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1、22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)第2課時(shí)二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)方式?二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)方式? 一般式:一般式:y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 頂點(diǎn)式:頂點(diǎn)式:y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k如何求二次函數(shù)的解析式?如何求二次函數(shù)的解析式?已知二次函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法已知二次函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求其解析式求其解析式 交點(diǎn)式:交點(diǎn)式:y=a(x-xy=a(x-x1 1) )(x-x(x-x2 2) )1.1.會(huì)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式會(huì)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式. .2.2.會(huì)求簡(jiǎn)單的實(shí)際
2、問(wèn)題中的二次函數(shù)解析式會(huì)求簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的二次函數(shù)解析式. .解析:解析: 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c,由條件得:由條件得:a-a-b+cb+c=10=10,a+b+ca+b+c=4=4,4a+2b+c=74a+2b+c=7,解方程組得:解方程組得:因此,所求二次函數(shù)的解析式是:因此,所求二次函數(shù)的解析式是:a=2, b=-3, c=5.a=2, b=-3, c=5.y=2xy=2x2 2-3x+5.-3x+5.【例例1 1】已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)(已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)(1 1,1010),(),(1 1,4 4),(),(2 2,7
3、 7)三點(diǎn),求這個(gè)函數(shù)的解析式)三點(diǎn),求這個(gè)函數(shù)的解析式. .【例題例題】【例例2 2】已知拋物線的頂點(diǎn)為已知拋物線的頂點(diǎn)為(-1(-1,-3),-3),與與y y軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為(0(0,-5),-5),求拋物線的解析式求拋物線的解析式. .yox解析:解析: 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=y=a(xa(x1)1)2 2-3-3由點(diǎn)由點(diǎn)( 0,-5 )( 0,-5 )在拋物線上得:在拋物線上得:a-3=-5, a-3=-5, 得得a=-2a=-2,故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為y=y=2(x2(x1)1)2 2-3.-3.-1-1-3-3【例題例題】【例例3 3】當(dāng)當(dāng)
4、x=1x=1時(shí),拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4 4,且與,且與x x軸兩交點(diǎn)之間的距離為軸兩交點(diǎn)之間的距離為6 6,求此函數(shù)解析式,求此函數(shù)解析式. .【例題例題】解析:方法一:解析:方法一:由題意知,拋物線的頂點(diǎn)為(由題意知,拋物線的頂點(diǎn)為(1,41,4),對(duì)),對(duì)稱(chēng)軸為稱(chēng)軸為x=1x=1,又因?yàn)閽佄锞€與,又因?yàn)閽佄锞€與x x軸兩交點(diǎn)之間的距離為軸兩交點(diǎn)之間的距離為6 6,所以拋物線與所以拋物線與x x軸的兩交點(diǎn)為(軸的兩交點(diǎn)為(-2,0-2,0)和()和(4,04,0),),設(shè)函數(shù)解析式為設(shè)函數(shù)解析式為y=y=a(xa(x- -1)1)2 2+4+4,因?yàn)楫?dāng),因?yàn)楫?dāng)x=
5、-2x=-2時(shí),時(shí),y=0y=0,所以,所以0 0=a(=a(-2-2-1)1)2 2+4+4,所以,所以 ,所以函數(shù)解析式為,所以函數(shù)解析式為y=y= (x(x- -1)1)2 2+4+4,即,即49a 4924832.999yxx 【例例3 3】當(dāng)當(dāng)x=1x=1時(shí),拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4 4,且與,且與x x軸兩交點(diǎn)之間的距離為軸兩交點(diǎn)之間的距離為6 6,求此函數(shù)解析式,求此函數(shù)解析式. .【例題例題】解析:方法二:解析:方法二:由題意知,拋物線的頂點(diǎn)為(由題意知,拋物線的頂點(diǎn)為(1,41,4),對(duì)),對(duì)稱(chēng)軸為稱(chēng)軸為x=1x=1,又因?yàn)閽佄锞€與,又因?yàn)閽佄锞€與x
6、 x軸兩交點(diǎn)之間的距離為軸兩交點(diǎn)之間的距離為6 6,所以拋物線與所以拋物線與x x軸的兩交點(diǎn)為(軸的兩交點(diǎn)為(-2,0-2,0)和()和(4,04,0),),設(shè)函數(shù)解析式為設(shè)函數(shù)解析式為y=ay=a(x+2)(x-4)x+2)(x-4),因?yàn)楫?dāng),因?yàn)楫?dāng)x=1x=1時(shí),時(shí),y=4y=4,所,所以以4 4= =a(1+2)(1-4)a(1+2)(1-4),所以,所以 ,所以函數(shù)解析式為,所以函數(shù)解析式為y=y= (x(x+2)(x-4)+2)(x-4),即,即49a 4924832.999yxx 1.1.求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的解析式,關(guān)鍵是求出待定系數(shù)的解
7、析式,關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a,a,b, cb, c的值,由已知條件(如二次函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))的值,由已知條件(如二次函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))列出關(guān)于列出關(guān)于a, b, ca, b, c的方程組,并求出的方程組,并求出a, b, ca, b, c,就可以寫(xiě)出二,就可以寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式次函數(shù)的解析式. .2.2.當(dāng)給出的點(diǎn)的坐標(biāo)有頂點(diǎn)時(shí),可設(shè)頂點(diǎn)式當(dāng)給出的點(diǎn)的坐標(biāo)有頂點(diǎn)時(shí),可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,將將h,kh,k換為頂點(diǎn)坐標(biāo),再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出換為頂點(diǎn)坐標(biāo),再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a a的的值值. .3.3.當(dāng)拋物線與當(dāng)拋物線與x x軸的兩
