函數(shù)的連續(xù)性01604PPT課件

1、3.1 3.1 連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念二、例題三、間斷點(diǎn)的分類第1頁/共42頁一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念定義 設(shè)函數(shù) 在 有定義,若函數(shù) 在a存在極限,且極限就是 即 )(af)(xf)(xf)(aU)()(limafxfax則稱函數(shù) 在 連續(xù), 是連續(xù)函數(shù) 的 )(xfaa)(xf連續(xù)點(diǎn)。說明：1. 函數(shù) 在 連續(xù)必須滿足以下)(xfa1. 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性定義第2頁/共42頁三個(gè)條件： （1）.函數(shù) 在 有定義； （2）. 存在； （3）. 2. 函數(shù) 在 連續(xù)比函數(shù) 在 存在極限有更高的要求。)(xfa)(lim xfax)()(limafxfax)(

2、xfaa)(xf第3頁/共42頁).0(0sgnlim0fxxx xxysgn 因?yàn)閤yO例如： 在 處連續(xù),這是xxxfsgn)(0 x第4頁/共42頁又如：函數(shù),0( )(0),0 xxf xaax axyO在 處不連續(xù) ，這是因?yàn)? x)0(0)(lim0fxfx第5頁/共42頁證證 因?yàn)橐驗(yàn)?一個(gè)可去間斷點(diǎn)一個(gè)可去間斷點(diǎn)例例 處不連續(xù)，處不連續(xù)，在在0 x 0001)(xxxf試證函數(shù)試證函數(shù)0( )xf x 是是的的所以所以并且并且 是是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn)的一個(gè)可去間斷點(diǎn). .0 x ( )f x1xyO0lim( )1(0),xf xf第6頁/共42頁極限極限xxsgnlim0.不

3、存在不存在( )sgn0,f xxx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)這是例:因?yàn)榈?頁/共42頁2.函數(shù) 在一點(diǎn) 連續(xù)的等價(jià)定義 0 x)(xf,)()(0 xfxf0( ).f xx則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)定義定義20( ).f xx設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義如果如果對(duì)對(duì)任意的存在任意的存在 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0, 0, 0,xx ,0 xxx 設(shè)設(shè)).()()()(0000 xfxxfxfxfyyy 第8頁/共42頁應(yīng)的函數(shù)應(yīng)的函數(shù)( (在在 y0 處處) )的增量的增量0(),xxy這這里里我我們們稱稱是是自自變變量量 在在處處 的的增增量量為為相相0 x)(xf函數(shù) 在一

4、點(diǎn) 連續(xù)定義3).0 3(0lim yx第9頁/共42頁為狄利克雷函數(shù)為狄利克雷函數(shù).證證所所以以因因?yàn)闉? 0lim, 1)(, 0)0(0 xxDfx).0(0)(lim)(lim00fxxDxfxx ( )0.f xx 故故在在處處連連續(xù)續(xù)注意注意:上述極限式絕不能寫成上述極限式絕不能寫成. 0)(limlim)(lim000 xDxxxDxxx例例1( )( )0,f xxD xx證證明明在在處處連連續(xù)續(xù) 其其中中( )D x第10頁/共42頁由上面的定義和例題應(yīng)該可以看出由上面的定義和例題應(yīng)該可以看出: 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x03.函數(shù)在一點(diǎn)左(右)連續(xù)的定義:要求這個(gè)極限值只能是函數(shù)

5、在該點(diǎn)的函數(shù)值要求這個(gè)極限值只能是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值.極限存在是函數(shù)連續(xù)的一個(gè)必要條件極限存在是函數(shù)連續(xù)的一個(gè)必要條件)，而且還，而且還x0 連續(xù)，那么它在點(diǎn)連續(xù)，那么它在點(diǎn) x0 必須要有極限必須要有極限(這就是說這就是說,有極限與在點(diǎn)有極限與在點(diǎn) x0 連續(xù)是有區(qū)別的連續(xù)是有區(qū)別的. 首先首先 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)第11頁/共42頁定義定義400( )()f xxUx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某個(gè)個(gè)右右鄰鄰域域),()(lim()()(lim0000 xfxfxfxfxxxx 0( )().f xx則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)右右 左左 連連續(xù)續(xù)很明顯很明顯, 由左、右極限與極限的關(guān)系以及連續(xù)函數(shù)由

