2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.1兩條直線的交點坐標2.3.2兩點間的距離公式學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第一冊

1、2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.1兩條直線的交點坐標2.3.2兩點間的距離公式學(xué) 習(xí) 目 標核 心 素 養(yǎng)1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(重點) 2.會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系(難點)3.掌握兩點間距離公式并會應(yīng)用(重點)1. 通過兩直線交點坐標的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2. 通過兩點間距離學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).點p(x0，y0)在直線axbyc0上，那么我們會有ax0by0c0，若p(x0，y0)，同時在兩條直線a1xb1yc10和a2xb2yc20上時，我們會有aix0biy0ci0(i1,2)，那么點p就是這兩條直線的

2、交點下面我們就來研究兩直線的交點問題1兩條直線的交點坐標 幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點aa(a，b)直線ll：axbyc0點a在直線l上aabbc0直線l1與l2的交點是a方程組的解是2.直線l1：a1xb1yc10(a1，b1不同時為0)；l2：a2xb2yc20(a2，b2不同時為0)的位置關(guān)系如表所示：方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行3.兩點間的距離公式(1)平面上的兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式|p1p2|.(2)兩點間距離的特殊情況原點o(0,0)與任一點p(x，y)的距離|op|.當p1p2x軸

3、(y1y2)時，|p1p2|x2x1|.當p1p2y軸(x1x2)時，|p1p2|y2y1|.思考：兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式是否可以寫成|p1p2|的形式？提示可以，原因是，也就是說公式中p1，p2兩點的位置沒有先后之分1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若由兩條直線的方程組成的方程組只有一個公共解，則兩條直線相交()(2)若兩條直線的斜率都存在且不等，則兩條直線相交()(3)已知p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，當p1p2y軸(x1x2)時，|p1p2|y2y1|.()(4)已知p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，當p1p2x軸(y1y2)時

4、，|p1p2|x2x1|.()提示(1)(2)(3)(4)2直線x1和直線y2的交點坐標是()a(2,2)b(1,1)c(1,2)d(2,1)c由得交點坐標為(1,2)，故選c.3已知abc的頂點a(2,3)，b(1,0)，c(2,0)，則abc的周長是()a2 b32c63 d6c|ab|3，|bc|3，|ac|3，則abc的周長為63. 4若直線xay10與直線xy10的交點在y軸上，則a的值是_1直線xy10與y軸的交點為(0,1)，把(0,1)代入xay10的a10解得a1.兩條直線的交點問題【例1】分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點(1)l1：2xy7和l2：3x2y7

5、0；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解法一：(1)方程組的解為因此直線l1和l2相交，交點坐標為(3，1)(2)方程組有無數(shù)個解，這表明直線l1和l2重合(3)方程組無解，這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1l2.法二：(1)kl12，kl2，kl1kl2，l1與l2相交，由得故l1與l2的交點為(3，1)(2)由，知l1與l2重合(3)l2方程為2xy30，由知兩直線l1與l2平行兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等方法三：兩直線的斜率一個存在，另一個不存在跟進

6、訓(xùn)練1若直線l1：ykxk2與直線l2：y2x4的交點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是()akbk2ck2 dk或k2c法一：由題意知，直線l1過定點p(1,2)，斜率為k，直線l2與x軸、y軸分別交于點a(2,0)、b(0,4)，若直線l1與l2的交點在第一象限內(nèi)，則l1必過線段ab上的點(不包括a，b)，因為kpa，kpb2，所以k2.故選c.法二：由直線l1，l2有交點，得k2.由得又交點在第一象限內(nèi)，所以解得k2.兩點間距離公式【例2】已知abc的三個頂點坐標分別是a(1，1)，b(1,3)，c(3,0)(1)判斷abc的形狀；(2)求abc的面積思路探究先把三個頂點描在平面直角坐標

7、系中，觀察出三角形的形狀，再用距離公式及斜率的關(guān)系驗證解(1)如圖所示，abc為直角三角形，下面進行驗證法一：|ab|2，|ac|，|bc|5.|ab|2|ac|2|bc|2，即abc是以a為直角頂點的直角三角形法二：kab2，kac.kabkac1，abac.abc是以a為直角頂點的直角三角形(2)由(1)中法一得|ab|2，|ac|.又a90，sabc|ab|ac|25.1判斷三角形的形狀，要采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向2在分析三角形的形狀時，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足

8、勾股定理跟進訓(xùn)練2已知點a(3,4)，b(2，)，在x軸上找一點p，使|pa|pb|，并求|pa|的值解設(shè)點p(x,0)，則有|pa|，|pb|.由|pa|pb|，得x26x25x24x7，解得x.即所求點p為，且|pa|.過兩條直線交點的直線系方程應(yīng)用探究問題1. 如何求兩條直線的交點坐標？提示求兩條直線的交點坐標只需將兩條直線方程聯(lián)立解方程組即可2怎樣表示過兩條直線交點的直線系方程？提示過兩條直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20的交點的直線系方程a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(不包括l2的方程)3方程(a1)xy(2a1)0表示過哪兩條直線的直線系方程提示方程可化

9、為a(x2)(xy1)0，所以該方程可表示為過直線x20和xy10的交點的直線系方程【例3】求過兩直線2x3y30和xy20的交點且與直線3xy10平行的直線方程思路探究條件確定系數(shù)解法一：解方程組得所以兩直線的交點坐標為.又所求直線與直線3xy10平行，所以所求直線的斜率為3.故所求直線方程為y3，即15x5y160.法二：設(shè)所求直線方程為(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直線與直線3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.1本例中將“3xy10”改為“x3y10”，則如何求解？解由例題知直線2x3y30和xy20的交點坐標為

10、，直線l與x3y10平行，故斜率為，所以直線l的方程為y，即5x15y240.2本例中若將“平行”改為“垂直”，又如何求解？解設(shè)所求直線方程為(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直線與直線3xy10垂直，則3(2)(3)10，得，所以所求直線方程為5x15y180.過兩條直線交點的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程(2)特殊解法(直線系法)：先設(shè)出過兩條直線交點的直線方程，再結(jié)合其他條件用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程1方程組有唯一解的等價條件是a1b2a2b10.亦即兩條直線相交的等價條件是a

11、1b2a2b10.直線a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)是過直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20交點的直線(不含l2)2解析法又稱為坐標法，它就是通過建立直角坐標系，用坐標代替點、用方程代替曲線、用代數(shù)的方法研究平面圖形的幾何性質(zhì)的方法3兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式|p1p2|與兩點的先后順序無關(guān)，其反映了把幾何問題代數(shù)化的思想1直線2xy80和直線xy10的交點坐標是()a(9，10) b(9,10)c(9,10) d(9，10)b解方程組得故兩直線的交點坐標為(9,10)2已知點a(2，1)，b(a,3)，且|ab|5，則a的值為()a1 b5c1或5 d1,5c由兩點間距離公式得5.解得a1或5，故選c.3若三條直線2x3y80，xy10和xky0相交于一點，則k的值等于_由得把(1，2)代入xky0并解得k.4不論a取何值時，直線(a3)x2ay60，恒過第_象限四方程可化為a(x2y)(3x6)0，由得，(2，1)在第四象限，故直線恒過第四