數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文關(guān)于伴隨矩陣性質(zhì)的若干探討

1、關(guān)于伴隨矩陣性質(zhì)的若干探討xxxxx（湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 0702班 湖北 黃石 435002）0 前言：伴隨矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，在矩陣的計(jì)算和討論中，常常會(huì)遇到伴隨矩陣.但很多時(shí)候伴隨矩陣只是作為計(jì)算的工具，伴隨矩陣的性質(zhì)很少被提到.在前人研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)了伴隨矩陣的一些性質(zhì)并討論其證明過程，并把一些性質(zhì)推廣到了分塊矩陣的伴隨矩陣的上去，得到了一些相似的結(jié)果.1 伴隨矩陣的定義定義 1 設(shè)矩陣，將矩陣的元素所在的第行第列元素劃去后，剩余的個(gè)元素按原來的排列順序組成的階矩陣所確定的行列稱式為元素的余子式，記為，稱為元素的代數(shù)余子式，記為，即.定義2方陣的各元素的代

2、數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣.2伴隨矩陣的基本性質(zhì)性質(zhì)2.1 設(shè)矩陣的伴隨矩陣為，則，且當(dāng)時(shí)，有或.證明 設(shè),則 .于是 .類似地，.所以 .當(dāng)時(shí)，可逆，由得,即.所以.注 該性質(zhì)給出了矩陣與其伴隨矩陣之間的關(guān)系，同時(shí)給出了逆矩陣或伴隨矩陣的一種求法.性質(zhì)2.2 證明 （1）當(dāng)時(shí)，這時(shí)，從而等式成立.（2） 當(dāng)時(shí)，由得,所以 . 注 該性質(zhì)給出了矩陣與其伴隨矩陣的行列式之間的關(guān)系.性質(zhì) 2.3 若是階方陣,那么證明 (1)當(dāng)時(shí)，由 得 ,所以 .(2)時(shí)，由得 .所以對列向量都是方程組的解.由于，所以齊次線性方程組的解向量組的秩為,故的列向量組的秩小于或等于1，即 .又，所以至少

3、有一個(gè) 階段非零子式，即，所以 ,故 .(3）當(dāng)時(shí)，矩陣沒有不為零的階子式，故的每個(gè)元素都是零，即.所以 . 注 該性質(zhì)給出了矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系.3 伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)3.1乘積矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 3.1.1 若矩陣為階可逆矩陣，為常數(shù)，則 .證明 由及可得.注 該性質(zhì)給出了數(shù)乘可逆矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算.性質(zhì)3.1.2 設(shè)、為階方陣，則.證明 （1） 當(dāng)時(shí)，由可得.（2) 當(dāng)時(shí)，令，只要充分大，都可逆，所以 .上式兩端矩陣中的元素都是關(guān)于的多項(xiàng)式，由于兩端對應(yīng)元素相等，所以對應(yīng)元素都是相等的多項(xiàng)式，即上式對任意的都成立，特別的取，即得.推論 3.1.1 設(shè)均為階方陣，則.

4、注 方陣乘積的伴隨矩陣等于每個(gè)方陣伴隨矩陣的乘積，但順序恰好交換過來.3.2分塊矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)3.2.1設(shè)、為階可逆矩陣，則有.證明 因?yàn)?所以可逆，且,又有 ,由 可得 = =.注 性質(zhì)3.2.1的結(jié)果與推論3.1.1的結(jié)果具有類似的形式，即與分別取伴隨矩陣，但位置交換，且伴隨矩陣前多了一個(gè)系數(shù).上述結(jié)果可進(jìn)一步推廣到次對角線上有多個(gè)子塊的情形，如,其中、是階可逆矩陣.例1 設(shè)均為3階可逆矩陣，且求.解 由可得 .3.2轉(zhuǎn)置矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 3.2.1 若為 階方陣，則.證明 因，而則,故.注 該性質(zhì)說明求伴隨矩陣與求逆可交換順序.推論3.2.1設(shè)、為階方陣，則.證

