復變函數(shù)積分ppt課件

1、1 Department of Mathematics第三章第三章 復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分2 Department of Mathematics第一節(jié)第一節(jié) 復積分的概念及其簡單性質復積分的概念及其簡單性質 1 1、復變函數(shù)積分的的定義、復變函數(shù)積分的的定義 2 2、積分的計算問題、積分的計算問題3 3、基本性質、基本性質3一、復變函數(shù)積分的定義1.有向曲線有向曲線: 設設C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C的兩個的兩個可能方向中的一個作為正方向可能方向中的一個作為正方向( (或正向或正向), ), 那么我們就把

2、那么我們就把C理解為帶有方向理解為帶有方向的曲線的曲線, , 稱為有向曲線稱為有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負向, . C記記為為4簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義: 簡單閉曲線簡單閉曲線C(周線周線)的正向是指當曲線上的正向是指當曲線上的點的點P順此方向前進時順此方向前進時, , 鄰近鄰近P點的曲線的點的曲線的內(nèi)部始終位于內(nèi)部始終位于P點的左方點的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負方向與之相反的方向就是曲線的負方向.關于曲線方向的說明關于曲線方向的說明: 在今后的討論中在今后的討論中,常

3、把兩個端點中的一個作為起點常把兩個端點中的一個作為起點, 另一個作為終點另一個作為終點, 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方向總是指從起點到終點的方向正方向總是指從起點到終點的方向.52. 定義定義3.1( ),( ) , ( ) , azbzf zCCab以為起點為終點沿 有定義 順著從 到 的方向取設分點oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 (1,2, ),kkkzzkn在每個弧段上任意取一點設有向曲線C( ),()zz tt 011,kknazzzzzb把曲線C分成若干弧段,作和式1 (),nnkkkSfz61 (),nnkkkSfzoxyab1 nzkz1 kz2z1z

4、k C1 2 1 , , ,( )(),( )(),( ):kkknCzzzSJf zCabJf zCabf z dz其中當分點無限增多 而這些弧段長度的最大值趨于零時 如果和數(shù) 的極限存在且等于則稱沿從 到可積 而稱 為沿從 到的積分 并記號表示( )d .CJf zz.C稱為積分路徑( )d,Cf zzC表示沿 正方向積分( )dCf zzC表示沿 負方向積分.7關于定義的說明關于定義的說明:(1) , ( ),.baJJf z dzJa bC如果 存在 一般不能把 寫成因為的值不僅和有關 而且和積分路徑 有關(2) ( ),( ).f zCf zC沿 可積的必要條件是沿 有界1(3)(

5、)dlim().nkkCnkf zzfz83. 定理定理3.1( )( , )( , ),( ) ,f zu x yiv x yCf zC若函數(shù)沿曲線 連續(xù)則沿可積 且證明證明 ),()()( ttyitxtzzC由由參參數(shù)數(shù)方方程程給給出出設設光光滑滑曲曲線線正方向為參數(shù)增加的方向正方向為參數(shù)增加的方向, , BA及終點及終點對應于起點對應于起點及及參數(shù)參數(shù) ( )dCCCf zzudxvdyivdxudy9, 0)( ttz并并且且 , ),(),()( 內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)在在如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 內(nèi)內(nèi)均均為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在和和那那么么Dyxvyxu ,

6、 kkki 設設 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因為因為 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 101()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),( 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy , , 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)由于由于vu根據(jù)線積分的存在定理根據(jù)線積分的存在定理,所以1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 11當當 n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, , , ),( , 下下式式兩兩端端極極限限存存在在的的取取法法如如何何點點的的分分法法任任何何不不論論對對kkC nkkkkkkknkkkk

7、kkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 12 : ddd )(相乘后求積分得到相乘后求積分得到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即復函數(shù)積分可表為兩個實積分即復函數(shù)積分可表為兩個實積分.13二二. 復變函數(shù)積分的計算問題復變函數(shù)積分的計算問題( ),f zC沿 連續(xù) 則設有向曲線C( )( )( ),()zz tx ti

8、y tt ( ) ( ) ( )d(3.2)Cf z dzf z t z tt( )Re ( ) ( )dIm ( ) ( )d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt復積分的變量代換公式或14證明證明( )dCf zzddddCCu xv yiv xu y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )du x ty t x tv x ty t y tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf注注用公式(3

9、.2)或(3.3)計算復變函數(shù)的積分,是從積分路徑的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.15例例1 解解. , , ,d)(1 010為為整整數(shù)數(shù)徑徑的的正正向向圓圓周周為為半半為為中中心心為為以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri16zxyor0z , 0 時時當當 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當當 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0

10、, 0, 0,2nni重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關. .,d20 inneri Cnzzzd)(11017三、復變函數(shù)積分的性質復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為為常常數(shù)數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf12 (4) , , nCC CC如果是由等光滑曲線依次相互連接所組成的按段光滑曲線 則12( )( )d( )d( )d .nCCCCf z dzf zzf zzf zz18 ,

11、( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設曲線 的長度為函數(shù)在上連續(xù)且滿足那末估值不等式估值不等式22(5)( )d( )d( ) d ,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧長微分(6)積分估值積分估值定理定理3.219證明證明 , 1兩點之間的距離兩點之間的距離與與是是因為因為 kkkzzz , 度度為這兩點之間弧段的長為這兩點之間弧段的長ks knkkzf 1)( 所所以以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 兩端取極限得兩端取極限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因為因為 nkksM1,ML .d)(

12、d)( MLszfzzfCC 所以所以證畢證畢20證明證明 2, (01) Cztit 的參數(shù)方程為而而C之長為之長為2,根據(jù)估值不等式知根據(jù)估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例例221 d2, 2 CzzCii試證積分路徑為連接 到點的直線段.21 ,Cz因為在上連續(xù) 且1212ti2141tdCs22xyo2i2i21例例3 , . izCe dzCzRRR試證積分路徑為圓周的上半圓周從 到證明證明 :Re , (0) iC zizCe dzizCedzsin0ReRdsin202ReRd2sin,(0)2由2202ReRd(1)ReizCe dz220|Re xy0R .R

13、.22例例4 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折線的折線再到再到軸到點軸到點從原點沿從原點沿的弧段的弧段上從原點到點上從原點到點拋物線拋物線的直線段的直線段從原點到點從原點到點為為其中其中計算計算ixixyiCzzC (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x23(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于于

14、是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 24xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構成積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 積分路徑不同積分路徑不同,積分結果也可能不同積分結果也可能不同.25例例5 解解, 12zdzzz計算積分其中 為圓環(huán)及實軸積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為:21,I ztt zdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0),iCze1:(0),iCze:12,II ztt Izdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzz0diiieiee21dt022d2iiieiee.所圍區(qū)域位于上半平面部分的邊界26112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee30dii