高考數(shù)學解答題?？脊郊按痤}模板

第第頁高考數(shù)學解答題常考公式及答題模板題型一：解三角形1正弦定理：（是外接圓的半徑）變式①：變式②：變式③：2余弦定理：變式：3面積公式：4射影定理：（少用可以不記哦^o^）奇：的奇數(shù)倍偶：的偶數(shù)倍5三角形的內(nèi)角和等于即6誘導公式：奇變偶不變奇：的奇數(shù)倍偶：的偶數(shù)倍利用以上關系和誘導公式可得公式：和7平方關系和商的關系：①②8二倍角公式：①②降冪公式：③8和差角公式：①②③9基本不等式：①②③注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題中用到比如求面積的最大值時。?答題步驟：①抄條件：先寫出題目所給的條件（但不要抄題目）②寫公式：寫出要用的公式如正弦定理或余弦定理③有過程：寫出運算過程關注公眾號《品數(shù)學》獲取更多資料④得結(jié)論：寫出結(jié)論（不會就猜一個結(jié)果）⑤猜公式：第二問一定不能放棄先寫出題目所給的條件然后再寫一些你認為可能考到的公式如均值不等式或面積公式等。10不常用的三角函數(shù)公式（很少用可以不記哦^o^）（1）萬能公式：①②③（2）三倍角公式：①②③例1：在中內(nèi)角ABC所對應的邊分別為abc已知.(1)求B(2)若求sinC的值.解：已知……將題目的條件抄一遍由正弦定理……寫出要用的公式……寫出要用的公式……寫出運算過程又故.……寫出結(jié)論(2)已知,……寫出題目的條件和要用的公式……先寫公式再寫運算過程.例2：在△ABC中角ABC所對的邊分別為abc已知cosC＋(cosA－sinA)cosB=0.(1)求角B的大小(2)若a＋c=1求b的取值范圍．解：(1)已知cosC＋(cosA－sinA)cosB=0……將題目的條件抄一遍……寫出必要的運算過程.……得出結(jié)論(2)由余弦定理得……寫出要用的公式……寫出必要的運算過程根據(jù)基本不等式得……寫出要用的公式……寫出必要的運算過程即.……得出結(jié)論題型二：數(shù)列1等差數(shù)列2等比數(shù)列①定義：①定義：②通項公式：②通項公式：③前n項和：（大題小題都常考）③前n項和：（?？迹ㄐ☆}?？迹梢圆挥浥禴o^）④等差中項：若成等差數(shù)列則④等比中項：若成等比數(shù)列則⑤性質(zhì)：若則⑤性質(zhì)：若則3與的關系：注意：該公式適用于任何數(shù)列常利用它來求數(shù)列的通項公式4求數(shù)列通項公式的方法（1）公式法：①若已知和則用等差數(shù)列通項公式②若已知和則用等比數(shù)列通項公式（2）與的關系：例3：數(shù)列滿足求.解：設則（1）當時（2）當時①②①-②得……利用了與的關系驗證當時……要驗證n=1是否成立不成立應當分開寫故.（3）構造法：形如（pq為非零常數(shù)）構造等比數(shù)列例4：已知數(shù)列滿足且求.解：已知且構造……構造等比數(shù)列……將假設出來的式子與原式比較求出未知數(shù)令為等比數(shù)列……先寫出等比數(shù)列的通項公式再帶值又.……通過求出間接求出累加法：形如且可用求和可用累加法例5：已知數(shù)列中求.解：已知……累加的方法是左邊加左邊右邊加右邊累加后得……利用了公式故.（5）累乘法：形如且可用求積可用累乘法例6：已知數(shù)列中求.解：已知累乘后得.（6）取倒數(shù)法：形如（pq為非零常數(shù)）則兩邊同時取倒數(shù)例7：已知數(shù)列滿足且求.解：已知……等式兩邊同時取倒數(shù)……滿足等差數(shù)列的定義令則……構造等差數(shù)列為等差數(shù)列.……先寫出公式再帶值5求數(shù)列前n項和Sn的方法（1）公式法：除了用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和的公式外還應當記住以下求和公式①④②⑤③⑥（2）裂項相消法：①③②④例8：設等差數(shù)列的前n項和為且.（1）求數(shù)列的通項公式（2）設求數(shù)列的前n項和.解：（1）已知……寫出題目所給的條件……一定要先寫出要用的公式再帶值①②……先寫出公式再帶值由①②式解得.……先寫出公式再帶值（2）由（1）知：……拆項后擔心不對就通分回去驗證（3）錯位相減法：形如“等差×等比”的形式可用錯位相減法例9：設數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式（2）令求數(shù)列的前n項和.解：（1）已知則……一定要先寫出題目所給的條件累加后得……運用等比數(shù)列求和公式……所有的n取n-1得到（2）由（1）知：記①②……等式兩邊同時乘以等比部分的公比①-②得……此處用錯位相減法.