二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn)

1、第一章 引 言二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn), 而且在數(shù)學(xué)的其它分支以及物理力學(xué)中也常常會(huì)碰到. 設(shè)是一個(gè)數(shù)域, 一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式=稱(chēng)為數(shù)域上的一個(gè)元二次型. 二次型的研究起源于解析幾何, 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與所討論的二次型曲線的中心重合時(shí), 有心二次曲線的一般方程為左端是、的一個(gè)二次型. 一般二次曲面的方程左端也有類(lèi)似的表達(dá)式, 即、 的一個(gè)二次型:二次型的理論在數(shù)學(xué), 力學(xué), 物理學(xué)中都有著重要的作用. 而在討論二次型時(shí), 正(負(fù))定二次型所對(duì)應(yīng)的正(負(fù))定矩陣在多元函數(shù)的極值問(wèn)題中又有著重要作用(參見(jiàn)文獻(xiàn)3), 這就更說(shuō)明了研究二次型的重要性.目前, 有關(guān)數(shù)域上的二次型的矩陣表

2、示，它是否存在標(biāo)準(zhǔn)形, 若標(biāo)準(zhǔn)形存在, 如何通過(guò)非退化線性替換化一般的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性、正定性等問(wèn)題都已經(jīng)得到了很好的解決(參見(jiàn)文獻(xiàn)1). 那么對(duì)于系數(shù)在環(huán)上如整數(shù)環(huán)上的二次型呢? 在整數(shù)范圍內(nèi)是否可得到相同的結(jié)論? 首先, 我們給出以下定義:定義1 設(shè)是一個(gè)整數(shù)環(huán), 一個(gè)系數(shù)在中的 的二次齊次多項(xiàng)式=稱(chēng)為整數(shù)環(huán)上的一個(gè)元二次型, 或者簡(jiǎn)稱(chēng)整二次型.我們?nèi)匀幌肜镁仃囘@一工具來(lái)研究整二次型. 然而并不是所有的整二次型都有與之相對(duì)應(yīng)的整矩陣(定義見(jiàn)第二章), 而只有當(dāng)整二次型中所有的項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù)時(shí), 才存在與之對(duì)應(yīng)的整矩陣. 但對(duì)于任意的一個(gè)整二次型=我們都可以經(jīng)過(guò)非退化整線

3、性替換(定義見(jiàn)第二章), 其中把原整二次型化為=顯然新的整二次型所有項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù), 此時(shí), 我們就可以通過(guò)整矩陣來(lái)研究它了. 這樣我們就把對(duì)任意一個(gè)整二次型的研究歸結(jié)為對(duì)所有項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù)這樣一類(lèi)整二次型來(lái)進(jìn)行研究.在第二至五章中, 我們著重討論了所有項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù)這樣一類(lèi)整二次型. 而在第六章, 作為對(duì)前面所得結(jié)果的應(yīng)用, 我們給出了一個(gè)重要定理的證明.第二章 整二次型的矩陣表示在這一章里, 我們主要來(lái)討論整二次型中所有()系數(shù)為偶數(shù)的情形.我們用=,其中 (1)來(lái)表示這一類(lèi)整二次型. 下文中所提到的整二次型都是指的這一類(lèi)整二次型.在討論這一類(lèi)整二次型之前, 我們先引入有關(guān)整矩陣的一

4、系列知識(shí)(參見(jiàn)參考文獻(xiàn)4). 矩陣 ,其中, 皆為整數(shù), =1, 2, , ; =1, 2, , , 稱(chēng)為一個(gè)行列的整矩陣,或稱(chēng)為整矩陣, 記為. 若, 則稱(chēng)為階整矩陣, 記為.類(lèi)似于數(shù)域上的矩陣, 我們可以定義整矩陣的運(yùn)算（加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算）, 定義方法完全一樣. 若階整矩陣的行列式不為零，即0, 則此方陣稱(chēng)為非退化矩陣; 否則稱(chēng)之為退化矩陣. 若=1, 則稱(chēng)為模方陣, 而行列式等于1的整矩陣稱(chēng)為正模方陣. 易知兩個(gè)模方陣之積仍為一模方陣, 而兩個(gè)正模方陣之積仍為一正模方陣.若階整矩陣、, 有, 為單位矩陣, 則稱(chēng)為的逆矩陣, 記為. 設(shè)是整矩陣中元素的代數(shù)余子式, 矩陣稱(chēng)為的伴隨矩陣.由

