域中實(shí)現(xiàn)二a.sin at(2) 求 應(yīng))=荻一1日(勁=竺，-(理想低通濾波因子)711(3) 計(jì)算卷積 7(O = /(O*MO.0由卷積定理，信號了與方法一申信號7(1)是一樣的, MV* 這正是卷積的意義和價值。注 H(0)與h(t)分別又稱為頻率響應(yīng)函數(shù)與沖激響應(yīng)函數(shù)。rPl#8.3傅里葉變換的性質(zhì)538.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換求函數(shù)方（冇和5的卷積。f 4-00解 方法一= h(T)S(t-T)T =h(t)

14、.J00方法二 已知 5(。的 Fourier變換為 ZS) = R(f) = l，令H） =和竝幾根據(jù)卷積定理有h(t) * 3(t)=帝H(o) D(a)注一般地，有（g方（一0）（2）本例的結(jié)論被用來獲取或者檢測系統(tǒng)的2t激響應(yīng)唾遨。#8.3傅里葉變換的性質(zhì)558.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換皿 “/、 sin。/ /、 sinbt 七亠f例設(shè)函數(shù)m）=其中，“吩0,nt求函數(shù)/（O和曲）的卷積。P203例815解 函數(shù)/和g（0均為抽樣信號，其頻譜分別為1，0,（oay 小3。，）=1，0,令 c =min(a 上)9則 F(a)-G(a) =0,a)c.#8.3傅里葉變換的性質(zhì)

15、根據(jù)卷積定理有7lt/ia)*/2w= _1 Fi )竹(勁=畔#8.3傅里葉變換的性質(zhì)578.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換例 求 /()=atbt (a 0)的 Fourier 變換。解方法_利用卷積定理求解令 g(t) = eat u(t)，h(t) = cosbt,則 GS)=苗g(f) =a+ja)H(co)= fh(t) = 7r6(a)+b)+6(a)-b)P204 例&16匚二 (跳過?)77G(a) * 3(o+ b) + G(co)* 3(0-b) In1 1 112 L+jS+b) a+J(a)-b)a+Ja)(a + ja)2+b2#8.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里

16、葉變換_ a+ja）（+ja）y +b例 求 /（）=atbt （a 0）的 Fourier 變換。解方法二利用頻移性質(zhì)求解令 g(t) = er(r),則 GS)壽g(r) =r- a + j(o根據(jù)頻移性質(zhì)有孑/（/） = *G（血+Z9+G（血一）ir 11 i+2 La+j（o+b） a+加一L598.3傅里葉變換的性質(zhì)第八三、利用Matlab實(shí)現(xiàn)Fourier變換(跳過?)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)#8.3傅里葉變換的性質(zhì)。在數(shù)學(xué)軟件Matlab的符號演算工具箱中,提供了專用函數(shù)來進(jìn)行Fourier變換與Fourier逆變換。F = fourier(f)對函數(shù)/(兀)進(jìn)行Fourier

17、變換，對并返回結(jié)果F(w)o(2) f=ifourier(F)對函數(shù)F(w)進(jìn)行Fourier逆變換,對并返回結(jié)果f(X)o例 求函數(shù)/(x) = cosax的Fourier變換。八章傅里葉變換clear; syms a real;syms x; f = cos(a*x);F = fourier(f )；輸出 F = pi* Dirac (w - a) + pi * Dirac (w + a)其中，Dirac為5函數(shù)，pi代表兀即 F(a) = n3(a)-a) + 3(a)+a).618.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換例求函數(shù)/（x） =解Matlab程序a ( sin a 兀、兀I a

18、x的Fourier變換。clear;syms a real;syms x;f = a *sin(a *x)/(pi *a *x);F = fourier(f )；輸出 F=l/pi*(l/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a)-l/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)其中，Heaviside為單位階躍函數(shù)，pi代表兀#8.3傅里葉變換的性質(zhì)638.3傅里葉變換的性質(zhì)第八章傅里葉變換例求函數(shù)/U) = 的Fourier變換。解 輸出 F=1/pi (1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a)-l/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)其中，Heavi