……運用求和公式（4）分組求和法：例10：已知等差數(shù)列滿足.（1）若成等比數(shù)列求m的值（2）設求數(shù)列的前n項和.解：（1）已知……寫出題目所給的條件由得.……先寫出通項公式的一般式再帶值又成等比數(shù)列……利用等比中項列出方程.（2）由（1）知：……運用分組求和法記則.6基本不等式：①②③注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題的時候用到有時還用于證明數(shù)列不等式。?答題步驟：①抄條件：先抄題目所給的條件（但不要抄題目）②寫公式：寫出要用的公式如等差數(shù)列的通項公式或前n項和③有過程：寫出運算過程關注公眾號《品數(shù)學》獲取更多資料④得結(jié)論：寫出結(jié)論（不會就一個結(jié)果）⑤猜公式：第二問一定不能放棄先寫出題目所給的條件然后再寫一些你認為可能考到的公式。^o^數(shù)列題型比較難的是放縮法題型三：空間立體幾何1線線關系①線線平行：（很簡單基本上不考）②線線垂直：先證明線面垂直從而得到線線垂直。（?？迹┓椒ǎ海╥）利用面與面垂直的性質(zhì)即一個平面內(nèi)的一條直線垂直于兩面交線必與另一平面垂直（ii）利用線與面垂直的性質(zhì)即直線同時垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線。例11：如圖在四棱錐中底面是且邊長為的菱形側(cè)面是等邊三角形且平面垂直于底面求證：.證明：取AD的中點為G連接PGBG如圖所示：……作輔助線一定要有說明PAD是等邊三角形①……將條件圈出來②……將條件圈出來又而……必須說明線與面的關系即.2線面關系①線面平行：只需證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行即可。方法：將直線平移到平面中得到平面內(nèi)的一條直線只需證明它們互相平行即可。一般要用平行四邊形或三角形中位線的性質(zhì)證明。（最?？家欢ㄒ莆狰啠诰€面垂直：只需證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都互相垂直即可。（最?？家欢ㄒ莆狰啠┓椒ǎ海╥）利用面與面垂直的性質(zhì)關注公眾號《品數(shù)學》獲取更多資料（ii）直線同時垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線。例12：如圖所示在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=aAB=2aEF分別為C1D1A1D1的中點．（1）求證：DE⊥平面BCE（2）求證：AF∥平面BDE．證明：（1）已知AA1=AD=aAB=2aE為C1D1的中點①又②且而.（2）連接EF連接AC交BD于點M如圖所示：③又.3面面關系①面面平行：只需證明第一個平面的兩條相交直線與第二個平面的兩條相交直線互相平行即可（很少考哦）。②面面垂直：只需證明有一條直線垂直于一個平面而這條直線又恰好在另外一個平面內(nèi)即可。（?？迹├?3：如圖在三棱錐V-ABC中平面VAB⊥平面ABC△VAB為等邊三角形AC⊥BC且AC=BCOM分別為ABVA的中點．求證：平面MOC⊥平面VAB．證明：已知面VAB⊥面ABC①……將條件圈出來又.……利用了線垂直于平面的性質(zhì)?答題模板：①作輔助：需要作輔助線的一定要在圖中作出輔助線如取AB的中點為E②有說明：需要在圖上連線時一定要有說明如連接AB兩點如圖所示③抄條件：寫出證明過程并將條件圈出④再說明：說明線與面的關系如面而面⑤得結(jié)論：得出結(jié)論證畢⑥寫多分：第二問不要不寫能寫多少寫多少哪怕是抄題目的條件。文科?？煎F體體積公式：理科常考二面角的余弦值：其中和為兩個平面的法向量點到平面的距離公式(理科)：設平面的法向量為A為該平面內(nèi)任意一點則點P到平面的距離為：^o^總之第二問一定要多寫多寫多得分例14：如圖所示在四棱錐P?ABCD中AB//CD且．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD（2）若PA=PD=AB=DC且四棱錐P?ABCD的體積為求該四棱錐的側(cè)面積．證明：（1）……寫出題目的已知條件①又②……將證明的條件圈出來……說明清楚線與面的關系又.……根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)論（2）過P點作垂足為點M如圖所示：……作輔助線一定要有說明③④設則……平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的乘積由題意可知：故四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為：……要先將所有的側(cè)面積表示出來再相加.