5、行列式按一行(列)展開(kāi)的公式立即得出:= =, 其中. 若為模方陣, 則有逆矩陣存在, 且=; 反之, 若有逆矩陣, 則為模方陣.要討論整二次型, 我們首先要把數(shù)域上的二次型所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣, 非退化線性替換推廣到這一類(lèi)整二次型上.定義2 設(shè); 是兩組文字, 系數(shù)在整數(shù)環(huán)中的一組關(guān)系式 (2) 稱(chēng)為由 到的一個(gè)整線性替換, 或者簡(jiǎn)稱(chēng)整線性替換. 如果系數(shù)行列式 0, 那么整線性替換(2)就稱(chēng)為非退化的.把(1)的系數(shù)排成一個(gè)矩陣, 則整矩陣 它就稱(chēng)為整二次型(1)的矩陣. 因?yàn)? = 1, 2 , , , 所以= 我們把這樣的矩陣稱(chēng)為整對(duì)稱(chēng)矩陣. 整二次型的矩陣都是對(duì)稱(chēng)的.令 =類(lèi)似數(shù)域上的二

6、次型, 1、整二次型(1)也可以用矩陣的乘積表示出來(lái):=且整二次型(1)和它的矩陣是相互唯一確定的.2、類(lèi)比數(shù)域上的 階矩陣、合同的概念, 我們有以下定義:定義3 整數(shù)環(huán)上階方陣、稱(chēng)為整合同的, 如果有整數(shù)環(huán)上非退化階方陣, 使, 即若有, 則稱(chēng)整合同于.命題1 整數(shù)環(huán)上的、兩階方陣間的整合同關(guān)系具有: 反身性: =; 傳遞性: 由 和即得=.注 在整數(shù)環(huán)上我們所定義的兩個(gè)矩陣之間的整合同關(guān)系不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 這是因?yàn)樗痪哂袑?duì)稱(chēng)性, 在整數(shù)環(huán)上為非退化矩陣并不等價(jià)于為可逆陣. 因此, 在整數(shù)環(huán)z上階方陣、, 有整合同于, 不一定有整合同于. 所以它不具有對(duì)稱(chēng)性, 從而它不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

7、它也不是一個(gè)偏序關(guān)系, 因?yàn)樗粷M(mǎn)足反對(duì)稱(chēng)性. 即由 和 , |c|0, |d|0推不出. 3、經(jīng)過(guò)非退化的整線性替換, 原整二次型的矩陣整合同于新整二次型的矩陣.第三章 整二次型在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形整對(duì)稱(chēng)矩陣的三種初等變換: 矩陣的兩行(列)互換位置; 矩陣的某一行(列)乘以非零的整數(shù)倍; 矩陣某一行(列)加另一行(列)的整數(shù)倍.這一章的主要結(jié)果有:定理1 任意一個(gè)整二次型 =都能經(jīng)過(guò)非退化整線性替換化為如下形式: , = 1, 2 , , ,即任意一個(gè)整對(duì)稱(chēng)矩陣都整合同于下列形式的矩陣 其中, r1.證明: 下面的證明實(shí)際上是一個(gè)具體地把整二次型化成平方和的方法.所對(duì)應(yīng)的整對(duì)稱(chēng)矩陣 =0若

