大學(xué)高數(shù)下冊(cè)試題及答案第11章

1、院 系 班級(jí) 姓 名 作業(yè)編號(hào) 第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)作業(yè)29 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1按定義判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，并求其和：（1） ； 解：因?yàn)樗砸虼擞啥x可知該級(jí)數(shù)收斂（2）；解：因?yàn)樗?，因此由定義可知該級(jí)數(shù)發(fā)散（3） ；解：因?yàn)樗?，因此由定義可知該級(jí)數(shù)收斂 （4）；解：因?yàn)?，依次重?fù)所以，不存在因此由定義可知該級(jí)數(shù)發(fā)散2利用基本性質(zhì)判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：觀察發(fā)現(xiàn)該級(jí)數(shù)為，是發(fā)散的調(diào)和級(jí)數(shù)每項(xiàng)乘以得到的，由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，該級(jí)數(shù)發(fā)散（2）；解：觀察發(fā)現(xiàn)該級(jí)數(shù)為，是收斂的兩個(gè)等比級(jí)數(shù)，逐項(xiàng)相加得到的，由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，該級(jí)數(shù)收斂（3）；解：觀察發(fā)現(xiàn)該級(jí)數(shù)為，是收斂的等比

2、級(jí)數(shù)與發(fā)散的逐項(xiàng)相加得到的，由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，該級(jí)數(shù)發(fā)散（4）解：觀察發(fā)現(xiàn)該級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為，但由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，該級(jí)數(shù)發(fā)散作業(yè)30 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性1用比較判別法（或定理2的推論）判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：由于，而是收斂的等比級(jí)數(shù)從而由比較判別法，該級(jí)數(shù)收斂（2）解：由于，而是收斂的等比級(jí)數(shù)從而由比較判別法的極限形式，該級(jí)數(shù)收斂2用達(dá)朗貝爾判別法判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)收斂（2）；解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)收斂（3）；解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)收斂（4）解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)收斂3用柯西判別法判定下

3、列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：由于，從而由柯西判別法，該級(jí)數(shù)收斂（2）解：由于，從而由柯西判別法，該級(jí)數(shù)收斂4用判別法判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1） ；解：由于，而為的發(fā)散的級(jí)數(shù)，從而由判別法，該級(jí)數(shù)發(fā)散（2）解：由于，而為的發(fā)散的級(jí)數(shù)，從而由判別法，該級(jí)數(shù)發(fā)散5設(shè)為正整數(shù)，證明：（1） ；解：對(duì)來(lái)說(shuō)，由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)收斂再由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知（2）解：對(duì)來(lái)說(shuō)，由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)收斂再由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，從而由無(wú)窮大量與無(wú)窮小的關(guān)系作業(yè)31 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性1判別下列級(jí)數(shù)的斂散性；若收斂，說(shuō)明是條件收斂還是絕對(duì)收斂：（1） ；解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)

4、級(jí)數(shù)，其一般項(xiàng)的絕對(duì)值為單調(diào)減少，且，從而由萊布尼茨判別法知其收斂再由于，由判別法知發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)不會(huì)絕對(duì)收斂，只有條件收斂（2）；解：由于，由判別法知，絕對(duì)收斂（3） ；解：由于不存在，由收斂級(jí)數(shù)的必要條件，從而該級(jí)數(shù)發(fā)散（4）；解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（5） 解：當(dāng)時(shí)顯然收斂，否則，當(dāng)時(shí)由達(dá)朗貝爾判別法，從而該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)變?yōu)榘l(fā)散當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)變?yōu)闂l件收斂7若存在，證明絕對(duì)收斂證明：由已知從而絕對(duì)收斂8若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，且，試證：級(jí)數(shù)和都收斂級(jí)數(shù)是否收斂？為什么？證明：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則必收斂，由必要條件由，從而級(jí)數(shù)和都有意義，而，從而級(jí)數(shù)和都收斂。級(jí)數(shù)發(fā)散，因?yàn)?/p>

5、，收斂的必要條件不滿足。作業(yè)32 冪級(jí)數(shù)及其求和1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域：（1）；解：當(dāng)時(shí)即為條件收斂，從而收斂域?yàn)椋?）；解：當(dāng)時(shí)即為，由于從而級(jí)數(shù)發(fā)散，因此收斂域?yàn)椋?） ；解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)即為，由于從而級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)即為，由于且從而級(jí)數(shù)收斂。因此收斂域當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)即為即為，由于從而級(jí)數(shù)發(fā)散，從而當(dāng)時(shí)收斂域?yàn)椋?）；解：當(dāng)時(shí)即為條件收斂，從而收斂域?yàn)椋?） ；解：因此收斂域?yàn)椋?）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)即為條件收斂，當(dāng)時(shí)即為發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂域?yàn)?求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：（1） ；解：當(dāng)時(shí)，即為條件收斂，當(dāng)時(shí)即為發(fā)散，從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵O(shè)，則從而故（