例15：如圖所示邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直M是CD上異于CD的點．（1）證明：平面AMD平面BMC（2）當三棱錐M-ABC體積最大時求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．證明：（1）既然M為圓弧CD上的動點不妨假設M在圓弧CD的中點處建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示：A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)D(0,0,0)……將所有點的坐標一一寫出設面的法向量為則……法向量一般要先假設出來由取……平面有無數(shù)多法向量任取一個即可設面的法向量為則由取……平面的法向量垂直兩平面必互相垂直即面ADM面BCM.（2）由題意知當M在點處時三棱錐M-ABC體積最大設面的法向量為則由取而面的法向量取為……先寫公式再帶數(shù)值.……利用公式求題型四：概率與統(tǒng)計1莖葉圖①平均數(shù)：②極差=最大值-最小值注：極差越小數(shù)據(jù)越集中③方差：注：方差越小數(shù)據(jù)波動越小越穩(wěn)定④標準差：例16：某工廠為提高生產(chǎn)效率開展技術創(chuàng)新活動提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率選取40名工人將他們隨機分成兩組每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一章生產(chǎn)方式第二章生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表能否有99％的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）工作效率的高低看兩種生產(chǎn)方式的平均工作時間分別為：第一種生產(chǎn)方式：第二種生產(chǎn)方式：由可知第二種生產(chǎn)方式的平均工作時間較低因此第二種生產(chǎn)方式效率更高.（2）由莖葉圖可知：中位數(shù)為列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一章生產(chǎn)方式155第二章生產(chǎn)方式515（3）由（2）中的列聯(lián)表知：……要將公式抄寫一遍再帶值所以有99％的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.2頻率分布直方圖①眾數(shù)：最高小長方形的中間值②中位數(shù)：小長方形面積之和為0.5的值③頻率=概率=組距×=小長方形的面積④所有小長方形的面積之和等于1⑤平均數(shù)：每個小長方形的中間值×相應小長方形的面積然后將所得的數(shù)相加例17：為了解甲乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度進行如下實驗：將200只小鼠隨機分成AB兩組每組100只其中A組小鼠給服甲離子溶液B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分析得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中ab的值（2）分別估計甲乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值為代表）.解：（1）頻率分布直方圖的小矩形面積表示概率.由題意得a+0.20+0.15=0.70a=0.35根據(jù)“各小矩形的面積之和等于1”得0.05+b+0.15+0.35+0.20+0.15=1b=0.10（2）根據(jù)平均值的求法得對甲離子：對乙離子：3線性回歸方程?答題模板：（1）設方程：先假設回歸方程為（2）抄公式：寫出公式（不管題目有沒有給都要寫出來哦^o^）（3）求各值：求出①②……沒時間計算就把式子列出來③④……沒時間計算就把式子列出來得ba：代入公式求出和寫方程：寫出回歸方程關注公眾號《品數(shù)學》獲取更多資料（6）寫多分：第二問也不難一般給你x讓你估計y的值直接帶公式OK！^o^例18：某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y關于t的線性回歸方程（2）利用（1）中的回歸方程分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況并預測該地區(qū)2015年農(nóng)民居民家庭人均純收入.