信號(hào)分析與處理第4章-1a

1、1第第4章章 離散時(shí)間信號(hào)的分析離散時(shí)間信號(hào)的分析 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 4.3 4.3 離散信號(hào)的傅里葉分析離散信號(hào)的傅里葉分析 第第4章章 離散時(shí)間信號(hào)的分析離散時(shí)間信號(hào)的分析信號(hào)分析與處理信號(hào)分析與處理2第第4章章 離散時(shí)間信號(hào)的分析離散時(shí)間信號(hào)的分析 數(shù)字信號(hào)處理是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的一門科學(xué)。離數(shù)字信號(hào)處理是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的一門科學(xué)。離散時(shí)間信號(hào)處理技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理技術(shù)，而且還可以實(shí)散時(shí)間信號(hào)處理技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理技術(shù)，而且還可以實(shí)

2、現(xiàn)原來連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)不可能實(shí)現(xiàn)的功能?，F(xiàn)原來連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)不可能實(shí)現(xiàn)的功能。為了對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行處理，必然要先把連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)為了對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行處理，必然要先把連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)，如果需要還要把離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。本章將間信號(hào)，如果需要還要把離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。本章將對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域采樣和恢復(fù)問題進(jìn)行較詳細(xì)的討論。對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域采樣和恢復(fù)問題進(jìn)行較詳細(xì)的討論。離散時(shí)間信號(hào)的分析也像連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析一樣，包括時(shí)域分析、離散時(shí)間信號(hào)的分析也像連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析一樣，包括時(shí)域分析、頻域分析和復(fù)頻域分析。頻域分析和復(fù)頻域分析。 在時(shí)域內(nèi)分析信號(hào)是將離

3、散時(shí)間信號(hào)表示成單位脈沖信號(hào)的加權(quán)和。在時(shí)域內(nèi)分析信號(hào)是將離散時(shí)間信號(hào)表示成單位脈沖信號(hào)的加權(quán)和。 在復(fù)頻域分析信號(hào)則是將離散時(shí)間信號(hào)表示為復(fù)指數(shù)信號(hào)（這里）的加權(quán)和，從在復(fù)頻域分析信號(hào)則是將離散時(shí)間信號(hào)表示為復(fù)指數(shù)信號(hào)（這里）的加權(quán)和，從而引入了而引入了Z變換。變換。 在頻域內(nèi)分析信號(hào)是將離散時(shí)間信號(hào)表示為虛指數(shù)信號(hào)的加權(quán)和，這就是離散信在頻域內(nèi)分析信號(hào)是將離散時(shí)間信號(hào)表示為虛指數(shù)信號(hào)的加權(quán)和，這就是離散信號(hào)的傅里葉分析，它包括非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換號(hào)的傅里葉分析，它包括非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換DTFT和周期信號(hào)的離散和周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)DFS。 34.1 4.

4、1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)處理模擬信號(hào)需要將模擬信號(hào)經(jīng)過采樣和用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)處理模擬信號(hào)需要將模擬信號(hào)經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號(hào)，再采用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理量化編碼形成數(shù)字信號(hào)，再采用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，這種處理方法稱為模擬信號(hào)完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，這種處理方法稱為模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。問題是：數(shù)字處理方法。問題是：采樣信號(hào)的頻譜能否反映原模擬信號(hào)的頻采樣信號(hào)的頻譜能否反映原模擬信號(hào)的頻譜？如何將數(shù)字信號(hào)恢復(fù)為模擬信號(hào)？譜？如何將數(shù)字信號(hào)恢復(fù)為模擬信號(hào)？本節(jié)主要從理論上回答這兩本

5、節(jié)主要從理論上回答這兩個(gè)問題，介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。個(gè)問題，介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。 4.1.1 采樣定理采樣定理 1. 周期單位沖激串的傅里葉變換周期單位沖激串的傅里葉變換 第第4章章 離散時(shí)間信號(hào)的分析離散時(shí)間信號(hào)的分析1）定義：定義： 周期單位沖激串：把位于周期單位沖激串：把位于t=0處的單位沖激函數(shù)以處的單位沖激函數(shù)以T周期延周期延拓。（狄拉克梳狀函數(shù)或理想采樣函數(shù)）拓。（狄拉克梳狀函數(shù)或理想采樣函數(shù)） nnTttp)()( 4p(t)是周期函數(shù)，可以表示成傅立葉級(jí)數(shù)，即是周期函數(shù)，可以表示成傅立葉級(jí)數(shù)，即 ktkkPtp0je)( T20 采樣角頻率，單位是弧度采樣角頻率，單位是弧

