23等腰三角形2

1、等腰三角形等腰三角形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3 我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？探究探究 任意畫一個等腰三角形任意畫一個等腰三角形abc，其中，其中ab=ac，如圖如圖. 作作abc 關(guān)于頂角平分線關(guān)于頂角平分線ad所在直線的軸所在直線的軸反射，反射， 由于由于1=2，ab=ac，因此：因此：d1 2射線射線ab的像是射線的像是射線ac，射線射線ac的像是射線的像是射線 ；線段線段ab的像是線段的像是線段ac，線段線段ac的像是線

2、段的像是線段 ；點(diǎn)點(diǎn)b的像是點(diǎn)的像是點(diǎn)c，點(diǎn)點(diǎn)c的像是點(diǎn)的像是點(diǎn) ；線段線段bc的像是線段的像是線段cb.從而等腰三角形從而等腰三角形abc關(guān)于直線關(guān)于直線 對稱對稱.ababbad由于點(diǎn)由于點(diǎn)d的像是點(diǎn)的像是點(diǎn)d，因此線段因此線段db的像是線段的像是線段 ，從而從而ad是底邊是底邊bc上的上的 .由于射線由于射線db的像是射線的像是射線dc，射線射線da的像是射線的像是射線 ，因此因此bda cda= ， 從而從而ad是底邊是底邊bc上的上的 .由于射線由于射線ba的像是射線的像是射線ca，射線射線bc的像是射線的像是射線 ，因此因此b c.dc中線中線da=90高高cb=結(jié)論結(jié)論由此得到等

3、腰三角形的性質(zhì)定理：由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理： 等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線平分線所在的直線. 等腰三角形的兩底角相等等腰三角形的兩底角相等( ( 簡稱簡稱“等邊對等邊對等角等角”) ). 結(jié)論結(jié)論 等腰三角形底邊上的高等腰三角形底邊上的高、中線中線及頂角平分及頂角平分線重合線重合( (簡稱為簡稱為“三線合一三線合一”).).動腦筋動腦筋因?yàn)橐驗(yàn)閍bc是等邊三角形，是等邊三角形，所以所以ab=bc=ac，從而從而c=a=b.由三角形內(nèi)角和定理可得：由三角形內(nèi)角和定理可得：a=b=c=60. 如圖，如圖，abc是等邊三角形，那么是等

4、邊三角形，那么a，b，c 的大小之間有什么關(guān)系呢的大小之間有什么關(guān)系呢？由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于60.結(jié)論結(jié)論 由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內(nèi)角的平分線所在的直線稱軸，分別是三個內(nèi)角的平分線所在的直線.例例1 已知：如圖，在已知：如圖，在abc中，中，ab=ac，點(diǎn)，點(diǎn)d，e 在邊在邊bc上，且上，且ad=ae. 求證：求證：bd=ce.舉舉例例證明證明 作作a

5、fbc，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)f，則則af是等腰三角形是等腰三角形abc和等腰三角形和等腰三角形ade底邊上的高，也是底邊上的中線底邊上的高，也是底邊上的中線. bf=cf， bf- -df=cf- -ef，df=ef，即即 bd=ce.f 如圖的三角測平架中如圖的三角測平架中，ab=ac，在在bc的中的中點(diǎn)點(diǎn)d掛一個重錘掛一個重錘，自然下垂自然下垂，調(diào)整架身調(diào)整架身，使點(diǎn)使點(diǎn)a恰好在恰好在鉛鉛錘錘線上線上.（1）ad與與bc是否垂直是否垂直，試說明理由試說明理由.（2）這時這時bc處于水平位置處于水平位置，為什么為什么？議一議議一議練習(xí)練習(xí)1. 如圖，在如圖，在abc中，中，ab=ac，ad為為

6、bc邊上邊上 的高，的高，bac=49，bc= 4，求，求bad的度的度 數(shù)及數(shù)及dc的長的長.答：答：bad=24.5， dc=2.2. 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)p為等邊三角形為等邊三角形abc的邊的邊bc上一上一 點(diǎn)，且點(diǎn)，且apd= 80，ad=ap，求，求dpc 的度數(shù)的度數(shù).答：答：dpc =20. 我們知道我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩兩個角相等的個角相等的三三角角形是等腰三角形嗎形是等腰三角形嗎？探究探究 如圖，在如圖，在abc中，如果中，如果b=c，那么，那么ab與與ac之間有什么關(guān)系嗎之間有什么關(guān)系嗎？我測量后發(fā)現(xiàn)我測量后發(fā)現(xiàn)ab與與ac相

