概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差

1、 4.2 前面曾提到在檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖前面曾提到在檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長度，還要注意纖維長度與平均長度的偏維的平均長度，還要注意纖維長度與平均長度的偏離程度那么，怎樣去度量這個偏離程度呢？離程度那么，怎樣去度量這個偏離程度呢？ 用用ex e(x)來描述是不行的，因為這時正負來描述是不行的，因為這時正負偏差會抵消；偏差會抵消； 用用e|x e(x)|來描述原則上是可以的，但有絕來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計算；對值不便計算；ex e(x)2來描述隨機變量與均值的偏離程度來描述隨機變量與均值的偏離程度第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 4.2.1

2、 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算定義定義4.3 設(shè)設(shè)x是隨機變量，若是隨機變量，若ex e(x)2存在，存在，則稱其為則稱其為x的的方差方差，記為，記為d(x) (或或var(x)，即，即稱稱 為為x的的標準差標準差 特別地，如果特別地，如果x是離散型隨機變量，分布律為是離散型隨機變量，分布律為 則則如果如果x是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則，則)(xd)(xvar )(2xexe )(xd, 2 , 1, ipxxpii 12)()(iiipxexxd dxxfxexxd)()()(2 將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學期望性質(zhì)可得將方差定

3、義式右端展開，并利用數(shù)學期望性質(zhì)可得 即即 今后我們會經(jīng)常利用這個式子來計算隨機變量今后我們會經(jīng)常利用這個式子來計算隨機變量x的方的方差差d(x).)()(222xexxexe 22)()()(xexexd22)()()(2)(xexexexe 22)()(xexe )()(2xexexd4.2.1 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算【例【例4.13】求例求例4-2中隨機變量中隨機變量x的方差的方差d(x). 解：解：由于由于 1161 所以所以5 . 00102500010110000)(055 pxe 02525220102500010110000)(pxe )(xd75.161

4、05 . 016112 22)()(xexe 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算4.2.1 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算【例【例4.14】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量x服從參數(shù)為服從參數(shù)為（ 0）的泊）的泊松分布，求松分布，求d(x) 解：解：由于由于x的分布律為的分布律為 ，k = 0，1，2，在例在例4-4中已經(jīng)求出中已經(jīng)求出 ，下面計算，下面計算e(x 2)：故故 ekkxpk! )(xe)()1(xexxe 0!)1(kkekkk)1()(2xxxexe ee2 222)!2(kkke 2 )(xd 2222)()(xexe 4.2.1 4.2.1 方差的

5、概念與計算方差的概念與計算【例【例4.15】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 （ 0）的指）的指數(shù)分布，求數(shù)分布，求d(x) 解：解：由于指數(shù)分布的概率密度為由于指數(shù)分布的概率密度為在例在例4-7中已求出中已求出 ，故有故有 其其它它, 00,1)(/xexfx )(xe 012xxde 010122dxxeexxx 012xdex 0121dxexx dxxfxxe )()(22010122dxeexxx201222 xe )(xd2222 22)()(xexe 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算【例【例4.16】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量x服從服從(a，b)上的均

6、勻分布，上的均勻分布，求求d(x) 解：解：由于均勻分布的概率密度為由于均勻分布的概率密度為所以所以 其其它它 , 0 ,1)(bxaabxf2)(baxe badxabxxe22)()(333abab 322aabb 222)2(3)(baaabbxd 12)(2ab 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算【例【例4.17】設(shè)設(shè)(x，y)的概率密度為的概率密度為求求d(x)及及d(y)解：解：記記d：| y | x，0 x 1，如圖，則，如圖，則 , 其其它它, 0| , 10, 1),(xyxyxf 10 xxxdydx ddxdyyxxf),( 1022dxx32 )(

7、xe0),()(10 dxxydydxdxdyyxyfye212),()(10310222 dxxdydxxdxdyyxfxxedxx6132),()(10310222 dxxdydxydxdyyxfyyedxx.61061)( yd22)()()(xexexd ,10132212 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計算方差的概念與計算【例【例4.18】已知隨機變量已知隨機變量x的概率密度為的概率密度為又又e(x) = 0.5，d(x) = 0.15，求，求a，b，c 解：解：由于由于從上面三個方程中可以解得從上面三個方程中可以解得a = 12,b = 12,c = 3 其它其它, 010,

