大學課件高等數(shù)學下學期64平面的方程

1、上一頁上一頁 下一頁下一頁第四節(jié)第四節(jié) 平面及其方程平面及其方程解解析析幾幾何何：平平面面曲曲線線解解析析幾幾何何：曲曲面面和和空空面面間間平平空空間間曲曲線線。解解析析幾幾何何中中：平平面面曲曲線線當當作作動動點點的的軌軌跡跡解解析析幾幾何何中中：任任何何曲曲面面都都可可以以看看作作動動點點平平面面空空間間的的軌軌跡跡。ss( , , )012f x y z 如如果果曲曲面面與與方方程程(*)(*)滿滿足足：（ ）曲曲面面s s上上的的任任一一點點的的坐坐標標滿滿足足方方程程(*);(*);（ ）不不在在曲曲面面 上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程(*)(*)；則則稱稱方方程程

2、(*)(*)叫叫，而而曲曲面面s s曲曲面面 的的方方程程方方程程叫叫(*)(*)的的曲曲面面。上一頁上一頁 下一頁下一頁下面我們將以向量作為工具，在空間直角坐標系中下面我們將以向量作為工具，在空間直角坐標系中討論最簡單的曲面討論最簡單的曲面平面。平面。平面的點法式方程平面的點法式方程平面的一般方程平面的一般方程兩平面的夾角兩平面的夾角點到平面的距離點到平面的距離上一頁上一頁 下一頁下一頁 定義：定義：如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面一平面，這向量就叫做該平面的的法線向量法線向量(法向量）法向量）法向量的法向量的特征特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任

3、一向量已知已知,cban ),(0000zyxm設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm一、平面的點法式方程xyzon0m m 一塊平面可以有許多法向量一塊平面可以有許多法向量.上一頁上一頁 下一頁下一頁,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上述方程，不在平面上平面上的點都滿足上述方程，不在平面上的點都不滿足上述方程，故上述方程就是平面的點都不滿足上述方程，故上述方程就是平面的方程的方程其中法向量其中法向量,cban 已知點已知點).,(000zyx ,na b c 00m

4、m n 上一頁上一頁 下一頁下一頁例例0(2, 1,1-1,2,4mn 求求過過點點）且且以以為為法法向向量量的的平平面面方方程程. .解解由由平平面面的的點點法法式式方方程程，所所求求平平面面方方程程為為1(2)2(1)4(1)0,xyz-2 -40.xyz 即即上一頁上一頁 下一頁下一頁解解11213 3,3,3,0, 2,3,m mm m 1213/nm mm m 法法向向量量333 3,9,6023ijk 所求平面方程為所求平面方程為(2)3(2)2(0)0,xyz即即3240.xyz例例123(2,2,0),( 1, 1,3)(2,0,3).mmm求求過過三三點點和和的的平平面面方方

5、程程1,-3,-2,n 所所以以可可取取法法向向量量 上一頁上一頁 下一頁下一頁123(2,2,0),( 1, 1,3)(2,0,3).mmm求求過過三三點點和和的的平平面面方方程程解解22201112300220230 xyz 所所以以例例11213( , , ),m x y zm mm mm m 設設為為所所求求平平面面上上任任一一點點，則則，共共面面, ,(2)3(2)2(0)0,xyz即即3240.xyz所求平面方程為所求平面方程為, ,0 xyzxyzxyza b caaaabcbbbccc 三三向向量量共共面面上一頁上一頁 下一頁下一頁由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()(

6、)(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax二、平面的一般方程即任何一個平面都可以用上述三元一次方程來表即任何一個平面都可以用上述三元一次方程來表示。示。上一頁上一頁 下一頁下一頁反過來，設有：反過來，設有：0(1)axbyczd 000(1)(2):()()()0(3)a xxb yyc zz 0 dczbyax：平面的一般方程：平面的一般方程顯然（顯然（1）與（）與（3）同解，即（）同解，即（1）也表示一個平面。）也表示一個平面。 ,.anb c 是是法法向向量量二、平面的一般方程0000000(2)xyzaxbyczd 取取 ， ， 滿滿足足

7、( (1 1) )： ( ,)?a b c不不同同時時為為0 0上一頁上一頁 下一頁下一頁平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類似地可討論類似地可討論 情形情形.0axbyczd一一般般方方程程：上一頁上一頁 下一頁下一頁0.byczd12,mm將將的的坐坐標標代代入入, , 得得20,0cdbd 02

8、ddyzd即即220.yz所求平面方程為所求平面方程為解解12(4,0,2)(5, 1,0)xmm 例例. . 求求平平行行于于 軸軸且且經(jīng)經(jīng)過過和和的的平平面面方方程程. .設這個平面方程為設這個平面方程為,.2dcbd解解得得0?d 上一頁上一頁 下一頁下一頁設平面為設平面為, 0 dczbyax將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解上一頁上一頁 下一頁下一頁,ada ,bdb ,cdc 將將代入所設方程得代入所設方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距 今

