從生物納米膜管到超級碳納米管卷曲的物質(zhì)空間與對稱的微分幾何

1、從生物納米膜管到超級碳納米管卷曲的物質(zhì)空間與對稱的微分幾何殷雅俊北京 清華大學(xué)航天航空學(xué)院工程力學(xué)系郵編：100084 電子郵箱：yinyj電話要 生物膜之類的軟物質(zhì)，通過動力學(xué)自組裝過程達(dá)到平衡態(tài)時均具有卷曲的幾何結(jié)構(gòu)。描述這種卷曲結(jié)構(gòu)的平衡微分方程，受控于第一類梯度算子和第二類梯度算子。兩類梯度算子具有對稱的微分性質(zhì)，遵循對稱的積分定理。這種幾何體系的對稱性，反過來又決定了某些卷曲的軟物質(zhì)結(jié)構(gòu)（如生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)和超級碳納米管）的對稱性。關(guān)鍵字：生物膜，生物納米膜管，超級碳納米管，第二類梯度算子，積分定理1、引言 開口生物膜在幾何上可視為具有邊界的空間曲面（圖1

2、）。其一般平衡微分方程和邊界條件為1： 或 (1) (2) (3)其中： ， (5) ，(6) (7) , , , (8) ， (9)是生物膜曲面上的自由能密度，、和分別是曲面的平均曲率、gauss曲率和質(zhì)量面密度，是曲面的gauss參數(shù)坐標(biāo)，是生物膜的表面能密度，是生物膜開口邊界線上的線張力。是協(xié)變基矢量，是第一基本張量的逆變分量，是第二基本張量的協(xié)變分量。和是兩個行列式。是張量的協(xié)變分量?？梢苑Q為第二基本張量的共軛張量。和是主曲率，和分別是曲線的法曲率和測地扭率。是曲面的單位法矢量，是沿曲線的正方向的單位切線矢量，是與曲面相切、且與曲線正交的單位矢量（圖1）。和分別是曲面上經(jīng)典的梯度算子和

3、laplace-beltrami算子。1-4和5分別是新的梯度算子和新的標(biāo)量微分算子。 從式（1）和（5）可以看出，生物膜的平衡主要受到兩個梯度算子的控制：經(jīng)典的梯度算子和新的梯度算子。主要通過第一基本張量定義，故稱為第一類梯度算子；主要通過第二基本張量的共軛張量定義，故稱為第二類梯度算子。與第一類梯度算子不同，第二類梯度算子強(qiáng)烈地取決于空間的彎曲程度。盡管有很大的差異性，和又具有奇特的相似性對稱的微分性質(zhì)，對稱的積分性質(zhì)，對稱的守恒定理。這些對稱性，不僅精確地描述了卷曲的幾何空間的性質(zhì)，而且刻畫了卷曲的軟物質(zhì)空間的本質(zhì)。更有趣的是，幾何體系上的對稱性，還構(gòu)成了生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)和超級碳納米管等

4、物質(zhì)空間形式中對稱性的源泉。2、對稱的微分性質(zhì) 對于曲面上的矢徑和單位法矢量，兩類梯度算子分別有以下對稱的微分性質(zhì)6： ， ，（10） ， ， ，（11） ，對第一基本張量，兩類梯度算子有以下對稱的微分性質(zhì)6： ，（12）對于定義在光滑、可微曲面上的張量場，可以證明第一類梯度與第二類梯度、第一類散度與第二類散度、第一類旋度與第二類旋度之間，存在如下對稱的微分性質(zhì)6： ，(13) ，(14) ，(15)式（13）（15）中，引入單位法矢量之后，有對稱的矢量積表達(dá)式7： ，(16) ，(17) ，(18)上述對稱的微分性質(zhì)，為導(dǎo)出下面對稱的積分定理奠定了基礎(chǔ)。3、對稱的積分性質(zhì) 由式（13）（15

5、），可得一系列對稱的積分定理6, 7： ，(19)，(20) ， (21)其中，、和分別是矢量線元和矢量面元。式（19）對應(yīng)第一類梯度定理和第二類梯度定理；式（20）對應(yīng)第一類散度定理和第二類散度定理；式（21）對應(yīng)第一類旋度定理和第二類旋度定理。 由式（16）（18），可導(dǎo)出對稱的第一類廣義環(huán)量定理和第二類廣義環(huán)量定理6, 7： ，(22) ，(23)，(24)實(shí)際上，式（23）可以等價地寫成：，(25)如果將式（25）中的張量場替換成速度矢量場，則得到第一類環(huán)量定理（幾何中的經(jīng)典結(jié)果）和第二類環(huán)量定理3, 4：，(26)注意到，第一類環(huán)量與機(jī)翼的升力密切相關(guān)，第一類環(huán)量定理在流體力學(xué)的繞流

