隨機(jī)信與噪聲課件

1、西西 北北 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)2011.1第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通 信 原 理第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲2第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。研究內(nèi)容：研究內(nèi)容： 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 2.4 2.4 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 2.5 2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 2.6 2.6 窄帶隨機(jī)過程窄帶

2、隨機(jī)過程 2.7 2.7 正弦波加窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶隨機(jī)過程 2.8 2.8 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲32.12.1 引引 言言通信通信-是在噪聲背景下信號通過通信系統(tǒng)的過程是在噪聲背景下信號通過通信系統(tǒng)的過程，分析與，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。隨機(jī)信號：隨機(jī)信號：通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號不可能是單一通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性。的、確定的，而是具有不確定性

3、和隨機(jī)性。隨機(jī)噪聲：隨機(jī)噪聲：通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測的。機(jī)的、不可預(yù)測的。隨機(jī)過程：隨機(jī)過程：盡盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測的、隨機(jī)管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測的、隨機(jī)的，但它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。的，但它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，均可從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，均可表示為隨機(jī)過程。表示為隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。間函數(shù)描述。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論隨機(jī)過程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號和噪聲分

4、可以運(yùn)用到隨機(jī)信號和噪聲分析中來。析中來。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲4 2.2 2.2 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念2.2.1 2.2.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念考察：考察： 假設(shè)假設(shè)有有n臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號測試臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號測試其輸出。（其輸出。（n-足夠大的正整數(shù)）足夠大的正整數(shù)） 得到得到一系列噪聲波形一系列噪聲波形x1(t)、x2(t)、x3(t)、.、xn(t) 。 結(jié)果：結(jié)果：理想時(shí)，波形似乎應(yīng)該一致，但實(shí)際不然。理想時(shí)，波形似乎應(yīng)該一致，但實(shí)際不然。找

5、不到兩個(gè)完全相找不到兩個(gè)完全相同的波形！同的波形！第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲5討論：討論：每一個(gè)記錄每一個(gè)記錄xi(t)都是一個(gè)隨都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)隨機(jī)函隨機(jī)函數(shù)。數(shù)。全部隨機(jī)函數(shù)的集合全部隨機(jī)函數(shù)的集合隨隨機(jī)過程：機(jī)過程： X(t) =x1(t), x2(t), , xn(t)每一條曲線每一條曲線xi(t)都是隨機(jī)過都是隨機(jī)過程的程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)一個(gè)實(shí)現(xiàn)/樣本樣本為確定為確定的時(shí)間函數(shù)。的時(shí)間函數(shù)。在某一特定時(shí)刻在某一特定時(shí)刻t1觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值x(t1) ，發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)

6、他們的值是不同的他們的值是不同的 是一個(gè)隨機(jī)量（是一個(gè)隨機(jī)量（隨機(jī)變量隨機(jī)變量）。）。角度角度1 1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。角度角度2 2：隨機(jī)過程是隨機(jī)過程是隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲6討論：討論：在任一給定時(shí)刻在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)上，每一個(gè)樣本函數(shù)xi (t)都有一個(gè)確定的都有一個(gè)確定的數(shù)值數(shù)值xi (t1)。但在同一時(shí)刻，不同樣本的取值。但在同一時(shí)刻，不同樣本的取值xi(t1) ，i=1，2，n卻是一個(gè)隨機(jī)變量。

7、卻是一個(gè)隨機(jī)變量。換句話說，換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻隨機(jī)過程在任意時(shí)刻t1的值的值X(t1)是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量。因此，又可以把因此，又可以把隨機(jī)過程隨機(jī)過程看作看作是是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的的隨機(jī)變量的集合隨機(jī)變量的集合。角度角度1 1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。果的時(shí)間過程的集合。角度角度2 2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲7概括：概括： 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的含義屬性的含義屬性有三點(diǎn)：有三點(diǎn)

