函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法PPT課件

1、一、函數(shù)單調(diào)性的判別法 1、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA第1頁(yè)/共49頁(yè)定理定理 ( (函數(shù)單調(diào)性的判定法) ):, ),()(, ,)(則有則有并且并且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baDxfbaCxf 上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在則函數(shù)則函數(shù)有有如果如果）（,)(,0)(, ),(1baxfxfbax .,)(,0)(, ),(2上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在則函數(shù)則函數(shù)有有如果如果）（baxfxfbax ., )(,定理結(jié)論仍成立定理結(jié)論仍成立包括無窮區(qū)間包括無窮區(qū)間間間換成其他各種類型的區(qū)換成其他各種類型的區(qū)把區(qū)間把區(qū)間如果如果ba備注第2頁(yè)/共4

2、9頁(yè)證證,2121xxxxba 且且上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)在在)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 得得理理上應(yīng)用拉格朗日中值定上應(yīng)用拉格朗日中值定在在,21xx第3頁(yè)/共49頁(yè)例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y;0 ,(上單調(diào)減少上單調(diào)減少函數(shù)在

3、函數(shù)在,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.), 0上單調(diào)增加上單調(diào)增加函數(shù)在函數(shù)在注意注意 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,( fDyxo1 xeyx第4頁(yè)/共49頁(yè)2、單調(diào)區(qū)間求法定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這時(shí)也稱函數(shù)是該區(qū)間的單調(diào)函數(shù). 導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法方法: :.)(,)()(0)(間的單調(diào)性間的單調(diào)性在各部分區(qū)在各部分區(qū)從而確定函數(shù)從而確定函數(shù)內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)然后判斷各區(qū)間然后判斷各區(qū)間的

4、定義區(qū)間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxfxf 第5頁(yè)/共49頁(yè)例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf. ),( fD12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得令令 xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為：, 1 ,(;), 212xoy12. 2 , 1函數(shù)的單

5、調(diào)減少區(qū)間為：第6頁(yè)/共49頁(yè)例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf. ),( fD12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得令令 xf. 2, 121 xxx)(xf )(xf)1,(2001)2,1(),2( 21函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為：, 1 ,(;), 2. 2 , 1函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為：12xoy12第7頁(yè)/共49頁(yè)yxo說明: : 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外, ,也可以是導(dǎo)數(shù)也可以是導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn). . 32xy 例例3 3.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf 2)

6、如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), , 則不改變函數(shù)的單調(diào)性. .例例4 4.)(3的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf yox3xy 第8頁(yè)/共49頁(yè)例例5 5解解.sin)(的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù)xxxf ,0cos1)( xxf, 0)(,)(2 xfZkkx外外除了除了 上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在),()(xf3) 注意注意 若區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)只是孤立點(diǎn), , 則不影響區(qū)間的單調(diào)性, ,即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)的. .例如,3xy ,0,0 yx時(shí)時(shí)但但.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在. 00sin xRxx唯一的根唯一的根上只有上只有在在由此定理可證明方程由此定理可證明

7、方程, 00 xy第9頁(yè)/共49頁(yè)3、利用單調(diào)性可以證明不等式例例6 6.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),()()(1stepxgxfxF 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)., )(3step寫出結(jié)論寫出結(jié)論求初始值求初始值aF,),()(, )(2step的單調(diào)性的單調(diào)性在在判斷判斷求求baxFxF :),()()()()(的步驟的步驟或或證明證明baxxgxfxgxf .32)(,4step步步、重復(fù)重復(fù)對(duì)對(duì)若前三步得不出結(jié)論若前三步得不出結(jié)論xF 例例7 7.sin61,03xxxxx 試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)?0頁(yè)/共49頁(yè)例例7 7證證.sin61,03xxxxx 試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)

8、當(dāng)xxxxgsin61)(3 設(shè)設(shè)xxxgcos211)(2 則則,), 0)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在xg時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x),0()(gxg .sin,0 xxx 時(shí)時(shí)先證當(dāng)先證當(dāng).sin61,03xxxx 時(shí)時(shí)再證當(dāng)再證當(dāng)0sin)( xxxg0)0()( gxg.sin61,03xxxx 時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)綜上綜上第11頁(yè)/共49頁(yè)例例證證.,exxeex 時(shí)時(shí)證明：當(dāng)證明：當(dāng)xexxfln)( 設(shè)設(shè))(ex 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)ex 0)( ef0)()( efxf,ln,xexex 時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng).exxe 即即.ee 由此可證明：由此可證明：, 01)(, xexfex時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)?2頁(yè)/共49頁(yè)