6、度/秒秒4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 4.1.1 采樣定理采樣定理 1. 周期單位沖激串的傅里葉變換周期單位沖激串的傅里葉變換 2）傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)TttTTTtk1de )(122j0 即即 ktkTtp0je1)( 上式表明，單位沖激上式表明，單位沖激函數(shù)函數(shù)串的串的傅里葉傅里葉級(jí)數(shù)中，只包級(jí)數(shù)中，只包含位于含位于,2, 0000 k tnTtTttpTPtkTTtTTkde )(1de )(10jn22j22 處的頻率分量，每個(gè)頻率分處的頻率分量，每個(gè)頻率分量的大小相等且都等于量的大小相等且都等于T15()Pp(t)的的傅里葉傅里葉變換為變換為 000

7、2()()kkkkT kk)(00 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 4.1.1 采樣定理采樣定理 1. 周期單位沖激串的傅里葉變換周期單位沖激串的傅里葉變換 3）傅立葉變換傅立葉變換p(t)的的傅里葉傅里葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)pk及及傅里葉傅里葉變換變換P()如圖如圖4-1 (b)和和(c)所示。單位沖所示。單位沖激激函數(shù)函數(shù)串的串的傅里葉傅里葉變換是強(qiáng)度等于變換是強(qiáng)度等于0的的沖激串沖激串。 圖圖4-1 單位沖激函數(shù)串的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換單位沖激函數(shù)串的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換 62、理想采樣信號(hào)的頻譜、理想采樣信號(hào)的頻譜 1） 理想理想采采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述：樣信號(hào)的數(shù)學(xué)

8、描述：如圖如圖4-2所示，所示，p(t)為單位沖激函數(shù)為單位沖激函數(shù)串，串，x(t)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，它們的乘積為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，它們的乘積xs(t)= x(t) p(t)稱為稱為x(t)的的采采樣樣信號(hào)，信號(hào)，xs(t)中各沖激強(qiáng)度構(gòu)成的序列則為中各沖激強(qiáng)度構(gòu)成的序列則為x(t)在在t=nT時(shí)刻的樣本時(shí)刻的樣本xa(nT) 。 nsnTttxtptxtx)()()()()( 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 4.1.1 采樣定理采樣定理 圖圖4-2 理想采樣理想采樣 7對(duì)上式兩邊取傅里葉變換，根據(jù)頻域卷積定理對(duì)上式兩邊取傅里葉變換，根據(jù)頻域卷積定理 )(*)(21)(

9、)(F)(S PXtptxX STSSS22Tf 為為采采樣間隔，樣間隔，采采樣角頻率為樣角頻率為 kkXT)(1SS s( )()2skXk 4.1.1 采樣定理采樣定理 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 2） 理想采樣信號(hào)的頻譜理想采樣信號(hào)的頻譜2、理想采樣信號(hào)的頻譜、理想采樣信號(hào)的頻譜 采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期性延拓。采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期性延拓。81 1）頻譜混疊：）頻譜混疊：當(dāng)當(dāng) s/2/2M時(shí)，時(shí)，這種情況下采樣信號(hào)的頻譜完整的這種情況下采樣信號(hào)的頻譜完整的保留了的頻譜，保留了的頻譜，不會(huì)發(fā)生頻譜重疊。不會(huì)發(fā)生頻譜重疊。當(dāng)當(dāng)

10、 s/2/22M的條件，這種情況下的條件，這種情況下X()在延拓的過程中在延拓的過程中加權(quán)系數(shù)不為恒定值，而是加權(quán)系數(shù)不為恒定值，而是逐漸衰減，逐漸衰減，如圖如圖4-8所示。但這種情況所示。但這種情況下也能夠無失真地恢復(fù)原信號(hào)下也能夠無失真地恢復(fù)原信號(hào)x(t)。 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 4.1.3 實(shí)際采樣與理想采樣的差別實(shí)際采樣與理想采樣的差別 164.1.4 離散時(shí)間信號(hào)的表示形式離散時(shí)間信號(hào)的表示形式 1. 直接表示法直接表示法 1)集合表示法：集合表示法：逐個(gè)列出逐個(gè)列出x(n)的序列值的序列值 2）函數(shù)表示法：）函數(shù)表示法： x(n)可以寫成一般