8、： （1）X(t)是是t 的函數(shù)。的函數(shù)。 （2）X(t)在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻 t1上的取值上的取值X(t1)不是確定的，是一個(gè)不是確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量。即每一時(shí)刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。即每一時(shí)刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。 （3） X(t)的任一實(shí)現(xiàn)的任一實(shí)現(xiàn)xi (t)是一個(gè)確定函數(shù)，隨機(jī)性體現(xiàn)在是一個(gè)確定函數(shù)，隨機(jī)性體現(xiàn)在某一樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上。某一樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上。 時(shí)間平均時(shí)間平均概率論：隨機(jī)變量分析概率論：隨機(jī)變量分析分布函數(shù)分布函數(shù)和和概率密度概率密度研究內(nèi)容研究內(nèi)容隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)描述：隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)描述： 1. 隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù) 2.

9、隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲82.2.2 2.2.2 隨機(jī)過程隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)描述僅觀察圖僅觀察圖2-1所給出的樣本函數(shù)，很難定量的描述這個(gè)隨機(jī)所給出的樣本函數(shù)，很難定量的描述這個(gè)隨機(jī)過程的變化規(guī)律。因此，需要從統(tǒng)計(jì)的意義上來研究樣本波過程的變化規(guī)律。因此，需要從統(tǒng)計(jì)的意義上來研究樣本波形，將它們形，將它們所具有的共性所具有的共性，即，即相同的特性相同的特性提煉出來，這就是提煉出來，這就是隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述。隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述。隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性是通過它的隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性是通過它的分布函

10、數(shù)分布函數(shù)或或數(shù)字特征數(shù)字特征加以加以描述的。描述的。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲91. 1. 隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)設(shè)X (t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，它在任意時(shí)刻表示一個(gè)隨機(jī)過程，它在任意時(shí)刻t1的值的值X (t1)是一個(gè)隨是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識(shí)，隨機(jī)過程機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識(shí)，隨機(jī)過程X(t)的的-（1 1）隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的一維描述的一維描述-反映隨機(jī)過程在任一時(shí)刻的反映隨機(jī)過程在任一時(shí)刻的取值統(tǒng)計(jì)特性。取值統(tǒng)計(jì)特性。 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)11111(, )( )F x tP X tx

11、表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量X(t1)小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值x1的概率。的概率。 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)1111111),(),(xtxFtxf若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。11( )P X tx第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲10（2 2）隨機(jī)過程）隨機(jī)過程 (t)的二維描述的二維描述-反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的關(guān)聯(lián)程度。值之間的關(guān)聯(lián)程度。 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 任意給定時(shí)刻任意給定時(shí)刻t1 、t2， 和和 同時(shí)成立的概率：同時(shí)成立的概率：212121122(

12、,; , ,)( ),( )F x x t tPX tx X tx二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf11( )X tx22( )X tx第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲11（3 3）隨機(jī)過程）隨機(jī)過程X (t)的的多多維描述維描述n維分布函數(shù)維分布函數(shù) n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)12121122(,;,)( ),(),()nnnnnFxxxtttPX txX txX tx1212121212()()nnnnnnnn

13、F xxxtttf xxxtttx xx ， ， ； ， ， ， ； ， ，第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲12目的目的/意義：意義： 可以把隨機(jī)過程可以把隨機(jī)過程X(t)當(dāng)作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來看待，當(dāng)作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來看待，而用這個(gè)多元隨機(jī)變量而用這個(gè)多元隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)的分布函數(shù)或的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。概率密度來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。 顯然，顯然，n 越大，對隨機(jī)過程的描述越充分。越大，對隨機(jī)過程的描述越充分。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立: 對于任何對于任何n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量

14、X(t1)，X(t2)，.，X(tn)，如果下式成，如果下式成立立 fn(x1, x2, ., xn；t1, t2, ., tn) = f1(x1, t1)f1(x2, t2).f1(xn, tn)則稱這些變量是則稱這些變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，否則就是，否則就是不獨(dú)立的不獨(dú)立的或或相相關(guān)的。關(guān)的。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲132.2.隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征引言引言 問題：問題：隨機(jī)過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善隨機(jī)過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善 地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。但地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)

