從生物納米膜管到超級碳納米管卷曲的物質空間與對稱的微分幾何

1、從生物納米膜管到超級碳納米管卷曲的物質空間與對稱的微分幾何殷雅俊北京 清華大學航天航空學院工程力學系郵編：100084 電子郵箱：yinyj電話要 生物膜之類的軟物質，通過動力學自組裝過程達到平衡態(tài)時均具有卷曲的幾何結構。描述這種卷曲結構的平衡微分方程，受控于第一類梯度算子和第二類梯度算子。兩類梯度算子具有對稱的微分性質，遵循對稱的積分定理。這種幾何體系的對稱性，反過來又決定了某些卷曲的軟物質結構（如生物納米膜管網絡和超級碳納米管）的對稱性。關鍵字：生物膜，生物納米膜管，超級碳納米管，第二類梯度算子，積分定理1、引言 開口生物膜在幾何上可視為具有邊界的空間曲面（圖1

2、）。其一般平衡微分方程和邊界條件為1： 或 (1) (2) (3)其中： ， (5) ，(6) (7) , , , (8) ， (9)是生物膜曲面上的自由能密度，、和分別是曲面的平均曲率、gauss曲率和質量面密度，是曲面的gauss參數(shù)坐標，是生物膜的表面能密度，是生物膜開口邊界線上的線張力。是協(xié)變基矢量，是第一基本張量的逆變分量，是第二基本張量的協(xié)變分量。和是兩個行列式。是張量的協(xié)變分量?？梢苑Q為第二基本張量的共軛張量。和是主曲率，和分別是曲線的法曲率和測地扭率。是曲面的單位法矢量，是沿曲線的正方向的單位切線矢量，是與曲面相切、且與曲線正交的單位矢量（圖1）。和分別是曲面上經典的梯度算子和

3、laplace-beltrami算子。1-4和5分別是新的梯度算子和新的標量微分算子。 從式（1）和（5）可以看出，生物膜的平衡主要受到兩個梯度算子的控制：經典的梯度算子和新的梯度算子。主要通過第一基本張量定義，故稱為第一類梯度算子；主要通過第二基本張量的共軛張量定義，故稱為第二類梯度算子。與第一類梯度算子不同，第二類梯度算子強烈地取決于空間的彎曲程度。盡管有很大的差異性，和又具有奇特的相似性對稱的微分性質，對稱的積分性質，對稱的守恒定理。這些對稱性，不僅精確地描述了卷曲的幾何空間的性質，而且刻畫了卷曲的軟物質空間的本質。更有趣的是，幾何體系上的對稱性，還構成了生物納米膜管網絡和超級碳納米管等

4、物質空間形式中對稱性的源泉。2、對稱的微分性質 對于曲面上的矢徑和單位法矢量，兩類梯度算子分別有以下對稱的微分性質6： ， ，（10） ， ， ，（11） ，對第一基本張量，兩類梯度算子有以下對稱的微分性質6： ，（12）對于定義在光滑、可微曲面上的張量場，可以證明第一類梯度與第二類梯度、第一類散度與第二類散度、第一類旋度與第二類旋度之間，存在如下對稱的微分性質6： ，(13) ，(14) ，(15)式（13）（15）中，引入單位法矢量之后，有對稱的矢量積表達式7： ，(16) ，(17) ，(18)上述對稱的微分性質，為導出下面對稱的積分定理奠定了基礎。3、對稱的積分性質 由式（13）（15

5、），可得一系列對稱的積分定理6, 7： ，(19)，(20) ， (21)其中，、和分別是矢量線元和矢量面元。式（19）對應第一類梯度定理和第二類梯度定理；式（20）對應第一類散度定理和第二類散度定理；式（21）對應第一類旋度定理和第二類旋度定理。 由式（16）（18），可導出對稱的第一類廣義環(huán)量定理和第二類廣義環(huán)量定理6, 7： ，(22) ，(23)，(24)實際上，式（23）可以等價地寫成：，(25)如果將式（25）中的張量場替換成速度矢量場，則得到第一類環(huán)量定理（幾何中的經典結果）和第二類環(huán)量定理3, 4：，(26)注意到，第一類環(huán)量與機翼的升力密切相關，第一類環(huán)量定理在流體力學的繞流

6、問題中有重要應用。至于第二類環(huán)量及第二類環(huán)量定理的用途，目前尚不得而知。 類似地，我們可以將式（20）寫成矢量形式3, 4：，(27)式（27）對應矢量場的第一類散度定理（幾何中已有的定理）和第二類散度定理。分別取和（和是標量場），可以證明關系式成立，并注意到關系式，于是得到對稱的第一類green定理（幾何中已知的結果）和第二類green定理3, 4： （28）式（28）在生物膜的平衡理論1, 2、穩(wěn)定性理論8和幾何約束理論1, 9中，有廣泛的用途。需要說明的是，上述積分定理雖然具有對稱的解析結構，但它們所適用的空間形式是有差別的：第一類積分定理不僅在二維的riemann曲面上成立，而且在二維