附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：解：（1）設線性回歸方程為則……先假設出回歸方程……寫計算ba的公式不管題目有沒有給出公式故線性回歸方程為：.由回歸方程知：該地區(qū)農(nóng)村居民人均純收入是逐年提高的.2015年的年份代號為9所以當t=9時（千元）故預計該地區(qū)2015年農(nóng)民居民家庭人均純收入為6.92千元.題型五：圓錐曲線1橢圓（以焦點在x軸上的為例）①定義：⑥準線：②標準方程：⑦通徑：③離心率：⑧長軸長：④固定關系：⑨短軸長：⑤焦距：例20：已知橢圓M:的離心率為焦距為斜率為k的直線l與橢圓M有不同的交點AB.（1）求橢圓M的方程（2）若k=1求|AB|的最大值（3）設P(-2,0)直線PA與橢圓M的另一個交點為C直線PB與橢圓M的另一個交點為D若CD和Q共線求k.解：（1）已知橢圓的標準方程為……首先假設橢圓的方程……先寫公式再帶數(shù)值……先寫公式再帶數(shù)值故橢圓的方程為.（2）由題意設AB所在的直線方程為則……一定要假設出直線方程……將直線與橢圓聯(lián)立方程……韋達定理……保證直線與橢圓有兩個交點……弦長公式因此當且僅當即時的值最大且.（3）設則……未知點要先假設出坐標PA所在的直線方程為：……代入直線的點斜式方程……將直線與橢圓聯(lián)立方程又點A在橢圓上因此有……韋達定理和點斜式方程同理可得又在同一直線上因此即.2雙曲線（以焦點在x軸上的為例）①定義：⑥漸進線：②標準方程：⑦通徑：③離心率：⑧實軸長：④固定關系：⑨虛軸長：⑤焦距：例21：已知C：的兩個焦點點在雙曲線上.（1）求雙曲線C的方程（2）記O為坐標原點過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點EF若的面積為求直線l的方程.解：（1）已知雙曲線的標準方程為則……先寫出標準方程的原始式子由題意得c=2點在雙曲線上……先寫出a,b,c三者的固定關系再帶數(shù)值解得故雙曲線的標準方程為：.（2）設直線l的方程為即則點O到直線EF的距離為：……先寫出公式再帶數(shù)值……弦長公式先寫出公式再帶數(shù)值由題意得……點O到直線EF的距離就是三角形的高即……將四次方看成平方的平方再用十字相乘法解得……得到的k值還要驗證是否能保證直線與雙曲線有兩個交點故直線l的方程為：或.注：十字相乘法解方程3拋物線（以開口向右的為例）①標準方程：②焦點坐標：③準線方程：④定義：平面內(nèi)到一個定點與到定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線其中定點叫做拋物線的焦點定直線叫做拋物線的準線.（常考很重要的哦^o^）⑤通徑：過焦點F且垂直于x軸的直線與拋物線相交于AB兩點則.⑥過焦點的弦長：分別為CD兩點的橫坐標例22：設AB為曲線C：上兩點A與B的橫坐標之和為4．（1）求直線AB的斜率（2）設M為曲線C上一點C在M處的切線與直線AB平行且AMBM求直線AB的方程．解：（1）設AB所在直線方程為y=kx+b則①又.（2）設過點M與曲線相切且平行于直線AB的直線方程為y=x+m則即該直線方程為y=x-1.且M(2,1)由①式得②又都在直線y=x+b上解得或由②式知：b=-1（舍去）b=7因此所求直線方程為y=x+7.?答題步驟：①設方程：假設出曲線的標準方程（不管題目有沒有都要假設哦^o^）②抄條件：寫出題目所給的條件該帶公式就帶公式如已知離心率為在試卷上要寫出③畫圖形：根據(jù)題意畫出圖形④寫過程：寫出必要的解方程過程⑤得結(jié)論：寫出結(jié)論（寫出曲線方程不會就猜一個）⑥猜公式：第二問一定要寫要寫什么參考以下第4點。嘻嘻^o^4圓錐曲線大題第二問?？脊剑孩僦本€方程：或……題目說直線過某個定點時用第一個只說直線時用第二個方法：把直線假設出來后一般都要和曲線聯(lián)立方程：……大部分題目都要將直線與曲線聯(lián)立方程而且要寫出根與系數(shù)的關系注：為保證方程有兩個實根必須滿足……這是很多同學容易漏寫的一點很重要②韋達定理：（根與系數(shù)的關系式）……聯(lián)立方程后一般都要寫出根與系數(shù)的關系③弦長公式：……一般在計算三角形的面積或兩點之間的距離時要用到④圓的標準方程：圓心：半徑：⑤點到直線的距離公式：已知點和直線則……計算三角形的高⑥斜率公式：⑦看到直線與曲線相交于兩點AB時要假設兩點的坐標分別為⑧中點坐標公式：兩點的中點記為則例23：已知點A(0-2)橢圓E：的離心率為F是橢圓的焦點直線AF的斜率為O為坐標原點.（1）求橢圓E的方程（2）設過點A的直線l與E相交于PQ兩點當?shù)拿娣e最大時求l的方程.解：（1）已知橢圓的方程為則由題意設則①②又③因此橢圓的方程為.