15、特性。但實(shí)際中：難；不必實(shí)際中：難；不必。 措施：措施：用隨機(jī)過程的用隨機(jī)過程的數(shù)字特征數(shù)字特征來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單方便。更簡單方便。 方法：方法：求隨機(jī)過程數(shù)字特征的方法有求隨機(jī)過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”和和“時(shí)時(shí)間平均間平均”兩種。兩種。 統(tǒng)計(jì)平均：統(tǒng)計(jì)平均：對隨機(jī)過程對隨機(jī)過程 X(t)某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能取值取值X(ti)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ，用，用統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)平均。平均。 時(shí)間平均：時(shí)間平均：對隨機(jī)過程對隨機(jī)過程X(t)的某一的某一特定實(shí)現(xiàn)特定實(shí)現(xiàn)xi(t

16、) ，用數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)分析方法分析方法對時(shí)間求平均對時(shí)間求平均得出的平均值叫時(shí)間平均。得出的平均值叫時(shí)間平均。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲141( )( , )EX txfx t dx111111( )(, )E X tx fx t dx隨機(jī)過程在任意給定時(shí)刻隨機(jī)過程在任意給定時(shí)刻t的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。（1 1）隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)在任意給定時(shí)刻在任意給定時(shí)刻t1的取值的取值X (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，其其數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望為為 式中式中 f1 (x1, t

17、1) X(t1)的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接寫為直接寫為t， x1改為改為x，這樣，這樣第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲15a (t )1( )()( )E X txf xt dxa t 記為，X (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示，它表示隨機(jī)過程隨機(jī)過程的的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心擺動(dòng)中心，故又常被稱為統(tǒng)計(jì)平均或，故又常被稱為統(tǒng)計(jì)平均或均均值值。 第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪

18、聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲16（2 2）方差）方差2( )( )( ) D X tEX ta t 2222222212( )2( ) = ( )( ) ( , ) ( )DXtEXta t XtatE Xta t EXtatE Xtatx fx t dxa t 均方值均方值均值平方均值平方方差常記為方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了直接寫成了t 。因?yàn)橐驗(yàn)樗?，所以，方差等于均方值與均值平方之差方差等于均方值與均值平方之差，它，它表示隨機(jī)過程在時(shí)表示隨機(jī)過程在時(shí)刻刻 t 相對于均值相對于均值a ( t )的偏離程度的偏離程度。第第2

19、 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲17（3 3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系互關(guān)系假定：假定：X(t1)和和X(t2)分別是在分別是在t1和和t2時(shí)刻觀測得到的時(shí)刻觀測得到的隨機(jī)變量隨機(jī)變量。（A A）自自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程的相關(guān)程度同一隨機(jī)過程的相關(guān)程度f2 (x1, x2; t1, t2) X (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)?？梢钥闯觯梢钥闯?，R(t1, t2)是兩個(gè)變量是兩個(gè)變量t1和和t2的確定函數(shù)。的確定函數(shù)。 （B B）協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方

20、差函數(shù)1212122121212()( )( )(,;)d dR ttE X t X tx x fx x ttx x ,12112211222121212()( )( )( )( )( )( )()d dB ttEX ta tX ta txa txa tfxxttx x ， ； ，=R( t,)第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲18)()(),(),(212121tatattRttB1212(,)()()XYRttE XtY t相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：1212() ( ) ( )R ttEtt,