8、全部為0, = 1, 2 , , , 則必存在某一列元素不全為零, 不妨設(shè) 0, , 把第行元素加到第行去, 再把第列元素加到第列. 這時(shí), 第行列元素就變?yōu)?, 再經(jīng)過(guò)行列調(diào)動(dòng), 把調(diào)到第1行第1列, 則第1行第1列元素即不為0.因此, 我們可以設(shè)0. 由于我們總可以把所有的對(duì)角線元素中絕對(duì)值最小的那個(gè)非零元素找出來(lái), 然后再經(jīng)過(guò)行列調(diào)動(dòng), 把它調(diào)到第1行第1列去, 因此, 我們不妨設(shè)就是那個(gè)對(duì)角線上絕對(duì)值最小的非零元素. 與可能有以下幾種關(guān)系: |, 則直接用第行減去第1行的倍, 此時(shí), 第行第1列所對(duì)應(yīng)元素為0, 接著作相應(yīng)的列變換, 第列第1行元素也變?yōu)?; |, 則把第行乘以倍, 作

9、相應(yīng)的列變換, 第列也乘以倍, 然后再用第行減去第1行, 第列減去第1列, 此時(shí), 第行第1列元素和第列第1行元素都變?yōu)?; 與互相不整除: , , . 第行減去第1行的倍, 得新的, 作一次相應(yīng)的列變換, 第列減去第1列的倍, 得新的=; 接著, 第行乘以倍, 相應(yīng)地, 第列乘以倍; 然后, 第行減去第1行的倍, 相應(yīng)地, 第列減去第1列的倍, 此時(shí), 第行第1列所對(duì)應(yīng)元素和第1行第列都為0; 與互相不整除: , =, | r |. 第行乘以倍, 第列也乘以倍, 接著, 第行減去第1行得新的=, 相應(yīng)地, 第列減去第1列, 得新的=; 然后, 方法如. 最終, 第行第1列所對(duì)應(yīng)元素和第1行第

10、列都為0.如此下去, 作一次行變換相應(yīng)的再作一次列變換, 我們就將得到與整合同的形如下的矩陣=,對(duì)用同樣的方法, 得到與整合同的=,如此下去, 即得與整合同的 =.由此可得:在整數(shù)環(huán)上, 任意一個(gè)整對(duì)稱(chēng)矩陣都整合同于一整對(duì)角矩陣, 也就是說(shuō), 對(duì)于任意一個(gè)整對(duì)稱(chēng)矩陣都可以找到一個(gè)非退化矩陣, 使得是整對(duì)角矩陣. 證畢.整二次型經(jīng)過(guò)非退化整線性替換所變成的平方和稱(chēng)為整二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.注：(1) 、是數(shù)域上的兩個(gè)階方陣,合同于非退化階方陣, 使得=;初等矩陣, 使得, ; 因?yàn)? = =所以, =,即.求非退化陣的方法: , 其中為階單位矩陣.顯然, 對(duì)整數(shù)環(huán)上的、方陣, 對(duì), 以上皆成立.

11、但上述“非退化陣”不能改為“可逆陣”. 這是因?yàn)? 在整數(shù)環(huán)上, 非退化矩陣與可逆并不是等價(jià)的, 矩陣是非退化的, 并不一定可逆. (2) 一般地, 不能用配方法來(lái)化整二次型為它的標(biāo)準(zhǔn)形. 這是因?yàn)榕c數(shù)域上不同, 在整數(shù)環(huán)上, 環(huán)上一般不可作除法, 所以我們不能像數(shù)域上的二次型一樣, 可以用配方法化整二次型為其標(biāo)準(zhǔn)形.下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的化整二次型為其標(biāo)準(zhǔn)形的例子:例: 化整二次型= 為標(biāo)準(zhǔn)形.解: 利用初等變換法: 整二次型所對(duì)應(yīng)的整對(duì)稱(chēng)矩陣 = 所以 綜上, 作非退化整線性變換得=.第四章 唯一性由第三章我們知道, 經(jīng)過(guò)非退化整線性替換, 整二次型的矩陣可以化成一個(gè)與之整合同的矩陣, 由此我們