（2）設直線l的方程為即設則點O到直線PQ的距離為故的面積為令則當且僅當即時等號成立此時故直線l的方程為或.例24：設橢圓:的左焦點為F右頂點為A離心率為.已知A是拋物線的焦點F到拋物線的準線l的距離為.（1）求橢圓的方程和拋物線的方程（2）設l上兩點PQ關于x軸對稱直線AP與橢圓相交于點B（B異于點A）直線BQ與x軸相交于點D.若的面積為求直線AP的方程.解：（1）已知橢圓和拋物線的方程分別為則設則由題意知：因此橢圓的方程為拋物線的方程為.（2）設AP所在直線方程為則設BQ所在直線方程為則當時即因此直線AP的方程為.題型六：導數(shù)1常考求導公式：①C為常數(shù)②例如：③④⑤2曲線的切線方程：3導數(shù)的意義：曲線在處的切線的斜率即4性質(zhì)：函數(shù)在極值點處的導數(shù)為零即如果為函數(shù)的極值點（不管是極大值還是極小值）必有5如圖所示：①x1x3為極大值點x2為極小值點②為極大值為極小值③.注意：①極大值不一定是最大值極小值不一定是最小值②如果奇函數(shù)在原點處有定義必有.6利用導數(shù)求極值的方法：解方程①如果在附近的左側(cè)有右側(cè)那么為極大值②如果在附近的左側(cè)有右側(cè)那么為極小值.7利用導數(shù)求切線方程的方法：①假設函數(shù)在點處的切線方程為②求關注公眾號《品數(shù)學》獲取更多資料③④得出切線方程為.?答題步驟：①定義域：寫出函數(shù)的定義域：一般看到的定義域為其他都是②求導數(shù)：求導：③令導零：令得出方程的根……一般要分類討論④判單調(diào)：函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減⑤得結(jié)論：寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間⑥畫圖形：畫出函數(shù)圖像判斷極值點例25：已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1）已知定義域為R……將題中的原函數(shù)抄上來后寫出函數(shù)的定義域……求導這是必做的一步……利用導數(shù)的幾何意義即又因此切線方程為.……先寫出直線方程的原始表達式再帶值（2）由（1）知：……求二階導數(shù)關注公眾號《品數(shù)學》獲取更多資料當時在上單調(diào)遞減……用二階導數(shù)的正負判斷一階導數(shù)的單調(diào)性在上單調(diào)遞減因此.例26：已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性（2）若有兩個零點求a的取值范圍.解：已知(i)當時恒成立在R上單調(diào)遞減(ii)當時因此在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增.（2）有兩個零點必有由（1）知：必有(i)當時只有一個零點不符題意(ii)當時沒有零點不符題意(iii)當時有兩個零點.綜上所述得.題型七：極坐標與參數(shù)方程1坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化：①極坐標化為直角坐標：②直角坐標化為極坐標：注：若點P的直角坐標為(xy)則極坐標為()2參數(shù)方程（1）橢圓的參數(shù)方程：①普通方程：②參數(shù)方程：其中為參數(shù)（2）圓的參數(shù)方程：①普通方程：②參數(shù)方程：其中為參數(shù)（3）過定點傾角為的直線的參數(shù)方程為：其中t為參數(shù)（4）拋物線的參數(shù)方程：（少考可以不記哦^o^）①普通方程：②參數(shù)方程：其中t為參數(shù)3由參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的方法：（1）直線方程消參：①代入法②消元法^o^目的都是為了消去參數(shù)t（2）橢圓和圓消參：①公式法②利用公式^o^目的都是為了消去參數(shù)4極坐標與參數(shù)方程大題?？脊舰倨椒疥P系：……如果記不住曲線的參數(shù)方程用該公式進行消參②點到直線的距離公式：已知點和直線則③輔助角公式：其中……用來求點到直線的距離或面積的最大值④弦長公式：（i）已知則（ii）已知AB兩點對應的極徑分別為則（iii）已知AB兩點對應的參數(shù)分別為則⑤韋達定理：?答題步驟：①先消參：不論題目給的曲線是極坐標方程還是參數(shù)方程都先化為普通方程（直角坐標方程）②寫公式：需要用到哪些公式的一定要先寫出公式的原始表達式③有過程：要有一定的解題過程適當?shù)奈淖置枋鲞^程不能太少④得結(jié)果：寫出消參并化簡后的曲線方程⑤猜公式：第二問?？脊絽⒖家陨系?點。例27：選修4-4：極坐標系與