第三講第二課時圓錐曲線的定點(diǎn)定值存在性問題教案

1、 二輪數(shù)學(xué)第三講圓錐曲線的綜合應(yīng)用第二課時圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題方法結(jié)論定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時，可設(shè)出直線方程為ykxb，然后利用條件建立b，k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系方程找出定點(diǎn)；(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明一般情況典例(2017洛陽模擬)設(shè)橢圓e：1(ab0)的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a，b，c是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(b，c均不在x軸上)，線段ac的中點(diǎn)為d，且b，f，d三點(diǎn)共線(1)求橢圓e的離心率；(2)設(shè)f(1,0)，過f的直線l交e于m，n兩點(diǎn)，直線ma，na分別與直線x9交于p，q兩點(diǎn)證明：以pq為直徑的圓過點(diǎn)

2、f.解析：(1)法一：由已知a(a,0)，f(c，0)，設(shè)b(x0，y0)，c(x0y0)，則d(，)，b，f，d三點(diǎn)共線，又(cx0，y0)，(，)，y0(cx0)y0，a3c，從而e.法二：設(shè)直線bf交ac于d，連接od，由題意知，od是cab的中位線，od綊ab，ofdafb.，解得a3c，從而e.(2)f的坐標(biāo)為(1,0)，c1，從而a3，b28.橢圓e的方程為1.設(shè)直線l的方程為xny1(n0)，由(8n29)y216ny640，y1y2，y1y2，其中m(ny11，y1)，n(ny21，y2)直線am的方程為，p(9，)，同理q(9，)，從而(8，)(8，)6464640.fpfq

3、，即以pq為直徑的圓恒過點(diǎn)f.類題通法定點(diǎn)的探索與證明問題注意利用特殊化思想探求再證明，求解的方法常見的有如下兩種：(1)直線過定點(diǎn)，引入適當(dāng)?shù)淖兞?，求出直線方程，根據(jù)方程求出定點(diǎn)；(2)曲線過定點(diǎn)，先用特殊位置的曲線探求定點(diǎn)，再證明曲線過該點(diǎn)，與變量無關(guān)演練沖關(guān)1(2017高考全國卷)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)m在橢圓c：y21上，過m作x軸的垂線，垂足為n，點(diǎn)p滿足 .(1)求點(diǎn)p的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)q在直線x3上，且1.證明：過點(diǎn)p且垂直于oq的直線l過c的左焦點(diǎn)f.解析：(1)設(shè)p(x，y)，m(x0，y0)，則n(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因?yàn)閙(x0

4、，y0)在c上，所以1.因此點(diǎn)p的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知f(1,0)設(shè)q(3，t)，p(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又過點(diǎn)p存在唯一直線垂直于oq，所以過點(diǎn)p且垂直于oq的直線l過c的左焦點(diǎn)f.2已知拋物線c：y22px(p0)的焦點(diǎn)f(1,0)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，a，b是拋物線c上異于o的兩點(diǎn)(1)求拋物線c的方程；(2)若直線oa，ob的斜率之積為，求證：直線ab過x軸上一定點(diǎn)解析：(1)因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1，所

5、以p2.所以拋物線c的方程為y24x.(2)證明：當(dāng)直線ab的斜率不存在時，設(shè)a，b.因?yàn)橹本€oa，ob的斜率之積為，所以，化簡得t232.所以a(8，t)，b(8，t)，此時直線ab的方程為x8.當(dāng)直線ab的斜率存在時，設(shè)其方程為ykxb，a(xa，ya)，b(xb，yb)，聯(lián)立方程組消去x，得ky24y4b0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得yayb，因?yàn)橹本€oa，ob的斜率之積為，所以，即xaxb2yayb0.即2yayb0，解得yayb0(舍去)或yayb32.所以yayb32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)綜上所述，直線ab過定點(diǎn)(8,0) 圓錐曲線中的定值問題方法結(jié)論解答圓錐曲線的定

6、值，從三個方面把握(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值；(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項(xiàng)里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以求出定值典例(2017沈陽模擬)已知橢圓c：1(ab0)的左焦點(diǎn)為f1(，0)，e.(1)求橢圓c的方程；(2)如圖，設(shè)r(x0，y0)是橢圓c上一動點(diǎn)，由原點(diǎn)o向圓(xx0)2(yy0)24引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)p，q，若直線op，oq的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值(3)在(2)的條件下，試問|op|2|oq|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由解析：(