12、有以下幾個(gè)命題:命題2 整矩陣、整合同, 則它們有相同的秩, 即經(jīng)過(guò)非退化整線性替換后, 整二次型的矩陣的秩是不變的.證明: 整矩陣、整合同, 即非退化陣, 使得=. 因?yàn)榫仃嚦艘猿醯染仃嚥桓淖兙仃嚨闹? 而, 為一系列初等矩陣, 所以的秩仍然等于的秩.證畢. 命題3 在一個(gè)整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中, 系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的, 與所作的非退化整線性替換無(wú)關(guān).證明: 整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所對(duì)應(yīng)的矩陣是整對(duì)角矩陣, 而整對(duì)角矩陣的秩等于它對(duì)角線上不為零的個(gè)數(shù). 因此, 同數(shù)域上的二次型一樣, 在一個(gè)整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中, 系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的, 與所作的非退化整線性替換無(wú)關(guān). 證

13、畢.類(lèi)比數(shù)域上的二次型, 我們也稱(chēng)整二次型的矩陣的秩為整二次型的秩.至于標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)(如數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形一樣), 則不是唯一確定的.如: 接上述例中最后一步, 第2行乘以(-2)倍, 第2列也乘以(-2)倍, 則由 如此得 , 作非退化整線性變換, 即得=, 與之前所得標(biāo)準(zhǔn)形不一樣.這就說(shuō)明, 在整數(shù)環(huán)內(nèi), 整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形也不是唯一的, 而與所作非退化整線性替換有關(guān).與實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的二次型不同, 整二次型無(wú)規(guī)范形. 這是因?yàn)? 在整數(shù)環(huán)上, 我們不能作除法, 也就不能開(kāi)平方, 所以也就不存在規(guī)范形.設(shè)是一個(gè)整二次型, 由前一章證明, 經(jīng)過(guò)某一個(gè)非退化整線性替換, 再適當(dāng)排列文字的

14、次序, 變成標(biāo)準(zhǔn)形, 其中0, 1, 2, , , 是的矩陣的秩.類(lèi)比實(shí)二次型, 我們定義:定義4 在整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中, 正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的正慣性指數(shù); 負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的負(fù)慣性指數(shù); 它們的差稱(chēng)為的符號(hào)差.雖然整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的, 但是我們知道, 標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一的. 即整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)唯一, 它等于正慣性指數(shù), 系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就等于負(fù)慣性指數(shù).第五章 正定整二次型類(lèi)比實(shí)二次型中的正定二次型, 我們定義:定義5 整二次型稱(chēng)為是正定的, 如果對(duì)于任意一組不全為零的整數(shù), 如果都有0.顯然, 整二次型是正定的, 因?yàn)橹挥性跁r(shí), 才

15、為零.一般地, 整二次型(, 1, 2, , ,)是正定的當(dāng)且僅當(dāng), 其中0, 1, 2, ,. 不能有一個(gè)0. 這是因?yàn)? 假設(shè)有某一個(gè)0, 其它都為零, 此時(shí)=0, 且0. 設(shè)整二次型 =, ,都能經(jīng)過(guò)非退化整線性替換變成其標(biāo)準(zhǔn)形 =.下面來(lái)證明:定理2 設(shè)整二次型=,經(jīng)過(guò)非退化整線性替換, 變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形, , 1,2, , 則整二次型是正定的等價(jià)于其標(biāo)準(zhǔn)形是正定的.證明: 1是任一組不全為零的整數(shù), 0.因?yàn)?, 所以也不全為零. 若不然, 即若=0, 則=0, =0與不全為零矛盾. 所以=0, 即標(biāo)準(zhǔn)形也是正定的.2是任一組不全為零的整數(shù), 0,也不全為零. 若=0, 因?yàn)?, 只有零解