6、左、右極限與極限的關(guān)系以及連續(xù)函數(shù)0既是左連續(xù)，又是右連續(xù)既是左連續(xù)，又是右連續(xù). .點(diǎn)點(diǎn)x定理定理0( )f xx函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)的的充充要要條條件件是是：f 在在)(0 xU 左鄰域左鄰域有定義，若有定義，若的定義可得：的定義可得：第12頁/共42頁例例 討論函數(shù)討論函數(shù),0( ),0 xxf xxax 0.x 在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性解解 因?yàn)橐驗(yàn)?.fx 所所以以在在處處左左連連續(xù)續(xù)又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)(lim)(lim00aaxxfxx),0(0lim)(lim00fxxfxx 0 aaxyxyoxy 0 aaxy0 aaxy第13頁/共42頁0,0afx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在處處連連續(xù)續(xù)

7、；綜上所述綜上所述, ,0,0afx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在處處不不是是右右連連續(xù)續(xù)的的；所以所以, ,0a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0.fx 在在處處是是右右連連續(xù)續(xù)的的0.x 在在處處不不連連續(xù)續(xù)0a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性定義定義 若函數(shù) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)(若區(qū)間)(xfI左(右)端點(diǎn)屬于I,函數(shù) 在左(右)端點(diǎn)右連續(xù)).)(xf則稱函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)。)(xf第14頁/共42頁二、間斷點(diǎn)的分類二、間斷點(diǎn)的分類定義定義00()()fxUx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在的的某某 空空心心 鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有 定義定義. .若若f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 無定義無定義, ,或者在點(diǎn)或者在點(diǎn) x0有定義但卻

8、有定義但卻由此由此, ,根據(jù)函數(shù)極限與連續(xù)之間的聯(lián)系根據(jù)函數(shù)極限與連續(xù)之間的聯(lián)系, 如果如果 f 在在點(diǎn)點(diǎn) x0 不連續(xù)不連續(xù), 則必出現(xiàn)下面兩種情況之一則必出現(xiàn)下面兩種情況之一:或不連續(xù)點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).在該點(diǎn)不連續(xù)在該點(diǎn)不連續(xù), ,那么稱點(diǎn)那么稱點(diǎn) x0 為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)1不連續(xù)點(diǎn)（間斷點(diǎn)）定義第15頁/共42頁00(i);fxx在在點(diǎn)點(diǎn)無無定定義義或或者者在在點(diǎn)點(diǎn)的的極極限限不不存存在在等于等于f (x0).0(ii),fx在在點(diǎn)點(diǎn)有有定定義義且且極極限限存存在在 但但極極限限值值卻卻不不根據(jù)上面的分析根據(jù)上面的分析, 我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類：我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類：

9、(1)第一類間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn): 若若0lim( ),xxf xA 存存在在0fx而而在在點(diǎn)點(diǎn)0,(),f xA 無定義 或者有定義但無定義 或者有定義但0 xf則則稱稱是是的的一個(gè)可去間斷點(diǎn)一個(gè)可去間斷點(diǎn). .2間斷點(diǎn)及其分類第16頁/共42頁0 xf則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為的的一一個(gè)個(gè)跳跳躍躍間間斷斷,AB 都存在 但都存在 但注注 x0 是是 f 的的跳躍間斷點(diǎn)與函數(shù)跳躍間斷點(diǎn)與函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 是是否有定否有定 點(diǎn)點(diǎn). . 2.2.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): :若若 f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的左、右極限至少有一個(gè)不存在的左、右極限至少有一個(gè)不存在, 可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為可

10、去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷第一類間斷點(diǎn)點(diǎn). .義義無關(guān)無關(guān). .0.xf則則稱稱是是的的一一個(gè)個(gè)第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),)(lim0Axfxx 0lim( )xxf xB 跳躍間斷點(diǎn):若第17頁/共42頁證證 因?yàn)橐驗(yàn)?一個(gè)可去間斷點(diǎn)一個(gè)可去間斷點(diǎn)例例處不連續(xù)，處不連續(xù)，在在0 x 0001)(xxxf試證函數(shù)試證函數(shù)0( )xf x 是是的的所以所以并且并且 是是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn)的一個(gè)可去間斷點(diǎn). .0 x ( )f x1xyO0lim( )1(0),xf xf第18頁/共42頁00()( ).Ag xxF x 在在時(shí)時(shí)，恒恒為為的的一一個(gè)個(gè)可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)那么函數(shù)那么函數(shù)