21、121122( ,) ( )( ) ( )( )B t tEta tta t特別：特別：若若a(t) =0，則，則 B(t1, t2) = R(t1, t2)（C C）互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)不同隨機(jī)過程兩個(gè)不同隨機(jī)過程X(t)、Y(t)的相關(guān)程度的相關(guān)程度1212( , )( ) ( )0XYRt tE X t Y tX(t)和和Y(t)是不相關(guān)的是不相關(guān)的-正交的隨機(jī)過程。正交的隨機(jī)過程。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過程是不相關(guān)的。隨機(jī)過程是不相關(guān)的。相應(yīng)地：相應(yīng)地：R(t1, t2)稱為稱為自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)。特別：特別：第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理

22、2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲19 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程2.3.1 2.3.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念1.1.定義定義若一個(gè)隨機(jī)過程若一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，它的任意，它的任意n維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即起點(diǎn)無關(guān)，即對于任意的正整數(shù)對于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)和所有實(shí)數(shù) ，有，有則稱則稱X(t)是是平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲202.2.性質(zhì)性質(zhì)該定義表明：平穩(wěn)

23、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間該定義表明：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。特別是：的推移而改變。特別是：一維分布函數(shù)與時(shí)間一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：無關(guān)：3.3.數(shù)字特征數(shù)字特征),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf1 111( )( )E X tx f x dxa12111221212( , )( )()( ,; )d d( )R t tE X t X tx x fx xx xR 而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：可見可見：（：

24、（1）其均值與其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)，為有關(guān)，為R()。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲21嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征：嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征： （1）其均值與其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。有關(guān)。 4.4.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 把同時(shí)滿足（把同時(shí)滿足（1）和（）和（2）的隨機(jī)過程定義為）的隨機(jī)過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程過程。意義：意義：具有具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨

25、機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程。有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲222.3.2 2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出問題的提出 隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣

26、本。的樣本。 問題：問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的回答是肯定的： 平穩(wěn)過程在平穩(wěn)過程在滿足一定的條件滿足一定的條件下具有一種十分有用的特性下具有一種十分有用的特性-“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”（或稱（或稱“遍歷性遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值時(shí)間平均值來代替。來代替。 條件？條件？第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析

27、通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲23各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：設(shè)： xi(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程X(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間時(shí)間均值均值和和時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：分別定義為：如果平穩(wěn)過程使下式成立如果平穩(wěn)過程使下式成立/2/2/2/21( )lim( )d1( )( ) ()lim( ) ()dTTTTTTax tx ttTRx t x tx t x ttT)()(RRaa則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪

28、聲24“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義的含義 隨機(jī)過程中的任何一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀隨機(jī)過程中的任何一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息。態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息。 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)好處好處 在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平時(shí)間平均均”值代替過程的值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”值即可，值即可，從而使測量和計(jì)算從而使測量和

29、計(jì)算問題大為簡化。問題大為簡化。注：注：具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。足各態(tài)歷經(jīng)條件。)()(RRaa第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲25 例例2-12 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論試討論X(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是

30、否具有各態(tài)歷經(jīng)性。( )cos()cX tAt202022001( )( )cos()d2(coscossinsin )d2coscos dsinsin d 02ccccca tE X tAtAttAtt 【解解】（1）先求）先求X(t)的統(tǒng)計(jì)平均值。的統(tǒng)計(jì)平均值。均值：均值：與與t 無關(guān)無關(guān)第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲26 僅只與時(shí)間間隔僅只與時(shí)間間隔 有關(guān)。有關(guān)。所以：所以：X(t)是廣義平穩(wěn)過程。是廣義平穩(wěn)過程。自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：1212122212122221210221( , )( )( ) cos()cos()

31、cos()cos()2 21cos()cos()2 222cos()02cccccccR t tE X t X tE AtAtAEttttAAttttdAtt)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1 = ，得到，得到第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲27220)cos(1limTTcTdttATa222222221( )limcos()cos()limcoscos(22 )2cos2TccTTTTcccTTTcRAtAtdtTAdttdtTA( )( )aaRR結(jié)論：結(jié)論：隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)