6、問題中有重要應(yīng)用。至于第二類環(huán)量及第二類環(huán)量定理的用途，目前尚不得而知。 類似地，我們可以將式（20）寫成矢量形式3, 4：，(27)式（27）對應(yīng)矢量場的第一類散度定理（幾何中已有的定理）和第二類散度定理。分別取和（和是標(biāo)量場），可以證明關(guān)系式成立，并注意到關(guān)系式，于是得到對稱的第一類green定理（幾何中已知的結(jié)果）和第二類green定理3, 4： （28）式（28）在生物膜的平衡理論1, 2、穩(wěn)定性理論8和幾何約束理論1, 9中，有廣泛的用途。需要說明的是，上述積分定理雖然具有對稱的解析結(jié)構(gòu)，但它們所適用的空間形式是有差別的：第一類積分定理不僅在二維的riemann曲面上成立，而且在二維

7、的euclidean平面上也成立；但第二類積分定理則只在二維的riemann曲面上成立，空間卷曲得越厲害，第二類積分定理就越占據(jù)主導(dǎo)。 4、對稱的守恒定理 上述的對稱積分定理系統(tǒng)均與外場有關(guān)。但從對稱的積分定理系統(tǒng)出發(fā)，可以導(dǎo)出與外場無關(guān)的、反映卷曲空間本征特性的守恒定理。式（20）中，令，有6, 7： , (29)在封閉的光滑曲面上，線積分項消失，式（29）退化為： ，(30)式（30）正是著名的minkowski積分定理。經(jīng)典微分幾何以冗長的推導(dǎo)過程證明了該定理，而此處minkowski積分定理僅僅是對稱積分定理體系的簡單推論。 式（20）中，令，有4, 6, 7： ，(31)其中，式（3

8、1）的左式是微分幾何中已有的結(jié)論，在力學(xué)上，它精確地刻畫了卷曲的薄膜（如張在鋼絲圈上的肥皂膜）在均勻分布壓力作用下的整體平衡。（31）的右式是關(guān)于gauss曲率的矢量型積分定理，它表明，gauss曲率在曲面上的矢量積分取決于邊界線的彎曲程度。如果曲面是光滑封閉的，線積分項消失，式（31）退化為4, 6, 7： ，(32)式（31）和（32）在生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)和y型碳納米管中有重要用途。 如果封閉曲面并不是光滑的，而是存在如圖2所示的尖銳奇點(diǎn)，則式（31）退化為10： ， (33)這里是尖銳奇點(diǎn)的個數(shù)，是第個奇點(diǎn)尖端的單位切線矢量。式（33）的右式深刻地刻畫了含奇點(diǎn)的卷曲空間的本征特性：gaus

9、s曲率在封閉曲面上的矢量型積分，僅與曲面上尖銳奇點(diǎn)的個數(shù)和奇點(diǎn)的方向有關(guān)。該式還具有深刻的內(nèi)涵：等式左端的積分項反映了曲面的分析性質(zhì)；而等式右端的代數(shù)項則反映了曲面的微分拓?fù)湫再|(zhì)。因此可以說，該式在分析和拓?fù)渲g架起了橋梁。從應(yīng)用的角度看，該式在生物力學(xué)中有潛在的用途：卷曲的生物結(jié)構(gòu)上的毛發(fā)、纖突和纖維叢都可以理想化成幾何曲面上的奇點(diǎn)，圖3所示的細(xì)胞膜表面上的納米膜管纖維叢也可以處理成曲面上的奇點(diǎn)。5、對稱的積分定理與生物膜的幾何約束理論 式（28）是生物膜幾何約束理論的幾何學(xué)基礎(chǔ)。將式（1）兩端沿生物膜曲面積分1： （34）由式（28）可知： (35) (36)式（34）、（35）、（36）