16、,與不全為零矛盾, 所以也不全為零, 所以 =0. 證畢. 由此即得定理3 元整二次型正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于.證明: 設(shè)整二次型經(jīng)過(guò)非退化整線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形 (4) 上面的討論表明, 整二次型正定當(dāng)且僅當(dāng)(4)是正定的, 而我們知道, 二次型(4)是正定的當(dāng)且僅當(dāng)0, 1, 2, , , 即正慣性指數(shù)是. 證畢.類(lèi)比實(shí)二次型, 定義:定義6 整對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的, 如果整二次型正定.下面來(lái)證明: 定理4 正定整矩陣的行列式大于零.證明: 設(shè)是一個(gè)正定整矩陣, 整合同于一整對(duì)角矩陣, 且上對(duì)角線上元素皆大于零, 所以0, 所以有非退化矩陣, 使. 兩邊取行列式就有0因?yàn)?, 所以

17、0. 證畢. 如何判別整二次型的正定性, 有如下:定理5 整二次型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證明: 先證必要性. 設(shè)整二次型=是正定的, 對(duì)于每個(gè), 1n, 令=,我們來(lái)證是一個(gè)元的正定二次型. 對(duì)于任意一組不全為零的整數(shù),有=(, , , 0, , 0)0. 因此是正定的. 由上面的推論，的矩陣的行列式0, = 1, 2 , , .這就證明了矩陣的順序主子全大于零.再證充分性. 我們已知: 實(shí)二次型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零; 則當(dāng)?shù)捻樞蛑髯邮饺笥诹銜r(shí), 對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù), 有0, 則當(dāng)取任意一組不全為零的整數(shù)時(shí), 0; 而整二次型是

18、一種特殊的實(shí)二次型, 所以當(dāng)?shù)捻樞蛑髯邮饺笥诹銜r(shí)，對(duì)于任意一組不全為零的整數(shù), 整二次型0, 充分性即證. 證畢.例: 判別整二次型=是否正定.解: 的矩陣 , 它的順序主子式50, 0, 0, 因此, 正定.類(lèi)比實(shí)二次型, 與正定性平行, 整二次型還有下面的概念.定義7 設(shè)是一個(gè)整二次型, 對(duì)于任意一組不全為零的整數(shù), 如果都有0, 那么稱(chēng)為負(fù)定的;如果都有0, 那么稱(chēng)為半正定的; 如果都有0, 那么稱(chēng)為半負(fù)定的; 如果它既不是半正定又不是半負(fù)定, 那么就稱(chēng)為不定的. 由定理5不難得出負(fù)定整二次型的判別條件. 這是因?yàn)楫?dāng)是負(fù)定時(shí), 就是正定的.至于半正定性, 類(lèi)似于實(shí)二次型, 我們有定理6

19、 對(duì)于整二次型=, 其中是整對(duì)稱(chēng)的, 下列條件等價(jià): 是半正定的, 它的正慣性指數(shù)與秩相等, 有非退化整矩陣, 使=,其中0, 1, 2, , , 的所有主子式皆大于或等于零.證明: (3)與(1)等價(jià)可直接由第三章證明可以得到, 因此下面只證, 分別與等價(jià).首先證:必要性: 用反證法, 若正慣性指數(shù)秩, 則(顯然，不會(huì)小于).即 =從而令, ,可得非零解使0, 與所給條件0矛盾，故=.充分性: 由 = 則 =故有 0.現(xiàn)在來(lái)證:充分性顯然. 下證必要性: 設(shè)半正定矩陣=, 它的任意一個(gè)階主子=然后, 作兩個(gè)二次型和. 對(duì)任意=0, 有0,其中=由于半正定, 所以0，從而=0. 由的任意性,即

