初一奧數(shù)“設(shè)而不求”的未知數(shù)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第九講“設(shè)而不求”的未知數(shù)讓我們先看一道簡單的數(shù)學(xué)題三角形的面積解 設(shè)這個三角形的斜邊長度為 c，因為斜邊上的中線長是 1，所以斜邊長 c=2再設(shè)兩條直角邊的長度是 a，b，面積是 S，那么a2+b2 +2ab=6 把，代入式得4+4S=6，在這個題目中，只要求出未知數(shù) S 的值，而我們卻設(shè)了三個未知數(shù)： a，b，S，并且在解題過程中，我們也根本沒求 a，b 的值但是由于增設(shè)了 a，b 后，給我們利用等量關(guān)系列方程及方程組求 S 的值，帶來了很大的便利，像這種未知數(shù) ( 如 a，b) 就是本講所要介紹的“設(shè)而不求”的未知數(shù)所謂“設(shè)而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻?/p>

2、決問題增設(shè)的一些參數(shù)，它能起到溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用例 2 若求 x+y+z 的值分析 已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時，往往引進(jìn)一個比例參數(shù)來表示這個連比解 令則有x=k(a -b) ， y=k(b -c) ， z=k(c -a) ，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載所以x+y+z=k(a -b)+k(b -c)+k(c -a)=0，所以 x+y+Z=0 說明 本例中所設(shè)的 k，就是“設(shè)而不求”的未知數(shù)例 3 已知 p， q，r 都是 5 的倍數(shù)， r q p，且 r=p+10，試求解 不妨設(shè) p=5k1，q=5k2，r=5k 3，由題意可知， k1， k2 ，k3 都是整數(shù)因為 r

3、qp，所以 k3 k2k1又因為r=p+10，所以 5k 3 =5k1 +10，k3=k1+2， 所以 k 1+2k2 k1 ，所以 k 2=k1+1 將，代入所求的代數(shù)式得說明 本題中 k1 ， k2 ，k3 均是“設(shè)而不求”的未知數(shù)a1，并且設(shè)分子： n-13=ak1，分母： 5n+6=ak2其中 k1 ，k2 為自然數(shù)由得 n=13+ak1，將之代入得5(13+ak1 )+6=ak 2，即71+5ak1=ak2 ，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載所以a(k-5k )=7121由于 71 是質(zhì)數(shù)，且 a1，所以 a71，所以1n=k ·71+13故 n 最小為 84例 5 甲、乙、丙、丁四人

4、，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29，23，21 和 17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？解 設(shè)四個人的年齡分別記為a，b，c，d，根據(jù)題意有由上述四式可知比較，知，d 最大， c 最小，所以 -得所以 d-c=18，即這四個人中最大年齡與最小年齡的差為18說明 此題不必求出 a，b，c，d 的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰，作差即可求解例 6 設(shè)有 n 個數(shù) x1， x2 ， xn ，它們的值只能是0，1，2 三個數(shù)中的一個，如果記試用 f 1 和 f 2 表示優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解 設(shè)在 x1 ，x2， xn 這幾個數(shù)中取值為 0 的有 s 個，取值為 1 的

5、有 t 個，取值為 2 的有 r 個，則 s+t+r=n ，0t n，0sn，0r n，由此得f 1=t+2r ，f 2=t+4r 所以=(2 k-1 )f 2-(2 k-1 -2)f 1說明 本題借助于 s， t ， r 找到了 f k 與 f 1 ，f 2 的關(guān)系表達(dá)式整除根據(jù)一個數(shù)能被9 整除的特征有6+2+ +4+2+7=9m(m為自然數(shù) ) ，即 + +3=9m1(m1為自然數(shù) ) 又由于09，09，則有3+3 21，從而有+=6 或 +=15 同理，按照一個數(shù)被11 整除的特征有 -=-2 或 -=9 與相結(jié)合，并考慮 0 9， 09，故只有 =2，=4所以原自然數(shù)為 6 224

6、427 例 8 我手中的卡片上寫有一個三位數(shù)，并且個位數(shù)不為零，現(xiàn)將個位與百位數(shù)字對調(diào)，取兩數(shù)的差 ( 大數(shù)減小數(shù) ) ，將所得差的三位數(shù)與此差的個位、 百位數(shù)字對調(diào)后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？=a× 100+b×10+c-(c ×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載=100(a-c-1)+9 × 10+(10-a+c) 因 k 是三位數(shù)，所以2a-c8， 1 a-c-17所以210-a+c8差對調(diào)后為k=(10 -a+c)

7、 ×100+9×10+(a-c-1) ，所以k+k=100(a-c-1)+9× 10+(10-a+c)+(10-a+c) × 100+9×10+(a -c-1)=1089故所求為 1089說明 本例中 a，b，c 作為參數(shù)被引進(jìn)，但運(yùn)算最終又被消去了， 而無須求出它們的值 這正是“設(shè)而不求”的未知數(shù)的典型例子在列方程解應(yīng)用題中，更是經(jīng)常用到增設(shè)參數(shù)的方法，下面再舉幾個例題例 9 從兩個重量分別為 12 千克 (kg) 和 8 千克，且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起， 熔煉后兩個合金含銅的百分

8、數(shù)相等求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分?jǐn)?shù)，因此只有增設(shè)這兩個合金含銅的百分?jǐn)?shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分?jǐn)?shù)有關(guān)的其他量為參數(shù)， 才能充分利用已知， 為列方程創(chuàng)造條件 解法 1 設(shè)所切下的合金的重量為 x 千克，重 12 千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為 p，重 8 千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為 q(p q) ，于是有整理得5(q -p)x=24(q -p) 因為 p q，所以 q-p 0，因此 x=4.8 ，即所切下的合金重4.8 千克解法 2 設(shè)從重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含銅 m千克，從重 8 千克的合金上切下的 x 千克中含銅 n 千克 (m n)

9、 ，則這兩個合金含整理得 5x(n -m)=24(n-m)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載因為 m n，所以 n-m 0，因此 x=4.8 ，即所切下的合金重4.8 千克說明 在解含參數(shù)的方程時，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成只含有待求未知數(shù)的一般方程，也就是說應(yīng)用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無關(guān)例 10 某隊伍長 1998 米(m) ，在行進(jìn)中排尾的一個戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立即返回，當(dāng)這個戰(zhàn)士回到排尾時，全隊已前進(jìn) 1998 米，如果隊伍和這個戰(zhàn)士行進(jìn)的速度都不改變，求這個戰(zhàn)士走過的路程解法 1 設(shè)這個戰(zhàn)士走過的路程為s 米，所需要的時間為t 小時 (h) ，消去參數(shù) t 得解之得解法 2 設(shè)這個戰(zhàn)士的行進(jìn)速度為V1 米 / 小時，隊伍行進(jìn)的速度為優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載因此所以這個戰(zhàn)士所走距離為說明 在同一個問題中， 由于考慮問題的角度不同， 所以增設(shè)的參數(shù)也會有所不同 ( 如上例中的兩種解法 ) 練習(xí)九字)，又 N是 4的倍數(shù)，且 N被 11 除余