9、例例證證.11)1ln(,022xxxxx 試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),11)1ln(:22 xxxx等價(jià)于證明等價(jià)于證明,11)1ln()(22 xxxxxf設(shè)設(shè)),(,)()()(baxxhxgxf 證明證明, 0)( xh若若).()()(xgxhxf 可化為證可化為證第13頁(yè)/共49頁(yè)4、利用單調(diào)性可以證明根的唯一性例例8 8.)1 , 0(12有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在證證明明方方程程 xx此種題型應(yīng)先證明根的存在性，再證明唯一性.第14頁(yè)/共49頁(yè)5、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方

10、程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.第15頁(yè)/共49頁(yè)二、函數(shù)的凸性及其判別法 1. 函數(shù)凹凸的定義xyo)(xfy xyo)(xfy 問題:如何用數(shù)量方法來刻劃曲線的彎曲方向?1x2x圖形上任意弧段位于所張弦的上方1x2x圖形上任意弧段位于所張弦的下方第16頁(yè)/共49頁(yè)定義定義: :, )1 , 0(),(,)(2121恒有恒有及對(duì)任一及對(duì)任一若對(duì)任意兩點(diǎn)若對(duì)任意兩點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè) xxIxxIxf),()()1()1(2121xfxfxxf :, )1 , 0(),(,2121恒有恒有任一任一及對(duì)及對(duì)若對(duì)任意兩點(diǎn)若對(duì)任意兩點(diǎn) xxIxx),()()1()1(2121xfxfxxf

11、.)(,)(函函數(shù)數(shù)在在該該定定義義區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)是是凸凸則則稱稱函函數(shù)數(shù)的的在在定定義義區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)是是凸凸如如果果函函數(shù)數(shù)xfxf)()(上凸上凸; )convex()(內(nèi)是下凸的在則稱函數(shù)Ixf. )concave()(內(nèi)是上凸的在函數(shù)則稱Ixf第17頁(yè)/共49頁(yè).)(,)(內(nèi)稱為下凸曲線在區(qū)間則曲線內(nèi)是下凸的在定義區(qū)間如果函數(shù)IxfyIxf.)(,)(內(nèi)稱為上凸曲線在區(qū)間則曲線內(nèi)是上凸的在定義區(qū)間如果函數(shù)IxfyIxf第18頁(yè)/共49頁(yè)2. 函數(shù)凹凸性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y第19頁(yè)/共49頁(yè):, ),(

12、,),(,)(有若對(duì)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有在上連續(xù)在如果baxbabaxf. )()(, )()(, )()(上凸的內(nèi)是下凸的在那么函數(shù)或單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)增加在且導(dǎo)函數(shù)設(shè)IxfIxfIDxf判別法2 2判別法1 1;,)(,0)() 1 (上是下凸的在函數(shù)則baxfxf .,)(,0)() 2(上是上凸的在則函數(shù)baxfxf 第20頁(yè)/共49頁(yè)例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xy 解解,32xy ,6xy ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0 y,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0 y.)0 , 0(時(shí)改變了上下凸性時(shí)改變了上下凸性曲線經(jīng)過點(diǎn)曲線經(jīng)過點(diǎn)注意到,.), 0內(nèi)是下凸的函數(shù)在 ,0 ,(內(nèi)是上凸的函數(shù)在 yox

13、3xy 第21頁(yè)/共49頁(yè)例例2 2.4的凹凸性的凹凸性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xy 解解,43xy ,122xy ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0 y,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0 y.),(內(nèi)是下凸的函數(shù)在xyo4xy 說明: :若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 , ,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào), ,則函數(shù)的凹凸性不變 . .第22頁(yè)/共49頁(yè)3 3、曲線的拐點(diǎn)及其求法1) 1) 定義注意注意 拐點(diǎn)處若存在切線，則必在拐點(diǎn)處穿過曲線. .的的一一個(gè)個(gè)是是曲曲線線則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)上上凸凸與與下下凸凸弧弧的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線如如果果點(diǎn)點(diǎn))( ,)()(,(00 xfyxfyxfx .拐點(diǎn)拐點(diǎn))(,(00 xfxyox第23頁(yè)