7、的euclidean平面上也成立；但第二類積分定理則只在二維的riemann曲面上成立，空間卷曲得越厲害，第二類積分定理就越占據(jù)主導。 4、對稱的守恒定理 上述的對稱積分定理系統(tǒng)均與外場有關。但從對稱的積分定理系統(tǒng)出發(fā)，可以導出與外場無關的、反映卷曲空間本征特性的守恒定理。式（20）中，令，有6, 7： , (29)在封閉的光滑曲面上，線積分項消失，式（29）退化為： ，(30)式（30）正是著名的minkowski積分定理。經典微分幾何以冗長的推導過程證明了該定理，而此處minkowski積分定理僅僅是對稱積分定理體系的簡單推論。 式（20）中，令，有4, 6, 7： ，(31)其中，式（3

8、1）的左式是微分幾何中已有的結論，在力學上，它精確地刻畫了卷曲的薄膜（如張在鋼絲圈上的肥皂膜）在均勻分布壓力作用下的整體平衡。（31）的右式是關于gauss曲率的矢量型積分定理，它表明，gauss曲率在曲面上的矢量積分取決于邊界線的彎曲程度。如果曲面是光滑封閉的，線積分項消失，式（31）退化為4, 6, 7： ，(32)式（31）和（32）在生物納米膜管網絡和y型碳納米管中有重要用途。 如果封閉曲面并不是光滑的，而是存在如圖2所示的尖銳奇點，則式（31）退化為10： ， (33)這里是尖銳奇點的個數(shù)，是第個奇點尖端的單位切線矢量。式（33）的右式深刻地刻畫了含奇點的卷曲空間的本征特性：gaus

9、s曲率在封閉曲面上的矢量型積分，僅與曲面上尖銳奇點的個數(shù)和奇點的方向有關。該式還具有深刻的內涵：等式左端的積分項反映了曲面的分析性質；而等式右端的代數(shù)項則反映了曲面的微分拓撲性質。因此可以說，該式在分析和拓撲之間架起了橋梁。從應用的角度看，該式在生物力學中有潛在的用途：卷曲的生物結構上的毛發(fā)、纖突和纖維叢都可以理想化成幾何曲面上的奇點，圖3所示的細胞膜表面上的納米膜管纖維叢也可以處理成曲面上的奇點。5、對稱的積分定理與生物膜的幾何約束理論 式（28）是生物膜幾何約束理論的幾何學基礎。將式（1）兩端沿生物膜曲面積分1： （34）由式（28）可知： (35) (36)式（34）、（35）、（36）

10、與式（2）、（3）結合可給出1： (37)對處于平衡態(tài)的生物模，式（37）經過運算將給出一個包含生物膜的物理特征參數(shù)和幾何特征參數(shù)的代數(shù)方程。因此我們說，式（37）深刻地揭示了卷曲的生物膜與空間幾何形式之間的制約關系：生物膜的物理特征參數(shù)與幾何特征參數(shù)之間并不是互相獨立的，而是存在密切的內在聯(lián)系。這種內在的制約關系在軟物質結構中可能具有普遍性。因此，研究卷曲的軟物質結構，應注意物質、空間與幾何的有機結合，不能脫離了空間與幾何來談軟物質分布，也不能脫離了軟物質分布來談空間與幾何。5、對稱的積分定理與對稱的生物納米膜管網絡 生物納米膜管網絡既可以是天然的連接細胞的納米管網絡11，也可以是通過生物納

11、米微加工技術人工制造的、連接磷脂分子雙層膜泡的納米網絡（圖4）12, 13。通過動力學自組裝達到平衡態(tài)時，這種結構往往演化成生物納米膜管三線結網絡（圖5）。奇特的是，網絡中的每個三線結都具有夾角的對稱性。我們追蹤了對稱性的來源，發(fā)現(xiàn)有兩個可能的“源泉”：一是穩(wěn)定平衡的生物納米膜管網絡在物理和力學上必然是最低能量態(tài)，在初等幾何上必然等價于一顆steiner最小樹（由具有夾角的對稱三線結連接而成的最短的樹狀網絡）；二是上述對稱的積分定理系統(tǒng)在微分幾何上決定了生物納米膜管三線結及其網絡必然具有夾角的對稱性10。這里主要介紹后者。 考慮一個穩(wěn)定平衡的三線結連接三個膜泡的簡單情形（圖6）。如果將膜泡和膜

12、管網絡在整體上視為一個光滑的封閉曲面，則式（32）在該曲面上成立。為計算方便，我們假想在結點處沿管的橫截面切開，然后通過計算平均曲率和gauss曲率在三個截開曲面上的積分來得到其在整個封閉曲面上的積分10： ， (38)由式（32）中對稱的積分定理可得： ，(39)式（39）可以理解為三個匯交力的平衡，其成立的充分必要條件為： ，(40)此處是第根膜管的半徑，是兩兩膜管間的夾角。式（40）準確地描述了對稱三線結的幾何結構。基于式（32）中對稱的積分定理可以進一步證明：不論網絡中三線結的個數(shù)有多少（圖5），不論三線結在網絡中處于什么位置（圖7），式（40）都成立。這個結論，與迄今為止發(fā)現(xiàn)的所有實