6、2）；解：當(dāng)時(shí)，即為發(fā)散，從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣?，?）解：從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵O(shè)，則，由特征方程，得通解再由得特解（4），并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和解：，當(dāng)時(shí)發(fā)散，從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵O(shè)，則，作業(yè)33 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1將下列函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)（要指出其成立的區(qū)間）：（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）(提示：利用)；解：，（5）解：2將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)（要指出其成立區(qū)間）：（1）； 解：（2）解：3求下列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并確定其成立區(qū)間：（1）； 解：（2）解：4展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并證明：解：從而作業(yè)34 傅里葉級(jí)數(shù)1下列周期函數(shù)的周期為，它在一個(gè)周期上的表達(dá)式列舉如下，試求 的傅

7、里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）解：2將下列函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：（1）；解：（2）；解：3將下列各函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)：（1）解：展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，則作奇延拓，展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，則作偶延拓，（2）解：展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，則作奇延拓，展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)則，作偶延拓，作業(yè)35 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1設(shè)是周期為6的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為 試求的傅里葉展開(kāi)式解：2在指定區(qū)間上展開(kāi)下列函數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)：解：取作周期延拖在限定即可，函數(shù)為偶函數(shù)，故時(shí)時(shí)3將函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)解：展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，則作奇延拓，展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，則作偶延拓，4試將函數(shù)展開(kāi)成周期為8的

8、正弦級(jí)數(shù)解：展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，則作奇延拓，第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)測(cè)試題 1選擇題：（1）對(duì)級(jí)數(shù)，“”是它收斂的 b 條件 a充分； b必要； c充要； d非充分且非必要 （2）“部分和數(shù)列有界”是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的 c 條件 a充分； b必要； c充要； d非充分且非必要 （3）若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必定 a a收斂； b發(fā)散； c絕對(duì)收斂； d條件收斂 （4）若級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)必定 b a收斂； b發(fā)散； c絕對(duì)收斂； d條件收斂2用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄏ铝屑?jí)數(shù)的斂散性：（1） ； 解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散（2）；解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)數(shù)收斂（3）； 解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)數(shù)收斂（4）；解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)

9、數(shù)收斂（5） ；解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散（6）；解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散（7）；解：因?yàn)閺亩撜?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散（8）；解：設(shè)，則而，時(shí)，從而 收斂的必要條件滿足。設(shè)，則同理可以推出而的級(jí)數(shù)收斂，從而原正項(xiàng)級(jí)數(shù)也收斂（9），其中均為正數(shù)，且；解：用柯西判別法當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)不能判定斂散性。（10）解：由積分中值定理，從而有比較判別法收斂3判別下列級(jí)數(shù)的斂散性；若收斂，說(shuō)明是條件收斂還是絕對(duì)收斂：（1） ；解：令，則時(shí)從而單碟減少，又從而以來(lái)布尼茨判別法收斂但是，因此是條件收斂而不能絕對(duì)收斂（2）；解：從而該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由于單碟減少且從而以來(lái)布尼茨判別法收斂但是，因此是條件收斂

10、而不能絕對(duì)收斂（3）；解：因?yàn)閺亩摷?jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4）解：去掉前面有限項(xiàng)即當(dāng)足夠大時(shí)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由于，對(duì)足夠大的單碟減少且從而以來(lái)布尼茨判別法收斂但不絕對(duì)收斂4求下列極限：（1）；解：由于單調(diào)增加且從而因此由夾逼準(zhǔn)則（2）解：令，由于看從而，因此5求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域：（1）；解：看，而因一般項(xiàng)極限不為零而發(fā)散從而該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也為，收斂域?yàn)椋?）解：為收斂半徑考慮端點(diǎn)，當(dāng)時(shí)收斂域?yàn)?；?dāng)時(shí)收斂域?yàn)?；?dāng)時(shí)收斂域?yàn)椋?求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：（1）；解：為收斂半徑考慮端點(diǎn)則知收斂域?yàn)?。在收斂域?nèi)設(shè)，則在收斂域內(nèi)再設(shè)，則（2）解：解：為收斂半徑考慮端點(diǎn)則知收斂域?yàn)椤Ｔ谑諗坑騼?nèi)設(shè)，則7將下列函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)（要指出其成立的區(qū)間）：（1）； 解：由于（2）；解：由于，從而（3）解：由于，從而 8將下列