20、證是半正定二次型, 所以0. 證畢. 注 在中, 僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的. 比如 就是一個(gè)反例.第六章 應(yīng)用作為前面結(jié)果的應(yīng)用, 我們來(lái)討論一類(lèi)特殊的整二次型:文獻(xiàn)13中稱(chēng)之為tits型. tits型是一類(lèi)十分重要的整二次型, 它在lie代數(shù), 線性代數(shù)群及有限維代數(shù)的表示理論中有著廣泛的應(yīng)用. 例如, tits型的正定性可以用來(lái)判定有限維代數(shù)的表示型. 下面我們來(lái)討論tits型的正定性.一、tits型的圖表示給定tits型,我們作圖. 的頂點(diǎn)集記為, 若, 頂點(diǎn)和頂點(diǎn)之間有條邊, 我們稱(chēng)圖為tits型所對(duì)應(yīng)的圖. 顯然, tits型與圖是一一對(duì)應(yīng)的.例: tits型所

21、對(duì)應(yīng)的圖如下:定義8 稱(chēng)二次型是不可分的, 如果不能寫(xiě)成兩個(gè)二次型的和.命題4 tits型是不可分的是連通的.二、tits型的正定性引理1 若整二次型可以寫(xiě)成個(gè)整二次型的和, 即, 則正定都正定, 證明: 充分性顯然. 下證必要性.用反證法: 若存在某個(gè)不是正定的, 即存在一組不全為零的整數(shù), 使得0.這時(shí)令其它的變量都為零, 則對(duì)來(lái)說(shuō), 存在一組不全為零的整數(shù), 使得0, 這與是正定的矛盾. 所以假設(shè)不成立, 即證都正定. 證畢.由引理知, 討論整二次型的正定性, 只需考慮不可分整二次型的正定性. 我們有以下主要結(jié)果:定理7 不可分tits型正定它的圖為以下五種情形之一:(1) 型:(2)

22、型:(3) :(4) :(5) :在證明這個(gè)定理之前, 我們先來(lái)證明一個(gè)引理:引理2 以下圖所對(duì)應(yīng)的tits型都不是正定的:(1) 兩個(gè)頂點(diǎn)之間有條邊, :(2) 階循環(huán)圈:(3)(4)(5) (6) 證明: (1)所對(duì)應(yīng)的tits型為, 經(jīng)過(guò)非退化整線性替換, , 它所對(duì)應(yīng)的整矩陣?yán)玫谌碌姆椒? 求得與整合同的整對(duì)角矩陣, 因?yàn)? 所以. 所以此類(lèi)tits型不是正定的.(2)所對(duì)應(yīng)的tits型為,經(jīng)過(guò)非退化整線性替換, 其中,它所對(duì)應(yīng)的整矩陣為因?yàn)?= = 0所以此類(lèi)tits型不是正定的.(3)所對(duì)應(yīng)的tits型為仿照方法(2), 即可證得此類(lèi)tits型不是正定的.(4)所對(duì)應(yīng)的tits

23、型為,經(jīng)過(guò)非退化整線性替換, 其中,它所對(duì)應(yīng)的整矩陣為利用第三章的方法, 求得與整合同的整對(duì)角矩陣顯然,不是正定矩陣, 因此, 原tits型不是正定的.(5)所對(duì)應(yīng)的tits型為仿照(2)或(3)的方法, 我們就可以得到此tits型也不是正定的.(6)所對(duì)應(yīng)的tits型為仿照(2)或(3)的方法,我們就可以得到此tits型不是正定的. 證畢.由引理2, 可直接推出以下結(jié)論:推論 任何一個(gè)tits型, 若它所對(duì)應(yīng)的圖包含以上六種圖中的任意一個(gè)為它的子圖, 則此tits型一定不是正定的.證明: 若某個(gè)tits型含有以上四種圖的某一種為它的子圖, 這個(gè)子圖所對(duì)應(yīng)的tits型不是正定的, 即存在一組不