7、1)由題意得，c，e，解得a2，橢圓c的方程為1.(2)由已知，直線op：yk1x，oq：yk2x，且與圓r相切，2，化簡得(x4)k2x0y0k1y40，同理，可得(x4)k2x0y0k2y40，k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky40的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，x40，0，k1k2.點(diǎn)r(x0，y0)在橢圓c上，1，即y6x，k1k2.(3)|op|2|oq|2是定值18.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，聯(lián)立得，解得，xy，同理，可得xy由k1k2，得|op|2|oq|2xyxy18.綜上：|op|2|oq|218.類題通法定值問題在求解時注意“設(shè)而不求”思想方法的靈活運(yùn)用，即引入?yún)?/p>

8、變量，用它來表示有關(guān)量，進(jìn)而看能否把變量消去“先猜后證”法是解決這類問題的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定點(diǎn)，進(jìn)而證明它適用所有情形演練沖關(guān)(2016高考北京卷)已知橢圓c：1(ab0)的離心率為，a(a,0)，b(0，b)，o(0,0)，oab的面積為1.(1)求橢圓c的方程；(2)設(shè)p是橢圓c上一點(diǎn)，直線pa與y軸交于點(diǎn)m，直線pb與x軸交于點(diǎn)n.求證：|an|bm|為定值解析：(1)由題意得解得a2，b1.所以橢圓c的方程為y21.(2)證明：由(1)知，a(2,0)，b(0,1)設(shè)p(x0，y0)，則x4y4.當(dāng)x00時，直線pa的方程為y(x2)令x0，得ym，從而|bm|

9、1ym|1|.直線pb的方程為yx1.令y0，得xn，從而|an|2xn|2|.所以|an|bm|2|1|4.當(dāng)x00時，y01，|bm|2，|an|2，所以|an|bm|4.綜上|an|bm|為定值 存在性問題方法結(jié)論1存在性問題的解題步驟(1)先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在(3)得出結(jié)論2解決存在性問題的注意事項(xiàng)存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，

10、再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑典例(2017陜西西安模擬)已知f1，f2為橢圓e：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p(1，)在橢圓e上 ，且|pf1|pf2|4.(1)求橢圓e的方程；(2)過f1的直線l1，l2分別交橢圓e于a，c和b，d，且l1l2，問是否存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由解析：(1)|pf1|pf2|4，2a4，a2.橢圓e：1.將p(1，)代入可得b23，橢圓e的方程為1.(2)當(dāng)ac的斜率為零或斜率不存在時，；當(dāng)ac的斜率k存在且k0時，ac的方程為yk(x1)，代入橢圓方程1，并化簡得

11、(34k2)x28k2x4k2120.設(shè)a(x1，y1)，c(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|ac|x1x2|.直線bd的斜率為，|bd|.綜上，2，.故存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列類題通法存在性問題的兩種常考題型的求解方法(1)給出問題的一些特殊關(guān)系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述此類問題也是最常考的探索性問題，解答這類問題時，一般要先對結(jié)論給出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，若推出相符的結(jié)論，則存在性得到肯定；若導(dǎo)致矛盾，則假設(shè)不存在本題就是“

12、是否存在”型探索性問題演練沖關(guān)1(2017湖南東部五校聯(lián)考)已知橢圓e：1的右焦點(diǎn)為f(c,0)且abc0，設(shè)短軸的一個端點(diǎn)為d，原點(diǎn)o到直線df的距離為，過原點(diǎn)和x軸不重合的直線與橢圓e相交于c，g兩點(diǎn)，且|4.(1)求橢圓e的方程；(2)是否存在過點(diǎn)p(2,1)的直線l與橢圓e相交于不同的兩點(diǎn)a，b且使得24成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解析：(1)由橢圓的對稱性知|2a4，a2.又原點(diǎn)o到直線df的距離為，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故橢圓e的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時不滿足條件故可設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線l的方程為yk

13、(x2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合題意，舍去存在滿足條件的直線l，其方程為yx.2(2017洛陽統(tǒng)考)已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，坐標(biāo)原點(diǎn)o到過右焦點(diǎn)f且斜率為1的直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)過右焦點(diǎn)f且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于p，q兩點(diǎn)，在線段of上是否存在點(diǎn)m(m,0)，使得|mp|mq|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解析：(1)設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，f(c,0)(c0)，由坐標(biāo)原點(diǎn)o到直線xyc0的距離為，得，解得c1.又e，故a，b1.