10、與式（2）、（3）結(jié)合可給出1： (37)對處于平衡態(tài)的生物模，式（37）經(jīng)過運(yùn)算將給出一個包含生物膜的物理特征參數(shù)和幾何特征參數(shù)的代數(shù)方程。因此我們說，式（37）深刻地揭示了卷曲的生物膜與空間幾何形式之間的制約關(guān)系：生物膜的物理特征參數(shù)與幾何特征參數(shù)之間并不是互相獨(dú)立的，而是存在密切的內(nèi)在聯(lián)系。這種內(nèi)在的制約關(guān)系在軟物質(zhì)結(jié)構(gòu)中可能具有普遍性。因此，研究卷曲的軟物質(zhì)結(jié)構(gòu)，應(yīng)注意物質(zhì)、空間與幾何的有機(jī)結(jié)合，不能脫離了空間與幾何來談軟物質(zhì)分布，也不能脫離了軟物質(zhì)分布來談空間與幾何。5、對稱的積分定理與對稱的生物納米膜管網(wǎng)絡(luò) 生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)既可以是天然的連接細(xì)胞的納米管網(wǎng)絡(luò)11，也可以是通過生物納

11、米微加工技術(shù)人工制造的、連接磷脂分子雙層膜泡的納米網(wǎng)絡(luò)（圖4）12, 13。通過動力學(xué)自組裝達(dá)到平衡態(tài)時，這種結(jié)構(gòu)往往演化成生物納米膜管三線結(jié)網(wǎng)絡(luò)（圖5）。奇特的是，網(wǎng)絡(luò)中的每個三線結(jié)都具有夾角的對稱性。我們追蹤了對稱性的來源，發(fā)現(xiàn)有兩個可能的“源泉”：一是穩(wěn)定平衡的生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)在物理和力學(xué)上必然是最低能量態(tài)，在初等幾何上必然等價于一顆steiner最小樹（由具有夾角的對稱三線結(jié)連接而成的最短的樹狀網(wǎng)絡(luò)）；二是上述對稱的積分定理系統(tǒng)在微分幾何上決定了生物納米膜管三線結(jié)及其網(wǎng)絡(luò)必然具有夾角的對稱性10。這里主要介紹后者。 考慮一個穩(wěn)定平衡的三線結(jié)連接三個膜泡的簡單情形（圖6）。如果將膜泡和膜

12、管網(wǎng)絡(luò)在整體上視為一個光滑的封閉曲面，則式（32）在該曲面上成立。為計算方便，我們假想在結(jié)點(diǎn)處沿管的橫截面切開，然后通過計算平均曲率和gauss曲率在三個截開曲面上的積分來得到其在整個封閉曲面上的積分10： ， (38)由式（32）中對稱的積分定理可得： ，(39)式（39）可以理解為三個匯交力的平衡，其成立的充分必要條件為： ，(40)此處是第根膜管的半徑，是兩兩膜管間的夾角。式（40）準(zhǔn)確地描述了對稱三線結(jié)的幾何結(jié)構(gòu)?；谑剑?2）中對稱的積分定理可以進(jìn)一步證明：不論網(wǎng)絡(luò)中三線結(jié)的個數(shù)有多少（圖5），不論三線結(jié)在網(wǎng)絡(luò)中處于什么位置（圖7），式（40）都成立。這個結(jié)論，與迄今為止發(fā)現(xiàn)的所有實(shí)

13、驗事實(shí)都精確吻合。6、對稱的積分定理與對稱的y型碳納米管及超級碳納米管 三線結(jié)狀的結(jié)構(gòu)，不僅存在于生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)中，而且存在于碳納米管網(wǎng)絡(luò)中y型碳納米管就是典型的三線結(jié)狀結(jié)構(gòu)。實(shí)驗證明：自發(fā)生長的y型碳納米管，具有夾角的對稱性（圖8）14-17。模擬表明，自發(fā)的、具有能量最低態(tài)的y型碳納米管在結(jié)點(diǎn)區(qū)通過正七邊形的過渡18，實(shí)現(xiàn)了y型碳納米管中三個碳納米管的無縫對稱連接（圖9）。我們借鑒了生物納米膜管三線結(jié)中的研究思路，證明了如下結(jié)果18：自發(fā)生長的、穩(wěn)定平衡的y型碳納米管，物理上處于能量最低態(tài)，幾何上則等價于最短網(wǎng)絡(luò)steiner最小樹；而從對稱積分定理體系中的式（31）出發(fā)，可以證明，此時