14、/共49頁(yè), )()(0兩邊變號(hào)兩邊變號(hào)在在則則xxfxf ,)(,(00是拐點(diǎn)是拐點(diǎn)又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的. 0)(0 xf有有定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內(nèi)內(nèi)存存在在二二階階導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù), ,則則點(diǎn)點(diǎn) )(,00 xfx是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的必必要要條條件件是是0)(0 xf. . 2) 2) 拐點(diǎn)的求法證,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf 第24頁(yè)/共49頁(yè)求拐點(diǎn)的方法: :,0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù);)()(,(,)(

15、)1(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)即為曲線即為曲線則點(diǎn)則點(diǎn)變號(hào)變號(hào)點(diǎn)左右鄰域內(nèi)點(diǎn)左右鄰域內(nèi)xfyxfxxfx ;)()(,(,)()2(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)不為曲線不為曲線則點(diǎn)則點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)點(diǎn)左右鄰域內(nèi)點(diǎn)左右鄰域內(nèi)xfyxfxxfx 第25頁(yè)/共49頁(yè)例例3 3.14334拐點(diǎn)及凹凸的區(qū)間拐點(diǎn)及凹凸的區(qū)間的的求曲線求曲線 xxy解解, ),( fD,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),(32), 0(32032)(xf )(xf 00下凸上凸下凸拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0(),(271132, 0,), , 0 ,(3232向上凸向上凸在區(qū)間在區(qū)間

16、向下凸向下凸曲線在區(qū)間曲線在區(qū)間32) 1 , 0(),(271132.),( , )1 , 0(271132均為曲線的拐點(diǎn)均為曲線的拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)第26頁(yè)/共49頁(yè)例例4 4.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3231 xy,3594 xy.,0不存在不存在時(shí)時(shí)yx x)(xf )(xf0)0,(),0( 不存在0 下凸上凸, 0,0 ,(向上凸向上凸在區(qū)間在區(qū)間向下凸向下凸曲線在區(qū)間曲線在區(qū)間 .)0 , 0(為曲線的拐點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)oxy3xy .)()(,(,)(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :第2

17、7頁(yè)/共49頁(yè)結(jié)論：若曲線 y=f (x) 在點(diǎn) x0 連續(xù) , 0)(0 xf或不存在,但 在點(diǎn) x0 兩側(cè)異號(hào),)(xf 則點(diǎn) 是曲線)(,(00 xfxy=f (x) 的一個(gè)拐點(diǎn).求拐點(diǎn)的步驟：step1 求二階導(dǎo)數(shù)等于零和不存在的點(diǎn) x0 .step2 判斷二階導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)的左右兩側(cè)是否異號(hào).step3 寫出拐點(diǎn) .)(,(00 xfx第28頁(yè)/共49頁(yè)4 4、利用函數(shù)的凸性證明不等式babababa 充分必要條件是充分必要條件是其中不等式成為等式的其中不等式成為等式的證明證明是任意兩個(gè)正數(shù)，是任意兩個(gè)正數(shù)，設(shè)設(shè)例例 )1(, 10,512ln)(lnln:, 0,6yxyxyyxxy

18、x 證明證明設(shè)設(shè)例例第29頁(yè)/共49頁(yè)例例 證明:20 x當(dāng)時(shí)，.2sinxx 有證明證明:xxxF 2sin)( 令, 0)0( F, 則)(xF )(xF 2, 0)( 在在xF上是下凸函數(shù) , )(xF即.2sinxx )20( x,0)2( F,2cos xxsin 0 )2(),0(min FF,0 第30頁(yè)/共49頁(yè)2ln)(lnln:, 0,6yxyxyyxxyx 證明證明設(shè)設(shè)例例證證tttfln)( 設(shè)設(shè))0( t,)(0為下凸函數(shù)時(shí)，當(dāng)tft ,1ln)(,0 ttft時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),01)( ttf,)()(21)2(yfxfyxf 故有故有2ln)(lnlnyxyxyyxx 即