7、等相等.3cm3cm事實(shí)上，如圖，在事實(shí)上，如圖，在abc中，中，b=c. 沿過點(diǎn)沿過點(diǎn)a的直線把的直線把bac對折，對折，得得bac的平分線的平分線ad交交bc于點(diǎn)于點(diǎn)d，則則1=2.又又b=c，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得adb=adc.d12沿沿ad所在直線折疊，所在直線折疊，由于由于adb=adc，1=2，所以射線所以射線db與射線與射線dc重合，重合，射線射線ab與射線與射線ac重合重合.從而點(diǎn)從而點(diǎn)b與點(diǎn)與點(diǎn)c重合，重合，于是于是ab=ac.結(jié)論結(jié)論有兩個角相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形( (簡稱簡稱“等角對等邊等角對等邊”) ). .結(jié)論

8、結(jié)論三個角都是三個角都是60的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形. 由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：以得到等邊三角形的判定定理：例例2 已知：如圖，在已知：如圖，在abc中，中，ab=ac，點(diǎn)，點(diǎn)d，e 分別是分別是ab，ac上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且debc. 求證：求證：ade為等腰三角形為等腰三角形.舉舉例例證明證明 ab=ac， b=c.又又 debc， ade=b，aed=c. ade=aed.于是于是ade為等腰三角形為等腰三角形. 有一個角是有一個角是60的等腰三角形是等邊的等腰三角形是等邊三角形嗎三角形嗎？為什么為什

9、么？動腦筋動腦筋如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形abc中，中，ab=ac.由三角形內(nèi)角和定理得由三角形內(nèi)角和定理得 a+b+c= 180.如果頂角如果頂角a=60，則則b+c= 180- -60=120.又又 ab=ac， b=c. b=c=a=60. abc是等邊三角形是等邊三角形.由此得到另一條等邊三角形的判定定理：由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結(jié)論結(jié)論有一個角是有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形例例3 已知：如圖，已知：如圖，abc是等邊三角形，點(diǎn)是等邊三角形，點(diǎn)d，e 分別在分別在ba，ca的延長線上，且的延長線上，且ad=ae. 求證：求證：ad

10、e是等邊三角形是等邊三角形.舉舉例例證明證明 abc是等邊三角形，是等邊三角形，bac=b=c= 60.ead=bac= 60，又又 ad =ae，ade是等邊三角形是等邊三角形（有一個角是有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形）練習(xí)練習(xí)1. 已知：等腰三角形已知：等腰三角形abc的底角的底角abc和和 acb的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)o. 求證：求證：obc為等腰三角形為等腰三角形.abcdeo證明證明abc和和acb的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)o， abd =dbc= ， ace =ecb= ，12abc12acb dbc =ecb， obc是等腰三角形是

11、等腰三角形.又又 abc是等腰三角形，是等腰三角形， abc =acb，abcdeo2. 已知：如圖，已知：如圖，cd平分平分acb，aedc，ae 交交bc的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)e，且，且ace= 60. 求證：求證：ace是等邊三角形是等邊三角形.證明證明cd平分平分acb， 在在ace中，中，cae= 180- - e - -ace =60 又又ace=60， bcd=e=60， acd =dcb， acd=dcb=60，又又 aedc， cae = ace=e=60 ace是等邊三角形是等邊三角形.3. 已知：如圖已知：如圖，ab=bc ，cde= 120， dfba，且，且df平分平分cde. 求證：求證：abc是等邊三角形是等邊三角形.證明證明 ab=bc，abc是等邊三角形是等邊三角形.又又cde=120，df平分平分cde. fdc=abc=60， abc是等腰三角形，是等腰三角形， edf=fdc=60，又又dfba，中考中考 試題試題例例1 等腰三角形兩邊長分別是等腰三角形兩邊長分別是2cm和和5cm，則這個，則這個三角形周長為（三角形周長為（ ） a.9cm b.12cm c.9cm或或12cm d.14cmb解析解析 另一邊長為另一邊長為2cm或或5cm，2，2，5不符合不符合三角形三邊關(guān)系定理，故選三角形三邊關(guān)系定理