求向量組的秩與極大無關組(修改整理)

1、-作者xxxx-日期xxxx求向量組的秩與極大無關組(修改整理)【精品文檔】求向量組的秩與最大無關組一、 對于具體給出的向量組，求秩與最大無關組1、求向量組的秩（即矩陣的秩）的方法：為階梯形矩陣【定理】 矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.(三秩相等)把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣A；對矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣B；階梯形B中非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩【例1】 求下列向量組a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.解1：以a,a,a為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣后可求.因為階梯形矩陣

2、的列秩為2，所以向量組的秩為2 解2：以a,a,a為行向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣后可求.因為階梯形矩陣的行秩為2，所以向量組的秩為22、求向量組的最大線性無關組的方法方法1 逐個選錄法 給定一個非零向量組A：a1, a2, an 設a1¹ 0，則a1線性相關，保留a1 加入a2，若a2與 a1線性相關，去掉a2；若a2與 a1線性無關，保留a1 ，a2；依次進行下去，最后求出的向量組就是所求的最大無關組【例2】求向量組：的最大無關組解：因為a1非零，故保留a1 取a2，因為a1與a2線性無關，故保留a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2 ，a3線性

3、相關。所以最大無關組為a1，a2方法2 初等變換法 【定理】 矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，則B的列向量組與A對應的列向量組有相同的線性相關性.證明從略,下面通過例子驗證結(jié)論成立.向量組：a1=(1,2,3)T, a2=(-1,2,0)T, a3=(1,6,6)T由上可得，求向量組的最大線性無關組的方法： （1）列向量行變換把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；對矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣B；A中的與B的每階梯首列對應的向量組，即為最大無關組【例3】求向量組 ：a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T, a3=(1,3,4,-2)T, a4=(4,-3,1,1)T

4、的秩和一個最大無關組, 并把不屬于最大無關組的向量用最大無關組線性表示。解 以a1,a2,a3,a4為列構(gòu)造矩陣A, 并實施初等行變換化為行階梯形矩陣求其秩： 知r(A)=2, 故向量組的最大無關組含2個向量 而兩個非零行的非零首元分別在第1, 2列, 故a1,a2為向量組的一個最大無關組 事實上， 知r(a1,a2)=2, 故a1,a2 線性無關為把a3,a4用a1,a2線性表示, 把A變成行最簡形矩陣 記矩陣B=(b1, b2, b3, b4),因為初等行變換保持了列向量間的線性表出性，因此向量a1,a2,a3,a4與向量b1, b2, b3, b4之間有相同的線性關系。因此a3=2a1-

5、a2, a4=-a1+2a2 【例4】求下列向量組的一個最大無關組，其中：解：以給定向量為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣B 再利用初等行變換，將B再化成行最簡形矩陣C.初等矩陣A, B, C初等變換行作為求秩無關 B 中見線性無關 C 做陪用最大線性無關組表示其它向量的方法為：把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；對矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣B；把階梯形B進行初等行變換化為行最簡形矩陣C；根據(jù)行最簡形矩陣列向量的分量，用最大無關組表示其它向量【例5】 求向量組，的秩和一個最大無關組.解： (1) 當且時，故向量組的秩為3，且是一個最大無關組；(2) 當時，故向量組

6、的秩為3，且是一個最大無關組；(3) 當時，若，則，此時向量組的秩為2，且是一個最大，則，此時向量組的秩為3，且是一個最大無關組.（2）行向量列變換同理, 也可以用向量組中各向量為行向量組成矩陣（即列向量的轉(zhuǎn)置矩陣）, 通過做初等列變換來求向量組的最大無關組?！纠?】 求向量組，的一個最大無關組.解：以給定向量為行向量作成矩陣A，用初等列變換將A化為行最簡形: （行向量列變換）由于的第1，2，4個行向量構(gòu)成的向量組線性無關，故是向量組的一個最大無關組.方法3 線性相關法 （了解）若非零向量組A：a1, a2, an線性無關，則A的最大無關組就是a1, a2, an 若非零向量組A線性相關，則A中必有最大無關組二、對于抽象的向量組，求秩與最大無關組常利用一些有關的結(jié)論，如：1、若向量組()可由向量組()線性表示，則()的秩不超過()的秩2、等價向量組有相同的秩3、秩為的向量組中任意個線性無關的向量都是該向量組的最大無關組【例7】 設向量組的秩為.又設，求向量組的秩.解 法1： 由于，且，所以，故向量組與等價，從而的秩為.解法2： 將看做列向量，則有，其中 可求得0，即可逆，從而可由線性表示，由已知可由線性表示，故這兩個向量組等價，即它們有相同的秩.【例7】設向量組()：和向量組()：的秩分別為和，而向量組()：的秩為.證