8、個(gè)交點(diǎn)易得到時(shí),可設(shè)交點(diǎn)式軸的兩個(gè)交點(diǎn)易得到時(shí),可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=y=a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) ),再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a a的值的值. .【歸納歸納】(西安(西安中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)物線經(jīng)過(guò)a a(-1-1,0 0),),b b(3 3,0 0),),c c(0 0,-1-1)三)三點(diǎn)點(diǎn). .求該拋物線的解析式求該拋物線的解析式. .【解析解析】設(shè)該拋物線的解析式為設(shè)該拋物線的解析式為y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,根據(jù)題意,得根據(jù)題意,得 . 1, 039,
9、 0ccbacba.1,32,31cba解之解之 得得所求拋物線的解析式為所求拋物線的解析式為. 132312xxyayxocb【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】我們需要掌握二次函數(shù)解析式的三種求法:我們需要掌握二次函數(shù)解析式的三種求法:(1 1)已知圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)或給定)已知圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)或給定x x與與y y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值,的三對(duì)對(duì)應(yīng)值,通常選擇一般式通常選擇一般式. .(2 2)已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo))已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo), ,對(duì)稱(chēng)軸和最值對(duì)稱(chēng)軸和最值, ,通常選擇頂通常選擇頂點(diǎn)式點(diǎn)式. . 確定二次函數(shù)的解析式時(shí),應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn),確定二次函數(shù)的解析式時(shí),應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)方式
10、恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)方式. . (3 3)已知圖象與)已知圖象與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo), ,通常選擇交點(diǎn)式通常選擇交點(diǎn)式. .1.1.二次函數(shù)二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 . .2224ym xxmm=+-【解析】【解析】把把x=0,y=0 x=0,y=0代入表達(dá)式,得代入表達(dá)式,得m-4mm-4m2 2=0=0,解得解得m m1 1=0,m=0,m2 2= ,= ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閙0m0,所以,所以m= ,m= ,所以所以二次函數(shù)的表達(dá)式為二次函數(shù)的表達(dá)式為 ,則此拋物線則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-4-4,-4-4
11、). .答案:答案:(-4-4,-4-4)14142124yxx2.2.已知一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)是(已知一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)是(-1,0-1,0)且過(guò)點(diǎn))且過(guò)點(diǎn)(2,182,18),此二次函數(shù)解析式為),此二次函數(shù)解析式為 . .【解析】【解析】設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)y=a(x+1)2 2, ,因?yàn)橐驗(yàn)閤=2x=2時(shí),時(shí),y=18y=18,所以,所以18=a(18=a(2+1)2+1)2 2, ,解得解得a=2a=2,所以二次,所以二次函數(shù)解析式為函數(shù)解析式為y=2(x+1)y=2(x+1)2 2. .答案:答案:y=2(x+1)y=2(x+1)2 23.3.(湖州(
12、湖州中考)已知拋物線中考)已知拋物線y=y=x x2 2+bx+c+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a a(3 3,0 0),),b b(1 1,0 0)(1 1)求拋物線的解析式;()求拋物線的解析式;(2 2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo))求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)【解析解析】(1 1)拋物線拋物線y=y=x x2 2+bx+c+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a a(3 3,0 0),),b b(1 1,0 0)拋物線的解析式為拋物線的解析式為y=y=(x x3)3)(x+1x+1),),即即y=y=x x2 2+2x+3.+2x+3.(2 2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,41,4). .4.4.(寧波(寧波 中考)已知拋物線中考)已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)a a(1 1,0 0),),b b(3 3,0 0),且過(guò)點(diǎn)),且過(guò)點(diǎn)c c(0 0,-3-3)求拋物線的)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo). .【解析解析】拋物線與拋物線與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)a a(1 1,0 0),),b b(3 3,0 0),), 可設(shè)拋物線解析式為可設(shè)拋物線解析式為y=ay=a(x x1
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