相似三角形中的輔助線專題教師版

1、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找 到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1.如圖，.'ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn) D和E,且使AD = AE，DE延長線與BC延長線相交于F,求證:BFCFBDCE例2.如圖， ABC中，ABvAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的 延長線相交于點(diǎn)F，證明：AB DF=AC EF。二、作垂線3.如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：AB AE AD A

2、F =AC2。三、作延長線例5.如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD的平分線CH丄AB于點(diǎn)H， BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求 HBC的面積。例6.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延 長線交BC于F，F(xiàn)G_AB于G，求證：FG2=CFBF四、作中線例 7 如圖，:ABC 中，AB 丄 AC ,AE 丄BC 于 E, D 在 AC 邊上，若 BD=DC=EC=1， 求AC。五、綜合練習(xí)題1、在厶ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，E為CB延長線上的一點(diǎn)，BE=AD，DE 交AB于F。2、ABC 中， ACB =90，AC=BC，P 是 A

3、B 上一點(diǎn)，Q 是 PC 上一點(diǎn)（不是 中點(diǎn)），MN 過 Q 且 MN 丄CP，交 AC、BC 于 M、N，求證：PA : PB =CM : CN3、.女口圖，厶ABC中，AB = AC, BD_AC,那么BC 2CA CD嗎？試說明 理由？（用三種解法）E相似三角形中的輔助線（教師版）在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找 到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1.如圖，.'ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn) D和E,且使AD = AE，DE延長線與BC延長線相交于F,求證

4、:BFCFBDCE證明：過點(diǎn)C作CG/FD交AB于G。小結(jié)：本題關(guān)鍵在于AD = AE這個(gè)條件怎樣使用例2.如圖， ABC中，ABvAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的 延長線相交于點(diǎn)F，證明：AB DF=AC EF。分析：證明等積式問題常?；癁楸壤?，再通過相似三角形對應(yīng)邊成比例來 證明。欲證AB DAC EF，需證 理，而這四條線段所在的兩個(gè)三角形顯然AC DF不相似，因而要通過兩組三角形相似，運(yùn)用中間比代換得到，為構(gòu)造相似三角形， 需添加平行線。方法一：過E作EM/AB，交BC于點(diǎn)M，則 EMCABC （兩角對應(yīng)相 等，兩三角形相似）。.型=-EC 即 EM AC =AB

5、 EC，AB ACAB EM" , , AC EC同理可得：EM DBFEF EM" , - DF BDEM EM / EM 亠又BD =EC,（ 為中間比），EC BD BDAB EF.AB DF = AC EF ” , , ,AC 一 DF 方法二：如圖，過D作DN/EC交BC于N ,ABABACECDNBDDNABACBD DN"AC，BD -DN EF 奇，EC -DNEF -DF即BD A AB DN （比例的基本性質(zhì)）同理 UECF DNF，而BD二EC （已知）（皂為中間比），DNAB DF = AC EF貝U有，：BDN 、 BAC,二、作垂線3.

6、如圖從一ABCDAM ABAE - AC又 ADN s . ：ACFANADAFACAB AE 二 AC AM (1)AD AF 二 AC AN (2)頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：AB AE AD AF =AC2。證明：過B作BM丄AC于M，過D作DN丄AC于N MBM s AACE(1) + (2) AB AE AD AF = AC AM AC AN = AC (AM AN)又 ADN 二 BCMAN=CM AB AE AD AF =AC（AM CM） =AC2三、作延長線例5.如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD的平分線CH丄AB于

7、點(diǎn)H， BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求 HBC的面積。分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為 相似三角形的面積比而加以解決。解：延長BA、CD交于點(diǎn)Pv CH 丄 AB，CD 平分/ BCD CB=CP,且 BH=PH BH=3AH PA: AB=1 : 2 PA: PB=1: 3 AD / BC PADs PBC S PAD PBC=1: 9_ 1-Sap c h= 2 Sapbc SA PAD = S四邊形 AHCD = 2 :7-S四邊形ahcd - 21-SA PBC = 54Sa h b c PBC=272例6.如圖，Rt.iABC中，C

8、D為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)G_AB于G，求證：FG2=CFBF12(1)212(1)2解析：欲證式即 匹 二C匚 由“三點(diǎn)定形” ， BFG與厶CFG會(huì)相似嗎？BF FG顯然不可能。（因?yàn)?BFG為Rt）,但由E為CD的中點(diǎn)，.可設(shè)法構(gòu)造一個(gè) 與 BFG相似的三角形來求解。不妨延長GF與AC的延長線交于H，AF FG FHFG FH則AE ED ECED EC又 ED=EC FG=FH又易證 RtA CFHs RtA GFB CF FHFG 一 BF FG FH=CF BF FG=FH FG2=CF BF四、作中線例 7 如圖，.:ABC 中，AB 丄 AC

9、 ,AE 丄BC 于 E, D 在 AC 邊上，若 BD=DC=EC=1， 求AC。12(1)212(1)2MC _ ACDC BCACMC BCDCBC解：取BC的中點(diǎn)M，連AM AB 丄 AC AM=CM / 仁/ C又 BD=DCDBC =/DCB 1 =/C "DBCMAC s . QBC1又 DC=1 MC= BC212(1)2又 Rt AEC s Rt. BAC又 v EC=1 AC2=CE BC=BC (2)12(1)21 _由（1） （2）得，AC = AC4 二 AC=322小結(jié)：利用等腰三角形有公共底角，則這兩個(gè)三角形相似，取 BC中點(diǎn)M，構(gòu)造 MAC與 DBC相

10、似是解題關(guān)鍵五、綜合練習(xí)題E為CB延長線上的一點(diǎn)，BE=AD，DE1、在 ABC中，D為AC上的一點(diǎn), 交AB于F。求證：EFX BC=AC X DFP是AB上一點(diǎn)，Q是PC上一點(diǎn)（不是BC 于 M、N，求證：PA:PB=CM:CN。ADECc圖（2）圖（1） BE=EFDG _ ADBC AC參考答案:1、過D作DG / BC交AB于DFG和厶EFB相似，a 匹 =DF BEAD, a 匹 二匹 由DG / BC可得 ADG 和厶ACB相似，二AD EFa 匹=匹 由得， 匹二匹EFX BC = AC X DFAD ACEF AC2、過P作PE丄AC于E，PF丄CB于F,貝U CEPF為矩形

11、二 PF/EC.A =/B =45Rt. ：AEPs Rt. ：PFB /. AP : PB 二 PE : PF EC=PFPAPE PEPBPF EC(1) 在 ECP 和：CNM 中：CP丄 MN 于 QQCN.QNC =90 又 v . QCN . QCM =90.MCQ "CNQRt PEC s Rt MCNEP ECCM CN即EPEC（ K 1）（ 2）得PA CMPB CN3、方法一：如圖（1）,設(shè)BC中點(diǎn)為E,連接AE。ABBE=AC=ceABZAEC= NBDC =90戸 ABDC "AECZC ZCCD AC 二 k BC CE "C CDBCCE =1 BC2BC 2 = 2CA CD方法二：如圖（2）,在DA上截取DE=DC。在 BED與厶BCD中,BD_CE 二.BDE ZBDC =90DE 二 DC. BED 三.：BCD= . BEC ZCBD 二 BDAB = AC = ABC ZCACABC 、 BCE二BCBCEC_BC2二 AC EC = 2AC CD方法三：如圖（3）,過B作BE丄BC于B,交CA的延長線于E。AB = AC= . C =. ABC=.E - . ABE =ZC ZE