32、的。（2）求）求X(t)的時(shí)間平均值的時(shí)間平均值綜上，有綜上，有第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲282.3.3 2.3.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)特別重要，因?yàn)椋禾貏e重要，因?yàn)椋浩椒€(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述；數(shù)來描述；相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。（1）平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：）平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：1212( )( , )( )( )RR t tE X t X t（2）平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性

33、質(zhì)）平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)特別：特別：均值為均值為0時(shí)，有時(shí)，有 R(0) = 22(0)( )RE Xt)()( RR( )(0)RR22( )( )REX ta 2)()0( RR 的的偶函數(shù)偶函數(shù) R( )的的上界上界，R( )在在 = 0有最大值。有最大值。 X(t)的的平均功率平均功率 X(t)的的直流功率直流功率 X(t)的的交流功率交流功率1）2）3）4）5）第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲292） - R() 的的上界。上界。證：證：由于由于 從而從而 222( )() = ( )()2( )()= (0)(0)2

34、 ( )=2 (0)( )0 EX tX tE XtXtX t X tRRRRR2( )() 0 EX tX t( )(0)RR所以，得所以，得( )(0)RR對性質(zhì)對性質(zhì)2）、）、4）、）、5）證明如下。）證明如下。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲304） -X(t)的的直流功率直流功率。證：證：注：注：這里利用了當(dāng)這里利用了當(dāng)時(shí)時(shí)X(t)與與X(t+)變得變得沒有沒有依賴關(guān)系，依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為X(t)不不含有周期分量。含有周期分量。5） -方差為方差為X(t)的的交流功率交流功率。證：證：由由22(

35、 )lim ( )lim ( )()( ) ()( )RRE X t X tE X t E X tEX ta ，平穩(wěn)22( )( )REX ta 222222222( )( )( )( ) ( )2( ) = ( )2 = (0)D X tE X ta tE X taE XtaX taE XtaaRa2(0)( )RR證畢。證畢。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲312.3.4 2.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度PX() 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()的又一重要性質(zhì)。的又一重要性質(zhì)。 設(shè)：設(shè)：X(t)平穩(wěn)，平穩(wěn)，R(

36、)絕對可積絕對可積()Rd 則則在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。意義：意義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。傅里葉關(guān)系。 d1d2jXjXPReRPe簡記為：簡記為：( )( )XRP維納維納- -辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲32證明：證明：由信號與系統(tǒng)課程知道，對于任意確定功率信號由信號

37、與系統(tǒng)課程知道，對于任意確定功率信號x(t)，其功率譜密度為其功率譜密度為式中，式中， 是是x(t)的短截函數(shù)的短截函數(shù)xT(t)的的頻譜函數(shù)。對于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過程頻譜函數(shù)。對于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也而言，它的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可以由上式確定?？梢杂缮鲜酱_定。2( )( )limTxTXPT( )TX但一般而言，不同實(shí)現(xiàn)具有不同的譜密度。因此，某一實(shí)現(xiàn)的但一般而言，不同實(shí)現(xiàn)具有不同的譜密度。因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即看作是對所

38、有實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即2( )( )( )limTXxTEXPE PT第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲33 1dd2jjXXPReRPe2( )( )limTxTXPT2( )( )( )limTXxTEXPE PT我們還知道，非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功我們還知道，非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，也就是說，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度成立，也就是說，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度PX()與其自與其自相關(guān)函數(shù)

39、相關(guān)函數(shù)R()也是一對傅里葉變換，即也是一對傅里葉變換，即)()(fPR第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲34討論：討論：（1）對功率譜密度進(jìn)行積分，可得）對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率平穩(wěn)過程的總功率：(0)( )XRPf df從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算方法。從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算方法。（2）各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度等于過程的功各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度等于過程的功率譜密度：率譜密度： 1dd2jjXXPReRPe即，任一實(shí)現(xiàn)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的譜特性。即，任一實(shí)現(xiàn)的