11、閉合形式的表達(dá)式，例如可以寫成一般閉合形式的表達(dá)式，例如 (-1), 3 ( )0, nnnx nn為其他0( )3, 2,1, 0, 1,2, 3nx n4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 3）圖形表示法）圖形表示法172. 單位樣值序列加權(quán)和表示單位樣值序列加權(quán)和表示 1）單位樣值序列用）單位樣值序列用(n)表示，定義為表示，定義為 10( )00nnn4.1.4 離散時(shí)間信號(hào)的表示形式離散時(shí)間信號(hào)的表示形式 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 2）右移）右移m點(diǎn)的單位樣值序列（點(diǎn)的單位樣值序列（如圖如圖4-12所示）所示）為為 1()0

12、nmnmnm圖圖4-11 單位樣值序列單位樣值序列 圖圖4-12 右移右移m點(diǎn)的單位樣值序列點(diǎn)的單位樣值序列 183)考慮所有樣點(diǎn)，考慮所有樣點(diǎn)，序列序列x(n)可表示為可表示為 ( )( ) ()mx nx mnm上式說明，任一序列可用不同加權(quán)并移位的樣值序列表示。例如，上式說明，任一序列可用不同加權(quán)并移位的樣值序列表示。例如，序列序列 3( ) 3210123nx n也可表示為也可表示為 ( )3 (3)2 (2)(1)(1)2 (2)3 (3)x nnnnnnn4.1.4 離散時(shí)間信號(hào)的表示形式離散時(shí)間信號(hào)的表示形式 4.1 4.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣 2. 單

13、位樣值序列加權(quán)和表示單位樣值序列加權(quán)和表示 19 在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過一種稱為微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過一種稱為z變變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程與卷積和轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程與卷積和轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 4.2.1 z變換的定義變換的定義 1. 抽樣信號(hào)的拉氏變換抽樣信號(hào)的拉氏變換 取樣信號(hào)取樣信號(hào)xS(t)可寫成可寫成連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x (t

14、)乘以沖激序列乘以沖激序列 ，即，即( )( )( )( )()() ()SSTSSSnnxtx ttx ttnTx nTtnT取上式的雙邊拉氏變換，考慮到取上式的雙邊拉氏變換，考慮到 ( )STt ()snsTSLtnTe( )( )()snsTSSSkXsL xtx nT e得得第第4章章 離散時(shí)間信號(hào)的分析離散時(shí)間信號(hào)的分析20 nnznxnxzX)()()(2. 雙邊雙邊z變換：變換：上式是復(fù)變量上式是復(fù)變量z的函數(shù)。的函數(shù)。3. 單邊單邊z變換：變換： 0)()()(nnznxnxzXssTze1lnSszT( )( )SXsX z令令，或，或，則，則這樣拉普拉斯變換式就可以變成另一

15、復(fù)變量這樣拉普拉斯變換式就可以變成另一復(fù)變量z的變換式，即的變換式，即 ( )()( )sTsnnSz ennX zx nTzx n z當(dāng)定義式中當(dāng)定義式中n的取值范圍為的取值范圍為 n0時(shí)時(shí),雙邊雙邊z變換的定義式就變成了單邊變換的定義式就變成了單邊z變換的定義式了。變換的定義式了。4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 4.2.1 z變換的定義變換的定義 211.z1.z變換存在的條件變換存在的條件z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即 nnnxz)(時(shí)，其時(shí)，其z變換才存在。上式稱為變換才存在

16、。上式稱為絕對(duì)可和條件絕對(duì)可和條件，它是序列，它是序列x(n)的的z變變換存在的換存在的充分必要條件充分必要條件。 2. z2. z變換的收斂域變換的收斂域 1)定義：滿足存在條件的所有定義：滿足存在條件的所有z值組成的集合稱為值組成的集合稱為z變換的收斂域。變換的收斂域。簡(jiǎn)簡(jiǎn)記為記為ROC（Region of Convergence）。）。 21|z|rr 4.2.2 Z變換的收斂域變換的收斂域 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 222）舉例：）舉例： 試根據(jù)試根據(jù)Z變換收斂域的定義指出下列序列的收斂域。變換收斂域的定義指出下列序列的收斂域。 1(0),( )(