19、有即有第31頁(yè)/共49頁(yè)5、小結(jié)曲線的彎曲方向凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);函數(shù)凹凸性的判定曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別第32頁(yè)/共49頁(yè)思考與練思考與練習(xí)習(xí))0()1()0()1()(ffffA )0()0()1()1()(ffffB )0()1()0()1()(ffffC )0()1()0()1()(ffffD 提示提示: 利用利用)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,)10()()0()1( fff及及B 1 ,0上上,0)( xf則則, )1(, )0(ff )0()1(ff 或或)1()0(ff 的大小順序是的大小順序是 ( )1. 設(shè)在設(shè)在第33頁(yè)/共49頁(yè))1,( , )1,(21212121 e

20、e提示提示:)21(222xeyx ,2121 ),21 ,(21 及及 .21xey 的凹區(qū)間是的凹區(qū)間是凸區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為 ; ;2. 曲線曲線第34頁(yè)/共49頁(yè)112 xxy有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn)有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).3.求證曲線求證曲線 證明：證明： y y222)1(21 xxx3223)1()133(2 xxxx32)1()32)(32)(1(2 xxxxxxx2) 1() 1(222)1( x42)1( x)22(x 22)1( x)21(2xx )1(22 xx2 第35頁(yè)/共49頁(yè)令令0 y得得,11 x;)1,1(從而三個(gè)拐點(diǎn)為從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)橐驗(yàn)?2 所以三

21、個(gè)拐點(diǎn)共線所以三個(gè)拐點(diǎn)共線.323 x,322 x, )34831,32( )34831,32( 32 11 34831 1 1 34831 第36頁(yè)/共49頁(yè)5. 若若0)0( f，是是否否能能斷斷定定)(xf在在原原點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分小小的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增？ 解解不能斷定.例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但0,1cos21sin41)( xxxxxf第37頁(yè)/共49頁(yè) )212(1kx當(dāng) 時(shí)，0)212(41)( kxf kx21當(dāng) 時(shí)，01)( xf注意 可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增k00 x

22、)(xf第38頁(yè)/共49頁(yè)6. 設(shè)設(shè))(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)(0 xf， 其其中中),(0bax ，則則,(0 x)(0 xf是是否否一一定定為為曲曲線線)(xf的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)？舉舉例例說說明明. 解解因?yàn)橐驗(yàn)?)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf為拐點(diǎn)為拐點(diǎn) 的的必要條件必要條件， 故故,(0 x)(0 xf不一定是拐點(diǎn)不一定是拐點(diǎn).例如4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲線并不是曲線)(xf的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).第39頁(yè)/共49頁(yè)求拐點(diǎn)方法求拐點(diǎn)方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而

23、且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例.)2 , 0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 第40頁(yè)/共49頁(yè)一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為_ _. _.2 2、 函數(shù)函數(shù)212xxy 在區(qū)間在區(qū)間 -1,1-1,1上單調(diào)上單調(diào)_， 在在_上單調(diào)減上單調(diào)

24、減. .3 3、函數(shù)、函數(shù)22ln xxy 的單調(diào)區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間為_， 單減區(qū)間為單減區(qū)間為_._.二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習(xí)習(xí) 題題第41頁(yè)/共49頁(yè)三、三、 證明下列不等式：證明下列不等式：1 1、 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，221)1ln(1xxxx ；2 2、 當(dāng)當(dāng)4 x時(shí)，時(shí)，22xx ；3 3、 若若0 x，則，則361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根. .五、五、 設(shè)設(shè))(xf在在 b

25、a, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)內(nèi))(xf , ,試證試證 明：對(duì)于明：對(duì)于 ba, 上任意兩上任意兩1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 單增；方法單增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 第42頁(yè)/共49頁(yè)一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,(內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少, , 在在1 ,21上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； 2 2、在、在),32,( aa內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, , 在在,32aa上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；練習(xí)題答案練習(xí)題答案第43頁(yè)/共49頁(yè) 3 3、在、在32,2 kk上單調(diào)增加上單調(diào)增加, , 在在22,32 kk上單調(diào)減少上單調(diào)減少, ,), 2, 1, 0( k. .四、四、(1)(1)ea1 時(shí)沒有實(shí)根；時(shí)沒有實(shí)根；(2)(2)ea10 時(shí)有兩個(gè)實(shí)根；時(shí)有兩個(gè)實(shí)根；(3)(3)e