40、譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的譜特性。( )( )XxPP( )( )RR【證證】對各態(tài)歷經(jīng)過程，有對各態(tài)歷經(jīng)過程，有 兩邊同取傅里葉變換，得兩邊同取傅里葉變換，得 此即此即 ( ) ( )F RF R( )( )XxPP第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲35【解解】由例由例2-1已經(jīng)得知隨相信號是一個(gè)平穩(wěn)過程，且其已經(jīng)得知隨相信號是一個(gè)平穩(wěn)過程，且其相關(guān)相關(guān)函數(shù)函數(shù)為為20( )cos2AR 例例2-3 試求隨相正弦波試求隨相正弦波X(t) = Acos( ct + )的自相關(guān)函數(shù)、功的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和和平均功率。率譜密度和

41、和平均功率。又由又由 ( )( )XRP)()(cosccc2( ) ()()2XccAP 21(0)( )22XASRPd得得 功率譜密度功率譜密度 平均功率平均功率 第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲36 2.4 2.4 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 通信中最重要也是最常見的過程。通信中最重要也是最常見的過程。2.4.1 2.4.1 高斯過程的定義高斯過程的定義若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程X(t)的任意的任意n維分布（維分布（n=1,2,）均服從正態(tài)分布，）均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。 n維正態(tài)概率

42、密度函數(shù)表示式維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式見見 式（式（2.4.1） （2.4.3）特點(diǎn)：特點(diǎn)：高斯過程的高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。特征就可以了。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲37特別情況下，當(dāng)特別情況下，當(dāng)n=1時(shí)，式時(shí)，式（2.4-1）簡單為簡單為 21111211()1( , )exp22xaf x t此即為高斯過程此即為高斯過程X(t)在時(shí)刻在時(shí)刻t

43、1取值所得隨機(jī)變量取值所得隨機(jī)變量X(t1)的一維概率的一維概率密度函數(shù)，顯見其為正態(tài)的。式中，密度函數(shù)，顯見其為正態(tài)的。式中，a1為為X(t1)的均值，的均值， 為為X(t1)的方差。的方差。（2.4-4）一維時(shí)：一維時(shí)：21第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲382.4.2 2.4.2 高斯過程的高斯過程的重要重要性質(zhì)性質(zhì)由定義可分析出由定義可分析出（1）高斯過程）高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn) 。（2）高斯過程中的隨機(jī)變量）高斯過程中的隨機(jī)變量X(t1)、X(t2)、X(t3)、之間之間若不若不相關(guān)相關(guān)，

44、則它們也必是，則它們也必是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。的。意義：意義：這種情況下，隨機(jī)過程極其復(fù)雜的這種情況下，隨機(jī)過程極其復(fù)雜的n維正態(tài)概率密度函維正態(tài)概率密度函數(shù)表示轉(zhuǎn)化為數(shù)表示轉(zhuǎn)化為n個(gè)簡單的一維分布的乘積。個(gè)簡單的一維分布的乘積。（3）若干個(gè)高斯過程之和仍是高斯過程。若干個(gè)高斯過程之和仍是高斯過程。從信號角度。從信號角度。（4）高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。從系統(tǒng)角度從系統(tǒng)角度。212122/2112112221()1()exp2(2 )()1= exp() ()22njjnnnnnjjjjnjjnnjjjxafxxxtttxaf xtf xtf xt

45、， ， ， ； ， ， ， )，（2.4.5）第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲39221()( )exp(2.4.6)22xafx 則稱則稱x為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量。也稱高斯隨機(jī)變量。 a均值均值， 2方差方差 。2.4.3 2.4.3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時(shí)刻上的取值高斯過程在任一時(shí)刻上的取值為高斯隨機(jī)變量。在分析系統(tǒng)為高斯隨機(jī)變量。在分析系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)要反復(fù)用到抗噪聲性能時(shí)要反復(fù)用到。1. 1. 定義定義/ /概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x的概率