13、驗事實都精確吻合。6、對稱的積分定理與對稱的y型碳納米管及超級碳納米管 三線結狀的結構，不僅存在于生物納米膜管網絡中，而且存在于碳納米管網絡中y型碳納米管就是典型的三線結狀結構。實驗證明：自發(fā)生長的y型碳納米管，具有夾角的對稱性（圖8）14-17。模擬表明，自發(fā)的、具有能量最低態(tài)的y型碳納米管在結點區(qū)通過正七邊形的過渡18，實現(xiàn)了y型碳納米管中三個碳納米管的無縫對稱連接（圖9）。我們借鑒了生物納米膜管三線結中的研究思路，證明了如下結果18：自發(fā)生長的、穩(wěn)定平衡的y型碳納米管，物理上處于能量最低態(tài)，幾何上則等價于最短網絡steiner最小樹；而從對稱積分定理體系中的式（31）出發(fā)，可以證明，此時

14、的y型碳納米管必然滿足對稱性條件式（40）。因此，對稱的y型碳納米管與對稱的生物納米膜管三線結，盡管微觀物質結構上差異極大，但在物理、力學和幾何規(guī)律上卻非常相似。 這一研究結果導致了超級碳納米管概念和工藝設想19。y型碳納米管常用來制造納米電路。為了確保制造的可控制性，模版不可或缺。我們注意到，模版生長的y型碳納米管有可控制性，但往往缺乏對稱性；自發(fā)生長的y型碳納米管有對稱性，但往往缺乏可控制性。能否將二者結合起來制造出新的碳納米結構？可能性是存在的，具體設想如下（圖10）：在平面模版上刻蝕具有對稱性的y型納米槽，通過該模版可以可控制地生成對稱的y型碳納米管；將兩個對稱的y型納米槽背靠背連接，

15、可得“彎工字型”的納米槽；將大量“彎工字型”的納米槽無縫連接，可得周期性的、具有正六邊形拓撲的納米槽網絡。在這樣的納米槽網絡中生長碳納米管，可得周期性的、具有正六邊形拓撲的碳納米管網絡。就像用石墨片構造碳納米管一樣，我們將這樣的碳納米管網絡卷成圓筒并“焊接”起來，就得到“管中有管、格中有格”的超級碳納米管。 當然上述構想僅僅是“幾何”上的，工程中很難實現(xiàn)。為此，我們進一步提出工程中具有可操作性的工藝構想：通過圓柱形模版制造超級碳納米管即在圓柱面上刻蝕周期性的、具有正六邊形拓撲的納米槽網絡，在這樣的納米槽網絡中生長碳納米管，然后溶掉模版，即可得超級碳納米管。由微分幾何可知：圓柱面是可展曲面。故用

16、圓柱形模版生成的超級碳納米管與上述“幾何”構想的超級碳納米管沒有差別。 超級碳納米管從局部到整體都包含了大量的y型管。這些y型管都滿足對稱幾何條件式（40）。 如果超級碳納米管的兩級結構在幾何尺寸上滿足相似條件，則超級碳納米管就具有了幾何自相似性。如果進一步擴展這一構思，就可以得到更新的概念具有多級幾何自相似性的超級分形碳納米管（圖11）20。超級分形碳納米管的每級結構都滿足對稱幾何條件式（40）。 盡管超級分形碳納米管并不是一種物理學實在，但在幾何上它是真實的。隨著幾何參數(shù)的變化，我們發(fā)現(xiàn)20作為一種分形幾何結構，其自相似分形維數(shù)的取值范圍為，中間竟然包括了整數(shù)階維數(shù)。這個奇異的結果顯示：超

17、級分形碳納米管與任何已知的分形幾何結構都不同經典的分形幾何結構，分形維數(shù)一般取在兩個相鄰整數(shù)之間，即、或。 這種奇異的分形幾何性質意味著什么？是否意味著超級分形碳納米（以及超級碳納米管）隱含著奇異的物理或力學性質？這是值得探索的問題。7、結論 從對稱的微分算子、對稱的微分性質到對稱的積分定理，這一系列的對稱性不僅是二維riemann曲面和微分幾何理論本征性質的體現(xiàn)，也是卷曲的物質空間必須遵循的幾何規(guī)則，還是決定生物納米膜管網絡和超級碳納米管幾何結構對稱性的重要依據(jù)和源泉。理解這種對稱性，應用這種對稱性，不僅能夠推動幾何理論的發(fā)展，而且能夠為曲面物質結構的研究提供動力。致謝：國家自然科學基金項目

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