11、注注0( ) ,g xxx 對(duì)對(duì)于于任任意意函函數(shù)數(shù)若若它它在在處處連連續(xù)續(xù)，1.00( ),( ),g xxxF xAxx 第19頁/共42頁0( )f xx義義在在點(diǎn)點(diǎn)的的值值為為),(lim0 xfxx那那么么它它就就在在點(diǎn)點(diǎn)例例 討論函數(shù)討論函數(shù)1/1,0,e1( )00,xxf xx 在在 x 0 處處是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的2. .若點(diǎn)若點(diǎn)x0是是 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn), ,那么那么只要重新定只要重新定( )f x x0 連續(xù)連續(xù).間斷點(diǎn)？間斷點(diǎn)？ 第20頁/共42頁10011lim( )limlim0(0),e1e1yyxxxf x

12、f 所以所以 f (x) 在在 x 0 處右連續(xù)而不處右連續(xù)而不左連續(xù)左連續(xù), ,從而不從而不10011lim( )limlim1(0),e1e1yyxxxf xf 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閿帱c(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn)斷點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn). 連續(xù)連續(xù). 既然它的左、右極限都存在，那么這個(gè)間既然它的左、右極限都存在，那么這個(gè)間第21頁/共42頁例例10( )sinxf xx 試試問問是是函函數(shù)數(shù)的的哪哪一一類類間間斷斷解解 因?yàn)橛蓺w結(jié)原理可知，因?yàn)橛蓺w結(jié)原理可知，0011limsinlimsinxxxx與與均不存在，均不存在，0( ).xf x 所以是的一個(gè)第二類間斷點(diǎn)所以是的一個(gè)第二類間斷點(diǎn)點(diǎn)？點(diǎn)？第22頁/共42頁3

13、.3.2 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)四、初等函數(shù)的連續(xù)性性三、反函數(shù)的連續(xù)性二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第23頁/共42頁一、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1 1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性(2)( )( ),f xg x (1)( )( ),f xg x ( ),( )f xg x若函數(shù)若函數(shù)定理定理則函數(shù)則函數(shù)連續(xù)連續(xù)均在點(diǎn)均在點(diǎn),0 x0(4)( )/ ( ),()0f xg xg x(3)( )( ),f xg x 0.x在在點(diǎn)點(diǎn)也也是是連連續(xù)續(xù)的的第24頁/共42頁 00,().uf x 連連續(xù)續(xù)0( ( ).g f x

14、x則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),01 存在存在01|,uu 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有0| ( )()|,g ug u 證證 ,0 因此對(duì)于任意的因此對(duì)于任意的0( ),g uu由由于于在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)01( ),0 ,f xx 又又因因?yàn)闉樵谠邳c(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)故故對(duì)對(duì)上上述述00,|,xx存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有0( )g uu在在點(diǎn)點(diǎn)0( )f xx若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，定理22 2、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性第25頁/共42頁001|( )()| |,f xf xuu 00| ( ( )( ()| | ( )()|,g f xg f xg ug u 于是于是0( ( ).g f xx

15、這這就就證證明明了了在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)第26頁/共42頁3、連續(xù)函數(shù)的局部有界性、連續(xù)函數(shù)的局部有界性0|( )|()| 1.f xf x0|,xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0|( )()|1,f xf x故故0fx因?yàn)樵谶B續(xù)，因?yàn)樵谶B續(xù)，存在存在所以對(duì)所以對(duì),1 證證,0 0().fU x在在某某鄰鄰域域上上有有界界連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)0 xf定理定理4（局部有界性）（局部有界性）則則這就證明了0().fU x在在某某鄰鄰域域上上有有界界第27頁/共42頁4 4、連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性、連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性) 0)(0)(xfxf或0,fx若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 且且定理定理3（局部保號(hào)性）局部

16、保號(hào)性）則則, )0)(0)(00 xfxf或或0, 0 xxx第28頁/共42頁 均有均有使得對(duì)一切使得對(duì)一切存在存在,0DxDx ),)()()()(00 xfxfxfxf 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義定義( ).f xD設(shè)設(shè)為為定定義義在在數(shù)數(shù)集集上上的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)若若( )(),f xD則則稱稱在在 上上有有最最大大 小小 值值0()x 稱稱為為最最大大 小小 值值0()( )().f xf xD稱稱為為在在 上上的的最最大大 小小 值值點(diǎn)點(diǎn), ,一、最大(小)值的定義第29頁/共42頁1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理定理（最大、最小值定理） ( )f x