46、密度函數(shù)可表示成的概率密度函數(shù)可表示成曲線：曲線：第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲40性質(zhì)：性質(zhì)：1）對稱于直線）對稱于直線x=a; 2）在）在 內(nèi)單調(diào)上升，內(nèi)單調(diào)上升，在在 內(nèi)單調(diào)下降，且內(nèi)單調(diào)下降，且在在a點(diǎn)處達(dá)到極大值點(diǎn)處達(dá)到極大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf x dxf x dx，3） 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定時(shí)一定時(shí)，。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲412. 2. 正態(tài)分布函

47、數(shù)正態(tài)分布函數(shù)（1 1）一般表示式）一般表示式22222/21()( )e( )d1()expdddxpd22122d2xxxx atf zzzazazaF xzetztzt，令，則這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入誤差函數(shù)誤差函數(shù)或或Q函數(shù)（可查表）函數(shù)（可查表）來表來表述。述。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲42（3 3）用誤差函數(shù)表示）用誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。 1 1）誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)定義20( )2xzerf xedzxzdze

48、xerfxerfc22)(1)(誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：22/221()1( )exp222x axtzaF xdzedt附錄附錄B第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲432 2）誤差函數(shù)的性質(zhì)）誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)： ()( )erfxerf x( )1erf ()2( )erfcxerfc x0)(erfc21( )1xerfc xexx，互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)：202( )xzerf xe

49、dzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲443 3）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)22220( )( )( )( )11()exp22211211()222xaxaxaxatFxfz dzfz dzfz dzzadzedtxaerf 20,222( )xzzat dzdterf xedz1111( )2222()1()22211()2xaxaerferfxcaerfcF x 或：或：第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與

50、噪聲45（2 2）用）用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù) Q函數(shù)定義：函數(shù)定義：2/21( )2txQ xedt22( )zxerfc xedzQ函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系： 221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(Q函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：112)()2(xaerfcF xQ函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲46 2.5 2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.5.1

51、 2.5.1 輸出過程的表達(dá)式輸出過程的表達(dá)式線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 設(shè)：設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為 ：h(t)、H() 。周知：周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)線性系統(tǒng)響應(yīng)y(t)等于輸入信號等于輸入信號x(t)與沖擊響應(yīng)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，的卷積，即：即：確知信號通過確知信號通過線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：( )( )* ( )( ) ()y tx th thx td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲47理解：理解： 上式對于確知信號是沒有問題的。上式對于確知信號是沒有問題的。 當(dāng)輸入是隨機(jī)過程

52、當(dāng)輸入是隨機(jī)過程X (t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)，也應(yīng)成立的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)，也應(yīng)成立。即，。即，如果把如果把x(t)看作是輸入隨機(jī)過程看作是輸入隨機(jī)過程X (t)的某一個(gè)樣本，則的某一個(gè)樣本，則y(t)將將是輸出隨機(jī)過程是輸出隨機(jī)過程Y(t)的一個(gè)相應(yīng)的樣本。的一個(gè)相應(yīng)的樣本。 這一關(guān)系這一關(guān)系可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過程可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過程。即當(dāng)輸。即當(dāng)輸入是隨機(jī)過程入是隨機(jī)過程X(t)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過程時(shí)，便有輸出隨機(jī)過程Y(t)。且有：。且有： 隨機(jī)信號通過隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：( )( )* ( )( ) ()y tx th thx td( )( )* ( )(

53、) ()Y tX th thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲482.5.2 2.5.2 輸出隨機(jī)過程輸出隨機(jī)過程 Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性任務(wù)：任務(wù)：假設(shè)假設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計(jì)特性，求Y(t)的的統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性。注：注：考察一個(gè)實(shí)現(xiàn)就夠了?？疾煲粋€(gè)實(shí)現(xiàn)就夠了。假設(shè)：假設(shè)：X(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，且是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，且均值均值aX ，自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)RX( ) ，功率譜密度功率譜密度 PX( ) ；求求輸出過程輸出過程Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性：均值、自相關(guān)函