24、全為零的整數(shù)使得這個(gè)子圖所對(duì)應(yīng)的tits型小于或等于零, 此時(shí), 令tits型中除去子圖所對(duì)應(yīng)的變量其它的變量都為零, 則即存在一組不全為零的整數(shù)使得tits型小于或等于零. 即證.有了以上的引理, 我們現(xiàn)在給出定理7的證明.證明: 充分性易證, 仿照引理2的證明, 利用化標(biāo)準(zhǔn)形的方法或者根據(jù)定理5即可證明. 下證必要性.給定一個(gè)不可分tits型, 它所對(duì)應(yīng)的圖為. 當(dāng)?shù)哪硟蓚€(gè)頂點(diǎn)之間的邊的條數(shù)大于或等于2時(shí), 由引理2中情形(1)可知此tits型不是正定的; 當(dāng)中含有循環(huán)圈時(shí), 由引理2中的情形(2)可知此tits型不是正定的; 當(dāng)?shù)娜我鈨蓚€(gè)頂點(diǎn)之間最多只有一條邊, 而且沒(méi)有循環(huán)圈, 沒(méi)有分

25、支時(shí), 此tits型只能是型的; 當(dāng)?shù)娜我鈨蓚€(gè)頂點(diǎn)之間最多只有一條邊, 沒(méi)有循環(huán)圈, 但有分支時(shí): 若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的分支, 由引理2中的情形(3)可知此tits型不是正定的; 若只有一個(gè)分支, 當(dāng)分支上含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的頂點(diǎn)時(shí), 由引理2中的情形(4)可知此tits型不是正定的; 當(dāng)分支上只含有一個(gè)頂點(diǎn)時(shí), 此類(lèi)tits型只可能是, , , 型. 因?yàn)槠渌黷its型都至少含有引理2中(5)、(6)兩種情形中的某一種為它的子圖, 因此這部分tits型都不是正定的. 證畢.致 謝這篇論文的完成，得到了指導(dǎo)老師、同學(xué)以及朋友們無(wú)微不至的關(guān)心和幫助.在這里，我要向他們表示衷心的感謝.指導(dǎo)老師徐運(yùn)

26、閣老師從本文的選題、開(kāi)題到寫(xiě)作、修改以及審閱定稿都給予了我悉心的指導(dǎo).特別是論文的內(nèi)容和格式方面，徐老師根據(jù)他多次出版書(shū)籍和撰寫(xiě)論文的經(jīng)驗(yàn)一絲不茍地校正論文中的錯(cuò)誤,這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)作風(fēng)使我深受感染.在徐老師的耐心指導(dǎo)下，我不僅順利圓滿(mǎn)地完成了畢業(yè)論文，而且學(xué)到了許多專(zhuān)業(yè)方面的知識(shí)，并對(duì)論文撰寫(xiě)的整個(gè)過(guò)程有了一個(gè)較為清楚的認(rèn)識(shí)，為我今后的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ).在這里，我要向徐老師表達(dá)最誠(chéng)摯的謝意.大學(xué)四年期間，數(shù)學(xué)系的老師們?cè)趯W(xué)習(xí)中孜孜不倦的教導(dǎo)我，在生活中給了我關(guān)懷和照顧，使我在大學(xué)四年里在知識(shí)層次上上了一個(gè)臺(tái)階，具有了一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并且身心健康發(fā)展，真正成為了一名合格的大學(xué)生.在此，我要向湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系的老師們表示感謝！真心感謝所有關(guān)心、支持和幫助我的同學(xué)和朋友們，在四年難以忘懷的美好時(shí)光里，大家給了我無(wú)數(shù)的鼓勵(lì)和幫助，在此，我要向他們表示衷心的感謝.最后我要感謝我慈愛(ài)樸實(shí)的父母及親人.這么多年來(lái)，他們對(duì)我傾注了無(wú)限的關(guān)愛(ài)和支持，他們的寬厚博愛(ài)是我順利完成學(xué)業(yè)的巨大動(dòng)力，并將繼續(xù)激勵(lì)我去迎接人生中新一輪的挑戰(zhàn)！參 考 文 獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第二版). 高等教育出版社, 19882 蔣爾雄, 高坤敏, 吳景琨. 線性代數(shù). 人民教育出版社, 19783 丘維生. 高等代數(shù)(第二