17、0)0,nnax nn(1) (2) 20,(0)( ), (0)nnx nan解：根據(jù)等比級(jí)數(shù)的求和方法，可求得序列的解：根據(jù)等比級(jí)數(shù)的求和方法，可求得序列的Z變換為變換為 1| 111101( )( )1aznnnnnzXzx n za zazzaX1(z)的的ROC為為 |az 1|1az，即，即110122| 1110( )( )1()11()11nnnnnnnaznnXzx n za zazza za zza 4.2.2 Z變換的收斂域變換的收斂域 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 X2(z)的的ROC為為 ，即，即1|1za|az 2. z2. z變換

18、的收斂域變換的收斂域 23 要描述一個(gè)序列的要描述一個(gè)序列的Z變換，必須包括變換，必須包括Z變換的表達(dá)式和變換的表達(dá)式和Z變換的收斂變換的收斂域域ROC兩個(gè)部分。兩個(gè)部分。 由上例可以看出，由上例可以看出，同一個(gè)同一個(gè)z變換函數(shù)，收斂域不同，其對(duì)應(yīng)的序列變換函數(shù)，收斂域不同，其對(duì)應(yīng)的序列是不相同的是不相同的。2. z2. z變換的收斂域變換的收斂域 3 3） 結(jié)論結(jié)論4.2.2 Z變換的收斂域變換的收斂域 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 3 3 序列特性對(duì)收斂域的影響序列特性對(duì)收斂域的影響 可以看出因果序列的收斂域包括可以看出因果序列的收斂域包括z=點(diǎn)。點(diǎn)。n1

19、0， n20時(shí)，時(shí)， 0|z | n10時(shí)，時(shí)， 00時(shí)，時(shí)， 0 |z | 1. 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列 其它其它0,),()(21nnnnxnx收斂域表示如下：收斂域表示如下：242）. 右邊序列右邊序列 右邊序列是在右邊序列是在nn1時(shí)，時(shí)， 序列值不全為零，序列值不全為零， 而而nn1時(shí)，時(shí)， 序列值全為零的序列。序列值全為零的序列。n10， 其收斂域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)閞1 |z| (2) n10，收斂域?yàn)?，收斂域?yàn)閞1 n2， 序列值全為零的序列。序列值全為零的序列。 左邊序列的左邊序列的z變換表示為變換表示為(1) n20，收斂域?yàn)?，收斂域?yàn)?|z| r2 。(2) 如果如果n2 0, 收

20、斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?|z| r2 。 4. 雙邊序列雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，之和，若若z變換存在，其收斂域?yàn)樽儞Q存在，其收斂域?yàn)閞1 |z| r2 ，這是一個(gè)環(huán)狀域。，這是一個(gè)環(huán)狀域。也可能也可能X(z)不存在（不存在（r2 r1）254.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 1. 1. 單位脈沖序列單位脈沖序列(n)（也稱為單位采樣序列）（也稱為單位采樣序列） 0001)(nnn， 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 根據(jù)雙邊根據(jù)雙邊Z變換的定義式變換的定義式 1zz)()(Z0

21、 nnnn (a)單位脈沖序列；單位脈沖序列； (b)單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào) 262. 2. 單位階躍序列單位階躍序列(n) 0001)(nnn， 2）(n)與與(n)的關(guān)系的關(guān)系: :(n) = (n) (n-1) 0)()(mmnn 圖圖4-13 單位階躍序列單位階躍序列 反因果階躍序列反因果階躍序列(-n-1)如圖如圖4-14所示。所示。 圖圖4-14 反因果階躍序列反因果階躍序列 單位階躍序列單位階躍序列(n)如圖如圖4-13所示。所示。4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 1）定義）定義273 3）單位階躍序

22、列）單位階躍序列(n)的的z變換：變換：1zzz11zz)()(Z100 nnnnnn ) 1|(|z2. 2. 單位階躍序列單位階躍序列(n)4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 3. 3. 矩形序列矩形序列RN (n) nNnnRN其它其它，01-01)(N稱為矩形序列的長(zhǎng)度。當(dāng)稱為矩形序列的長(zhǎng)度。當(dāng)N=4=4時(shí)，時(shí)，R( (n) )的波形如圖所示。的波形如圖所示。 10)()()()(NmNmnNnnnR 2）矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：）矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：1）定義）定義283 3）矩