9、后今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便由截距式方程作平面的圖形特別方便! 當平面不與任何坐標面平行當平面不與任何坐標面平行,且不過原點時且不過原點時,才有截距式方程才有截距式方程.并作圖并作圖.012243 zyx將將化為化為截距式方程截距式方程,上一頁上一頁 下一頁下一頁設平面為設平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 v,|abc|161 由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解上一頁上一頁 下一頁下一頁,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc |ttt|6

10、1161611 代入體積式代入體積式,t61 ,c,b,a161 .zyx666 所求平面方程為所求平面方程為上一頁上一頁 下一頁下一頁 求平面方程常用兩種方法求平面方程常用兩種方法: 利用條件定出其中的待定的常數(shù)利用條件定出其中的待定的常數(shù), 此方此方法也稱法也稱待定常數(shù)法待定常數(shù)法. 主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個法向量平面的一個法向量.(1) 用平面的用平面的點法式點法式方程方程.(2) 用平面的一般方程用平面的一般方程.上一頁上一頁 下一頁下一頁1 2 定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為兩平面法向量的夾角稱為三、兩

11、平面的夾角兩平面的夾角兩平面的夾角. . 0:11111 dzcybxa 0:22222 dzcybxa 1n2n,1111cban ,2222cban 上一頁上一頁 下一頁下一頁按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有| |cos2121nnnn 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 ccbbaa21)2( /212121ccbbaa 兩平面垂直、平行的充要條件兩平面垂直、平行的充要條件222222212121212121|cbacbaccbbaa 取銳角取銳角,1111cban ,2222cban 上一頁上一頁 下一頁下一頁

12、例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:013, 012)1( zyzyx解解 cos601cos 兩平面相交兩平面相交,.601arccos 夾角夾角222222212121212121|coscbacbaccbbaa ,31)1(2)1(|311201|22222 上一頁上一頁 下一頁下一頁,)0 , 1 , 1(1 m兩平面平行兩平面平行但不重合但不重合.,212142 ,)0 , 1 , 1(1 m兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合02224, 012)3( zyxzyx解解01224, 012)2( zyxzyx解解12, 1,1,n 2 4,2,

13、2n ,212142 兩平面平行兩平面平行2)0 , 1 , 1( m2)0 , 1 , 1( m上一頁上一頁 下一頁下一頁例例 解解),()0 ,(),0 , 0 , 0(21aaamaamo和和平面通過點平面通過點 ).0( axoy面的交角面的交角求該平面與求該平面與所求方程的三點式為所求方程的三點式為00 aaaaazyx21,mmo故過故過三點的平面方程為三點的平面方程為02 zyx的方程為的方程為平面平面xoy. 0 z設兩平面的交角為設兩平面的交角為, 則則 cos222222212121212121|coscbacbaccbbaa 36 .36arccos 222222100)

14、2(11|1)2(0101| 上一頁上一頁 下一頁下一頁設平面為設平面為, 0 dczbyax, 0 d0236 cba2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 求與平面求與平面 824 zyx 垂直且過原點及點垂直且過原點及點 )2, 3, 6( 的平面方程的平面方程 nxyzo 上一頁上一頁 下一頁下一頁 與平面與平面 824 zyx 垂直且過原點及點垂直且過原點及點 )2, 3, 6( 的平面方程為的平面方程為( ). 解解2, 1, 42, 3, 6 n6, 4, 4 3, 2, 2 平面的點法式方程平面的點法式方程032

15、2 zyx nxyzo 上一頁上一頁 下一頁下一頁點到平面的垂直距離點到平面的垂直距離0:),(0000 dczbyaxzyxp 是平面是平面設設外一點外一點,.0的距離的距離到平面到平面求求 p四、點到平面的距離四、點到平面的距離 ,),(1111 zyxpn0p ,na b c 1pd并作向量并作向量.01pp的距離的距離到平面到平面 0p d|cos| |01 pp),(01之夾角之夾角的法向量的法向量與與是是npp 即即 d|01pp|n|cos| |n|01nnpp 由于由于npp 01),(111000czbyaxczbyax d 1p上一頁上一頁 下一頁下一頁222000|cba

16、dczbyaxd d|01nnpp npp 01dczbyax 0000:),(0000 dczbyaxzyxp 到平面到平面點點的距離公式為的距離公式為上一頁上一頁 下一頁下一頁222000|cbadczbyaxd 點到平面距離公式點到平面距離公式313 填空填空的的到平面到平面點點01022)1 , 1 , 1(0 zyxm).(距離為距離為解解222)1(22|101)1(1212| d313 上一頁上一頁 下一頁下一頁解解例例平行且平行且一平面與平面一平面與平面075420 zyx,6個單位個單位相距相距求這平面方程求這平面方程.設所求平面為設所求平面為05420 zyxd 在已知平面在已知平面075420 zyx上任取一點上任