14、的y型碳納米管必然滿足對稱性條件式（40）。因此，對稱的y型碳納米管與對稱的生物納米膜管三線結(jié)，盡管微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)上差異極大，但在物理、力學(xué)和幾何規(guī)律上卻非常相似。 這一研究結(jié)果導(dǎo)致了超級碳納米管概念和工藝設(shè)想19。y型碳納米管常用來制造納米電路。為了確保制造的可控制性，模版不可或缺。我們注意到，模版生長的y型碳納米管有可控制性，但往往缺乏對稱性；自發(fā)生長的y型碳納米管有對稱性，但往往缺乏可控制性。能否將二者結(jié)合起來制造出新的碳納米結(jié)構(gòu)？可能性是存在的，具體設(shè)想如下（圖10）：在平面模版上刻蝕具有對稱性的y型納米槽，通過該模版可以可控制地生成對稱的y型碳納米管；將兩個對稱的y型納米槽背靠背連接，

15、可得“彎工字型”的納米槽；將大量“彎工字型”的納米槽無縫連接，可得周期性的、具有正六邊形拓?fù)涞募{米槽網(wǎng)絡(luò)。在這樣的納米槽網(wǎng)絡(luò)中生長碳納米管，可得周期性的、具有正六邊形拓?fù)涞奶技{米管網(wǎng)絡(luò)。就像用石墨片構(gòu)造碳納米管一樣，我們將這樣的碳納米管網(wǎng)絡(luò)卷成圓筒并“焊接”起來，就得到“管中有管、格中有格”的超級碳納米管。 當(dāng)然上述構(gòu)想僅僅是“幾何”上的，工程中很難實(shí)現(xiàn)。為此，我們進(jìn)一步提出工程中具有可操作性的工藝構(gòu)想：通過圓柱形模版制造超級碳納米管即在圓柱面上刻蝕周期性的、具有正六邊形拓?fù)涞募{米槽網(wǎng)絡(luò)，在這樣的納米槽網(wǎng)絡(luò)中生長碳納米管，然后溶掉模版，即可得超級碳納米管。由微分幾何可知：圓柱面是可展曲面。故用

16、圓柱形模版生成的超級碳納米管與上述“幾何”構(gòu)想的超級碳納米管沒有差別。 超級碳納米管從局部到整體都包含了大量的y型管。這些y型管都滿足對稱幾何條件式（40）。 如果超級碳納米管的兩級結(jié)構(gòu)在幾何尺寸上滿足相似條件，則超級碳納米管就具有了幾何自相似性。如果進(jìn)一步擴(kuò)展這一構(gòu)思，就可以得到更新的概念具有多級幾何自相似性的超級分形碳納米管（圖11）20。超級分形碳納米管的每級結(jié)構(gòu)都滿足對稱幾何條件式（40）。 盡管超級分形碳納米管并不是一種物理學(xué)實(shí)在，但在幾何上它是真實(shí)的。隨著幾何參數(shù)的變化，我們發(fā)現(xiàn)20作為一種分形幾何結(jié)構(gòu)，其自相似分形維數(shù)的取值范圍為，中間竟然包括了整數(shù)階維數(shù)。這個奇異的結(jié)果顯示：超

17、級分形碳納米管與任何已知的分形幾何結(jié)構(gòu)都不同經(jīng)典的分形幾何結(jié)構(gòu)，分形維數(shù)一般取在兩個相鄰整數(shù)之間，即、或。 這種奇異的分形幾何性質(zhì)意味著什么？是否意味著超級分形碳納米（以及超級碳納米管）隱含著奇異的物理或力學(xué)性質(zhì)？這是值得探索的問題。7、結(jié)論 從對稱的微分算子、對稱的微分性質(zhì)到對稱的積分定理，這一系列的對稱性不僅是二維riemann曲面和微分幾何理論本征性質(zhì)的體現(xiàn)，也是卷曲的物質(zhì)空間必須遵循的幾何規(guī)則，還是決定生物納米膜管網(wǎng)絡(luò)和超級碳納米管幾何結(jié)構(gòu)對稱性的重要依據(jù)和源泉。理解這種對稱性，應(yīng)用這種對稱性，不僅能夠推動幾何理論的發(fā)展，而且能夠為曲面物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究提供動力。致謝：國家自然科學(xué)基金項目

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