23、形序列）矩形序列RN (n)的的Z變換為變換為 1101( )(0 |)1NNnNnzZ Rnzzz 4. 指數(shù)序列指數(shù)序列 (1) (1) 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列)()(nuanxn ， a為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) 如果如果|a|1， x(n)的幅度隨的幅度隨n的增大而增大，則稱為發(fā)散序列。的增大而增大，則稱為發(fā)散序列。單邊實(shí)指數(shù)序列的單邊實(shí)指數(shù)序列的Z變換為變換為 100Z( )()nnnnnnaana zazza|)|(|az 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 3. 3. 矩形序列矩形序列RN (n)29式中式中0 為數(shù)字角

24、頻率，當(dāng)為數(shù)字角頻率，當(dāng)=0=0時(shí)，稱為虛指數(shù)序列時(shí)，稱為虛指數(shù)序列，虛指數(shù)序列，虛指數(shù)序列是以是以2為周期的周期序列為周期的周期序列:(2) (2) 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列nnx)j(0e)( 單邊虛指數(shù)序列的單邊虛指數(shù)序列的Z變換變換: 00jnjzZ eze|)|(|az 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 4. 指數(shù)序列指數(shù)序列 |)|(|az 30)sin()(nnx 式中式中稱為正弦序列的數(shù)稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位是弧度。字角頻率，單位是弧度。5. 5. 正弦序列正弦序列)sin()sin(| )sin

25、(| )()(nnTttxnxnTtnTta 因此，數(shù)字角頻率因此，數(shù)字角頻率與模擬角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 T 2)數(shù)字角頻率數(shù)字角頻率與模擬角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系之間的關(guān)系 1)1)定義定義4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 310( )sin()x nAn（2）正弦序列是周期序列的條件）正弦序列是周期序列的條件)(sin)(sin)(000 NnANnANnx（1）周期序列的定義為：如果存在一個(gè)最小的正整數(shù)）周期序列的定義為：如果存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使序列，使序列x(n)=x(n+N)

26、，-n，則序列，則序列x(n)是周期序列，周期為是周期序列，周期為N。設(shè)任意正弦序列為設(shè)任意正弦序列為 顯然，滿足顯然，滿足 0N=2 k時(shí)，時(shí)，x(n) = x(n+N)，正弦序列為正弦序列為周期序列，周期序列，N、k為正整數(shù)。為正整數(shù)。因此，正弦序列是周期序列的條件是：因此，正弦序列是周期序列的條件是：2/0 =N/k為有理數(shù)（整數(shù)和為有理數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）。分?jǐn)?shù)）。 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 5. 5. 正弦序列正弦序列3）正弦序列的周期性）正弦序列的周期性321）當(dāng)）當(dāng)2/0為整數(shù)時(shí)，為整數(shù)時(shí)，k=1，

27、正弦序列是以，正弦序列是以2/0為周期的周期序?yàn)橹芷诘闹芷谛蛄?。例如列。例如sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，該正弦序列周期為，該正弦序列周期為16。2）當(dāng)）當(dāng)2/0為分?jǐn)?shù)時(shí)，設(shè)為分?jǐn)?shù)時(shí)，設(shè)2/0 =N/k，式中，式中N、k是互為素?cái)?shù)（意是互為素?cái)?shù)（意思是不可約分）的正整數(shù)，則正弦序列是以思是不可約分）的正整數(shù)，則正弦序列是以N為周期的周期序列。為周期的周期序列。例如例如sin(3/7) n，0 = 3/7， 由于由于2/0= 14/3為有理數(shù)，故它的周為有理數(shù)，故它的周期為期為N= 14。3）當(dāng)）當(dāng)2/0是無理數(shù)（不循環(huán)的無限小數(shù)），任何整數(shù)是無理數(shù)（不循環(huán)的無限小數(shù)），任何

28、整數(shù)k都不能使都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 5. 5. 正弦序列正弦序列3）正弦序列的周期性）正弦序列的周期性331.1.線性線性 4.2.4 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 設(shè)設(shè) x(n) X(z) ,Rx-|z|Rx+ y(n) Y(z）, Ry- |z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n) 則則 M(z)= aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ Rm+=min Rx+, Ry+ Rm-=max Rx

29、-, Ry-其收斂域是其收斂域是X(z) 與與Y(z)收斂域的公共部分。收斂域的公共部分。4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 34例例4-2 求序列求序列( )(1)nnanan的的Z變換。變換。 解解 ( )nzZ anza11(1)nnnaZ ana zza| |za收斂域收斂域( )(1)1nnzaZ ananzaza4.2.4 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 3510( )cos() ( )x nnn20( )sin() ( )x nnn例例4-3 求單邊余弦序列求單邊余弦序列和單邊正弦序列和單邊正弦序