17、若若函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū) , a b間上連續(xù)，間上連續(xù)，( ) , .f xa b則則在在上上有有最最大大、最最小小值值定理定理 ( (有界性有界性) )(,)(xfbaxf則則上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間若函數(shù)若函數(shù).,上有界上有界在在ba第30頁/共42頁 引理引理（零點(diǎn)定理）零點(diǎn)定理）,)(上連續(xù)上連續(xù)在在若若baxf0)(0 xf則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn),0)()( bfaf,0 x使使xyOab第31頁/共42頁定理定理（介值性定理）（介值性定理）,)(baxf在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ( )( )( )( ),f af bf bf a間間的的任任一一數(shù)數(shù)或或.)(0 xf

18、. )()(bfaf 且且( )( )f af b 若若 是是介介于于與與之之上連續(xù)上連續(xù), ,使得使得, ),(0bax 則則( (至少至少) )存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)第32頁/共42頁定理定理（介值性（介值性),)(baxf在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ( )( )( )( ),f af bf bf a間間的的任任一一數(shù)數(shù)或或.)(0 xf. )()(bfaf 且且( )( )f af b 若若 是是介介于于與與之之上連續(xù)上連續(xù), ,使得使得, ),(0bax 則則( (至少至少) )存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)yxo)(af)(bf ab0 x( )yf x第33頁/共42頁證證 不妨設(shè)不妨設(shè) f (x

19、) 嚴(yán)格增嚴(yán)格增, 那么那么 )(, )(bfaf就是反就是反上連續(xù)上連續(xù), 且與且與 f (x) 有相同的單調(diào)性有相同的單調(diào)性.)(1xf 定理定理4.8 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在a b , 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù),1( ) ( ) ,( )yfxf af b 在在f bf a ( ) , ( )或或則反函數(shù)則反函數(shù)三、反函數(shù)的連續(xù)性三、反函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域.)(1yfx 1( )( ) ,( )xfyf af b 在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格增增1. 加加第34頁/共42頁2. 1( ) ( ),( ).xfyf af b 在在上上連連續(xù)續(xù)(如圖所示如圖所示).0bx

20、a 則則),()(0bfyaf , )(010yfx 令令,0y對(duì)于任意對(duì)于任意Oxyab( )f a( )f b0 x0y每一每一對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)1y2y0 x 0 x 任給任給取取m in2001,y y y y 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)第35頁/共42頁),()()(21111yfyfyf .)()(0101 yfyyf即即時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))()(2001yyyyy 請(qǐng)讀者類似地證明該函數(shù)在端點(diǎn)的連續(xù)性請(qǐng)讀者類似地證明該函數(shù)在端點(diǎn)的連續(xù)性. 1( )( ),( )xfyf af b 在在這就說明了這就說明了上連續(xù)上連續(xù)., )(, )(0201 xfyxfy, 0,min1002 yyyy 令令設(shè)設(shè),00bxxa

21、對(duì)于任意的正數(shù)對(duì)于任意的正數(shù)第36頁/共42頁且嚴(yán)格增且嚴(yán)格增. 關(guān)于其它的反三角函數(shù)關(guān)于其它的反三角函數(shù),cotarc,arctan,arccosxyxyxy 均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論.例例( )sin22f xx由由于于在在，上上連連續(xù)續(xù)且且嚴(yán)嚴(yán)格格增增， 因此它的反函數(shù)因此它的反函數(shù)arcsin 1 ,1yx 在在上也是連續(xù)上也是連續(xù)嚴(yán)格增嚴(yán)格增.例例()0)nyxn 由由于于為為正正整整數(shù)數(shù) 在在，上上連續(xù)且嚴(yán)連續(xù)且嚴(yán)在上亦為連續(xù)且在上亦為連續(xù)且nxy1 格增格增, 那么其反函數(shù)那么其反函數(shù)),0第37頁/共42頁三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性我們已經(jīng)知道以下函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的我們已經(jīng)知道以下函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的(i) 常值函數(shù)常值函數(shù)