54、數(shù)、功率譜以及的統(tǒng)計(jì)特性：均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。概率分布。( )( )* ( )( )()Y tX th thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲491.1.Y(t)的均值的均值結(jié)論：結(jié)論：線性系統(tǒng)輸出過程的均值，是輸入過程均值與系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸出過程的均值，是輸入過程均值與系統(tǒng)直流增益的乘積。直流增益的乘積。 輸出過程的均值與時(shí)間無關(guān)。輸出過程的均值與時(shí)間無關(guān)。 000( )()( )()()0XXYEhX tdhE X tdahdE Y ta Ha與與t無關(guān)。無關(guān)。( )( )()Y thX td對對兩邊取統(tǒng)計(jì)

55、平均，有兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲502.2. Y(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義000 00 0( ,)( ) ()( )()d( )()()()d( ) ( )d d( ) ( )d d(XYYR t tE Y t Y tEhX thX thE X tXhthRhR 僅與僅與有關(guān)。有關(guān)。綜上綜上: : Y( (t) )平穩(wěn)。平穩(wěn)。( )( )()Y thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲51由由進(jìn)行傅里葉

56、變換，得進(jìn)行傅里葉變換，得( )( ) ( )()d dYXRhhR ( )( )( ) ( )()d ddjYYjXPRedhhRe 3.3.Y(t)的功率譜密度的功率譜密度令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即( )( )( )( )jjjYXPhedhedRed2( )( )( )( )( )( )YXXPHHPHP結(jié)論：結(jié)論：-應(yīng)用：應(yīng)用：由由PY()的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求RY( ) 。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲52由于已假設(shè)由于已假設(shè)X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)是高斯型的

57、，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和輸上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和輸出過程也為高斯過程。出過程也為高斯過程。注：注：與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。4. 4. Y(t)的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)結(jié)論：結(jié)論：證：證：從積分原理看從積分原理看可以表示為：可以表示為：0( )lim()()kkkkkY thX t( )( ) ()Y thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)

58、信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲53 2.6 2.6 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程窄帶過程窄帶過程2.6.12.6.1窄帶隨機(jī)過程的概念窄帶隨機(jī)過程的概念1.1.什么叫窄帶隨機(jī)過程？什么叫窄帶隨機(jī)過程？ 頻譜：頻譜：所占頻帶較窄，滿足所占頻帶較窄，滿足f fc的隨機(jī)過程叫。的隨機(jī)過程叫。 時(shí)域：時(shí)域：用示波器觀察，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形幅度和相用示波器觀察，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲54221( )= ( )cos( )( )(t)=

59、 ( )sin( )( )( )( )( )( )( )( )cscssca tttX tattX ttatatX tattgX ta 同相分量正交分的的量隨機(jī)包絡(luò)的的隨機(jī)相位問：問：窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的? ?可以看出：可以看出： X(t)的統(tǒng)計(jì)特性由的統(tǒng)計(jì)特性由(t)和和 (t)或或ac(t)和和as(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。的統(tǒng)計(jì)特性確定。 若若X(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則的統(tǒng)計(jì)特性已知，則(t)和和 (t)或或ac(t)和和as(t)的統(tǒng)計(jì)特的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。性也隨之確定。( )( )cos(t),( )cos(t)s

60、in( )0cccsctX ttta ttat2. 2. 表達(dá)式表達(dá)式兩種！兩種！( ) t( ) t( )ca t( )sa t圖2-5 窄帶高斯過程矢量圖第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2021-10-28隨機(jī)信號與噪聲552.6.2 2.6.2 已知已知X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求的統(tǒng)計(jì)特性，求ac(t)、as(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見教材。僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見教材。結(jié)論：結(jié)論：若：若：X(t)是是均值為均值為0 0、方差為、方差為2、窄帶、平穩(wěn)、高斯、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。則：則：（1）ac(t)、as(t)同樣是同樣是平穩(wěn)高