1.1n階行列式的定義(精)

1、（3）1.11.1兀階行列式的定義1 1 丄 1 1 二、三階行列式定義 引例用消元法解二元線性方程組a an nx xx xaai2i2x x2 2=b=bi9i9(1)+。22兀2=方2 (？)（嘰22 a an na a2222x x 4|a12a22x2=b=b a a229229（2）xai2:尹21兀1尹22兀2=方尹12,兩式相減消去?！钡?尹21）“ =方1“22 。102；類似地，消去占，得（002，| | ）cici7j）x x7cici| |bcibci當a an na a2222-a-a2i2i 0 0 時，方程組的解為21，由方程組的四個系數(shù)確定.= = a an n

2、a a2222-a-ai i：flfl2i2i. .若記定義把代數(shù)式 角2 1021記做a21a22日n12因=1122一1尹21 a2a22稱上式左邊為二階行列式，右邊為二階行 列式按對角線展開式；橫排為行，豎排為 列。二階行列式的計算一對角線法則對于二元線性方程組系數(shù)行列式ClClililX Xi i+。12兀2 =。21兀1 +“22兀2=“221rni+i22=pri21兀1 +22兀2則二元線性方程組的解為b,b,b b2 2a2a22注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.= -14.例1求解二元線性方程絞3 2解D=D=3-(-4) =70,2 112Di = F定義 設有9個數(shù)排成

3、3行3列的數(shù)表記aia2a22a31a32( (6)式稱為數(shù)表(5)所確定的三階行列式.322=14, Z2=21,= -14.對角線法則= aHa22a33+122/31+皿2角2132231122133112332*注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號.說明對角線法則只適用于二階與三階行列式.12 -4例2計算三階行列式D= -2 21-3 4 -2解按對角線法則，有D D= lx2x (2) + 2xlx (3) + (4) x (2) x 4 1x1x4 2x (2) x (-2) (4) x2x (3)=一6 + 32 4一8 24例3求解方程2 3 x =

4、0.49 x2解方程左端P = 3X2+4X+ 18-9X-2X2-12=x2 5x + 6,由/ 5兀+6 = 0解得X = 2或兀=3 利用三階行列式求解三元線性方程組fljjXj+。12兀2+。13兀3= = b b如果三元線性方程組+a”兀，兀a= = b b311+322+333=3；1,2,= -14.的系數(shù)行列式 D =Q；1311.1.2排列定義 把n個數(shù)1，2,，n排成一列，叫做這n個數(shù)的 全排列（或排列）例如1234,3241,4123等都是排列.n個數(shù)的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.顯然P P；：；： = = ngngl)?(n 2)鬃3鬃1 =!2LDD則三元線性方程組

5、的解為:2D D排列的逆序數(shù)我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序，n個 不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序.定義 在一個排列Q Q花7 7 中，若數(shù)i it t i is s則稱這兩個數(shù)組歳一個逆序例如排列32514中，逆序vCM逆序逆序定義 一個排列和2 2譏中所有逆序的總數(shù)稱為 此排列的逆序數(shù)記做P（訛2 譏） 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.計算排列逆序數(shù)的方法方法1分別計算出排在1,2,前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出1,2,-l,n這/個數(shù)的逆序數(shù)，這些數(shù)字的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).例1排列32514中，每一個數(shù)的逆序數(shù)分別為001I1I32 5 1

6、 4I I1逆序數(shù)為3故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.方法2分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼 個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)， 這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆 序數(shù).例2求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中，3排在首位，逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;1:11的前面比1大的數(shù)有3個，故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個，故逆序數(shù)為1;于是排列32514的逆序數(shù)為t t= 0 + 1 + 0 + 3 +1= 5.偶性.(1) 217986354( (2) )一咲 一2) )321解217986354I I 1 I I I I

7、 I I0 10013 445r=5+4 +4 + 3 + 1 + 0 + 0 + 1 + 01:1此排列為偶排列.(2) n(n-lXn-2) . 321解f = S 1) +( 一2) )+ + 2 +1_ 心一1) -2，當n=4k,4k+ln=4k,4k+l時為偶排列；當/1=4花+2,4比+3時為奇抖乍列.定義 如果把一個排列中的任意兩個數(shù)字對換，就 得到一個新排列，我們把這樣一個變換稱為對換 定理1設訃2匚和久厶九是由1,2,山構(gòu)成 的任意兩個排列， 則總可以由一系列對換將其中 一個變?yōu)榱硪粋€.定理2每一個對換改變排列的奇偶性.定理3設n個元素的乘積% 中i i禹和JJJJ2 2h

8、 h分別是兩個排列，如果根據(jù)乘法交換 律把叫”寫成訊也叫其中 也匕和“2人都是排列，則( (-ir（屮2打）切（丿2幾）=（-1嚴險匕）切（/2J）例利用逆序數(shù)，三階行列式有以下公式11ai2ai3“21。22。23 =( ( 1丫) )41禺2233+( ( 1嚴) )1023“31a31“32“33+( lZ( (312)a13a21a32+(- l)p(321)a13a22a31+(- 1嚴幺也角3 +(- 1嚴叫莊23吆ailai2ai3a2ta22a23a31a32331 1 3比階行列式定義定文由滬個數(shù)組成的n階行列式等于所有取 自不同行不同列的個元素的乘積的代簡記作det(a.

9、)或1 鳴CM叫 g.記作數(shù)和a( (IF%JJ數(shù)島稱為行列式det(a,)的元素.其中PiPPiP2 2-P-Pn n是自然數(shù)L2, .,n n的一個排列,D為這個排列的逆序數(shù).說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而 定義的；2、n n階行列式是加項的代數(shù)和;3、n階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積；4、 一階行列式14 =a a不要與絕對值記號相混淆;5、叫 的符號為（1嚴心例1計算對角行列式O O 10 0 2 003004000解分析展開式中項的一般形式是 宀/34必若Pi工4 =a a = =0,從而這個項為零， 所以刃只能等于4,同理可得卩2=3,卩3=2皿=1即行列式中不為零的項為4皿23“32。41 OOOOOOOOO4 OOO=(-1嚴1 2 3 4= 24.計算上三角行列式解分析展開式中項的一般形式是。5叫2” PnPn = = n,n, p