8、)(2xcbxaxxf dxxf)( dxxxfxe)()(345)()()(102222cbadxcbxaxxdxxfxxe 1025 . 0234)(cbadxcbxaxx4 . 0)5 . 0(15. 0)()(22 xexd 102123)(cbadxcbxax4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，則是常數(shù)，則d(c) = 0； (2) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，是常數(shù)，x是隨機變量，則是隨機變量，則 d(cx) = c2d(x)，d(x + c) = d(x)； (3) 設(shè)設(shè)x，y是兩個隨機變量，則有是兩個隨機變量，則有d(x+y) = d(x) + d(y) +

9、2ex e(x)y e(y)；特別，當特別，當x，y是相互獨立的隨機變量時，有是相互獨立的隨機變量時，有 d(x + y) = d(x) + d(y)； (4) d(x) = 0的充要條件是的充要條件是x以概率以概率1取常數(shù)取常數(shù)c，即，即px = c = 14.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，則是常數(shù)，則d(c) = 0；證明：證明： (2) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，是常數(shù)，x是隨機變量，則是隨機變量，則 d(cx) = c2d(x)，d(x + c) = d(x)；證明：證明： 22)()()(cececd 022 cc)()(2cxecxecxd )(22xexce

10、 )()(222xdcxexec )(cxd)()(2cxecxe ).(xd )(2xexe 4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (3) 設(shè)設(shè)x，y是兩個隨機變量，則有是兩個隨機變量，則有 d(x + y) = d(x) + d(y) + 2ex e(x)y e(y)；特別，當特別，當x，y是相互獨立的隨機變量時，有是相互獨立的隨機變量時，有 d(x + y) = d(x) + d(y)；證明：證明：當當x，y是相互獨立的隨機變量時，是相互獨立的隨機變量時， )()()(2yxeyxeyxd )()(2yeyxexe )()(2)()(22yeyxexeyeyexexe )()(2

11、)()(yeyxexeydxd )()(2yeyxexe )()()()()()()( 2yexexeyeyexexye )()()( 2yexexye )()()(ydxdyxd 4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)(4)證明從略證明從略. 由性質(zhì)由性質(zhì)(2)和和(3)容易推廣得到，若容易推廣得到，若x1，x2，xn是相互獨立的隨機變量，是相互獨立的隨機變量， 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 前面例前面例4-3中已經(jīng)用定義求出了二項分布的數(shù)學中已經(jīng)用定義求出了二項分布的數(shù)學期望，現(xiàn)在再用數(shù)學期望和方差的性質(zhì)來求它的期期望，現(xiàn)在再用數(shù)學期望和方差的性質(zhì)來求它的期望和方差。望和方差。 n

12、ccc,21 niiiniiixdcxcd121)()(4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)【例【例4.19】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量x服從二項分布服從二項分布b(n，p)，求，求e(x)和和d(x) 解：解：x可視為可視為n重伯努利試驗中某個事件重伯努利試驗中某個事件a發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)，次數(shù)，p為每次試驗中為每次試驗中a發(fā)生的概率發(fā)生的概率引入隨機變量引入隨機變量xi（i = 1，2，n）：）：則則又又 不不發(fā)發(fā)生生次次試試驗驗中中第第發(fā)發(fā)生生次次試試驗驗中中第第aiaixi, 0, 1nipxppxpii,.,2 , 1,10,1 nxxxx 21),(pnb4.2.2 4.2.2 方

13、差的性質(zhì)方差的性質(zhì)因為因為x1，x2，xn相互獨立，且相互獨立，且由數(shù)學期望和方差的性質(zhì)可得由數(shù)學期望和方差的性質(zhì)可得)1()1(01)()()(22222pppppxexexdiii niinpxexe1)()().1()()(1pnpxdxdnii pppxei )1(01)(4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)【例【例4.20】一機場班車載有一機場班車載有20名乘客自機場開出，名乘客自機場開出，途中有途中有10個車站可以下車，如果到達一個車站沒人個車站可以下車，如果到達一個車站沒人下車則不停車，用下車則不停車，用x表示班車的停車次數(shù)，求表示班車的停車次數(shù)，求x的的數(shù)學期望數(shù)學期望