30、列的的Z變換。變換。 解解 余弦和正弦序列可分別用復(fù)指數(shù)序列表示為余弦和正弦序列可分別用復(fù)指數(shù)序列表示為 00jj01cos() ( )ee( )2nnnnn 00jj01sin() ( )ee( )2nnnnnj 由于復(fù)指數(shù)序列的由于復(fù)指數(shù)序列的Z變換為變換為 00jje( )enznz00jje( )enznz 4.2.4 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 36則余弦序列的則余弦序列的Z變換為變換為 1)cos(2)cos(ee21)(0202jj00zzzzzzzzzX即即 20020cos()cos() ( )2cos()1zznn

31、zz同理可求出正弦序列的同理可求出正弦序列的Z變換為變換為 0020sin()sin() ( )2cos()1znnzz372.2.移位（移序）特性移位（移序）特性 對(duì)于因果序列對(duì)于因果序列 設(shè)設(shè)x(n) X(z) ， r1 |z| r2 則則x(n-n0) z-n0 X(z)，r1 |z| r2利用此性質(zhì)，可以把時(shí)域的差分方程變換為利用此性質(zhì)，可以把時(shí)域的差分方程變換為z域的代數(shù)方程，可以大域的代數(shù)方程，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。大簡(jiǎn)化計(jì)算。 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 x(n-1) z-1 X(z)x(n-2) z-2 X(z)x(n-3) z-3 X(z)4.

32、2.4 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 38( )1n( )n(1)n例例4-4 已知已知，利用移位性質(zhì)求，利用移位性質(zhì)求和和的的Z變換。變換。 解解 樣值序列樣值序列與階躍序列的關(guān)系為與階躍序列的關(guān)系為 ( )( )(1)nnn( )1n1(1) ( )nz Zn對(duì)上式兩邊取對(duì)上式兩邊取Z變換，由于變換，由于，故，故 1(1) ( )1zZn則則 11 ( )11zZnzz根據(jù)移位性質(zhì)根據(jù)移位性質(zhì) 11 (1) ( )1Znz Znz4.2.4 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 393. z域微分性質(zhì)域微分性質(zhì) （序列乘以（序列乘以n）d( )z

33、(z)dznx nX 則若若 x(n) X(z) ，r1 |z| r2， r1 |z| r24.2.4 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 ( )nnan22dZ( )( )d()()naaznanzX zzzzaza ( )nnan( )( )r nnn2Z ( )(1)zr nz例例4-5 已知已知，求序列，求序列的的Z變換。變換。解解 利用利用z域微分性質(zhì)可得域微分性質(zhì)可得當(dāng)當(dāng)a=1時(shí)，時(shí)，即為斜變序列即為斜變序列，因此，因此( )Z( )nzX zanza404. z域尺度變換域尺度變換設(shè)設(shè) x(n) X(z) ，r1|z| r2(

34、)()nza x nXa|a| r1|z| |a| r2則則5. 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 設(shè)設(shè) w(n)=x(n)*h(n) x(n) X(z )，R x-|z| R x+ h(n) H(z ) , R h-|z| R h+則則 W(z)= X(z)H(z)， Rw- |z |r1，即，即x(n)是右邊序列是右邊序列(因果序列因果序列)， X(z)應(yīng)展成應(yīng)展成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，的負(fù)冪級(jí)數(shù)，則則N(z)和和D(z)要按照要按照z的降冪（或的降冪（或z-1的升冪）次序進(jìn)行的升冪）次序進(jìn)行排列。排列。 如果收斂域是如果收斂域是|z|2和和|z|2，是因果序列。，是因果序列。將將X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的降冪排列，用長(zhǎng)除法有的降冪排列，用長(zhǎng)除法有 1231211-23-23-234 515351 325 51510 1510154530 zzzzzzzzzzzzzz34 3530zz4.2.5 逆逆Z變換變換 4.2 4.2 離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間信號(hào)的z z域分析域分析 1.1.冪級(jí)數(shù)展開法冪級(jí)數(shù)展開法 （2）長(zhǎng)除法）長(zhǎng)除法46則則 123( )51535X zzzzn=1( )5, 15, 35,x n（2）收斂域）收斂域|z|1，是反因果序列。，是反因果序列。 將將X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的升冪排列，即的升冪排列，即 1325)(121zz