14、e(x)及標準差（設(shè)每位乘客在各個車站及標準差（設(shè)每位乘客在各個車站下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨立）下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨立） 解：解：依題意，每位乘客在第依題意，每位乘客在第i個車站下車的概率個車站下車的概率均為均為1/10，不下車的概率均為，不下車的概率均為9/10, 則班車在第則班車在第i個個車站不停車的概率為車站不停車的概率為 所以所以.)109(20)10, 2 , 1( i)109(1,10(20 bx4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)從而，從而，),(784. 8)109(1(10)(20次次 xe2020)109)()109(1(10)(

15、 xd次次）(0512. 1)109)()109(1(10)(2020 xd4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)【例【例4.21】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 求求d(x) 解：解：設(shè)設(shè) ，由于，由于 所以所以zn(0，1)，從而，從而又又e(z) = 0，所以，所以故故),(2 n xz )(2ze dzzz)(2 dzezz2222 dzezezz 22222121 110 ),(2 nx101)()()(22 zezezd22)()()( zdzdxd【實驗【實驗4-1】用用excel計算例計算例4-2中隨機變量中隨機變量的數(shù)學的數(shù)學期望與方差期望與方差實驗準備

16、：實驗準備： 函數(shù)函數(shù)sumproduct的使用格式：的使用格式：sumproduct(array1,array2,array3, .) 功能功能：返回多個區(qū)域：返回多個區(qū)域array1,array2,array3, . 對對應(yīng)數(shù)值乘積之和應(yīng)數(shù)值乘積之和x x1000010000500050001000100010010010100 0p pi i1/101/105 52/102/105 510/1010/105 5100/10100/105 51000/101000/105 5p p0 0 實驗步驟：實驗步驟： ( 1) 整理數(shù)據(jù)如圖整理數(shù)據(jù)如圖4-2左所示左所示 圖圖4-2 計算數(shù)學期望計

17、算數(shù)學期望 (2) 計算計算e(x)，在單元格，在單元格b8中輸入公式：中輸入公式：= sumproduct(a2:a7, b2:b7)得到期望得到期望e(x)如圖如圖4-2右所示右所示 (3) 為了計算方差，首先計算為了計算方差，首先計算xi e(x)2，在單元格，在單元格c2中輸入公式：中輸入公式：= (a2-b$8)2并將公式復制到單元格區(qū)域并將公式復制到單元格區(qū)域c3:c7中，如圖中，如圖4-3左所示左所示 圖圖4-3 計算方差計算方差 ( 4 ) 計 算 方 差 ， 在 單 元 格計 算 方 差 ， 在 單 元 格 b 9 中 輸 入 公 式 ：中 輸 入 公 式 ： = sumpr

18、oduct(c2:c7, b2:b7)即得計算結(jié)果如圖即得計算結(jié)果如圖4-3右所示右所示).,(?,)(,.,.,均均為為已已知知設(shè)設(shè)應(yīng)應(yīng)生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少件件產(chǎn)產(chǎn)品品最最大大要要獲獲得得利利潤潤的的數(shù)數(shù)學學期期望望問問若若的的指指數(shù)數(shù)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為件件預預測測銷銷售售量量他他們們再再者者元元的的損損失失而而積積壓壓一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品導導致致元元可可獲獲利利他他們們估估計計出出售售一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品定定該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的產(chǎn)產(chǎn)量量并并試試圖圖確確產(chǎn)產(chǎn)品品市市場場某某公公司司計計劃劃開開發(fā)發(fā)一一種種新新nmynm 【建模實例】【建模實例】解解:的的函函數(shù)數(shù)是是銷銷售售量量件件時時獲獲利利生生產(chǎn)產(chǎn)yqx .,),()(xymxxyyxnmyyqq若若若若(1) 建立概率模型建立概率模型yyfyqqeyd)()()( ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx 因為因為的概率密度為的概率密度為, 0. 0, 0, 0,e1)( yyyfyyyeyqxd1)(0 .,),()(xymxxyyxnmyyqq若若若若所以所以).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmqex又又.)(,)ln(