5、明 由可得.該結(jié)果可以推廣到多個(gè)方陣乘積的情形，如.推論3.2.2設(shè)、為階可逆方陣，則.證明 因、均為階可逆方陣，所以可逆，且有.由可得 .所以 .上述結(jié)論可進(jìn)一步推廣到主對角線上有多個(gè)子塊的情形，如.推論3.2.3設(shè)、為階可逆方陣，則.此結(jié)論可進(jìn)一步推廣到次對角線有多個(gè)主塊的情形，如.例2 設(shè)均為3階可逆矩陣，且求.解 由,可得 .3.3矩陣逆的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)3.3.1 設(shè)是階可逆矩陣，則 .證明 由得 又,所以.注 該性質(zhì)說明求逆與求伴隨矩陣兩種運(yùn)算可交換順序.推論3.3.1設(shè)為階可逆矩陣，則有.證明 由可得 上述結(jié)果也可以進(jìn)一步推廣到主對角線上有多個(gè)子塊的分塊對角矩陣上來，如 ,

6、其中均為階可逆矩陣.例3 設(shè)，求.解 因?yàn)椋?所以均可逆，由推論3.3.1可得，.推論3.3.2 設(shè)為階可逆矩陣，則有.上述結(jié)果也可以進(jìn)一步推廣到次對角線上有多個(gè)子塊的分塊對角矩陣上來，如 ,其中均為階可逆矩陣.性質(zhì)3.3.2 設(shè)是階可逆矩陣，則.證明 由性質(zhì)3.2.1可得.由性質(zhì)3.3.1可得.又因?yàn)?所以.從而.即.又,所以.例4 設(shè)，是的伴隨矩陣，求.解 因=，所以可逆，由性質(zhì)3.3.3可得.推論3.3.3設(shè)為階可逆矩陣，則有 .證明 因?yàn)闉殡A可逆矩陣，所以也可逆，由性質(zhì)3.3.2得,又由推論3.2.2.得 .上述結(jié)果也可以推廣到主對角線上有多個(gè)子塊的分塊矩陣上來，如 .推論3.3.4設(shè)

7、為階可逆矩陣，則有.上述結(jié)果也可以推廣到次對角線上有多個(gè)子塊的分塊矩陣上來，如 .注 對伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行了分類歸納，并把一些性質(zhì)推廣到分塊矩陣的伴隨矩陣上去，得到的是一些相似的結(jié)果.4 矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性質(zhì)4.1矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性質(zhì)性質(zhì)4.1.1 （1）若是階對稱矩陣，那么也是對稱矩陣；（2） 若是階反對稱矩陣，那么當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，也是反對稱矩陣；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是對稱矩陣.證明 （1）因?yàn)槭请A對稱矩陣，所以，又 所以也是階對稱矩陣.（2） 因?yàn)槭请A反對稱矩陣，所以.又 .當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，有，即，所以也是反對稱矩陣；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，有，即，所以是階對稱矩陣.性質(zhì)4.1.2 （1）若方陣是階可

8、逆矩陣，則也是階可逆矩陣；（2） 若方陣是階不可逆矩陣，則也是階不可逆矩陣.證明（1)因?yàn)槭请A可逆矩陣，所以，由性質(zhì)2.2可得,所以是階可逆矩陣.(2)因?yàn)槭请A不可逆矩陣，所以，由得. 當(dāng)，則有，所以是階不可逆矩陣. 當(dāng)時(shí)，假設(shè)則有=.這與矛盾，所以，即也是階不可逆矩陣.性質(zhì)4.1.3 （1）若是階正定矩陣，則也是階正定矩陣；（2） 若是階半正定矩陣，則也是階半正定矩陣.證明 （1）設(shè)是階正定矩陣，則且為對稱矩陣，另存在可逆矩陣，使得,于是.即有 .又由得.即.所以合同于單位矩陣,即是正定矩陣.（2） 設(shè)為半正定矩陣，則為對稱矩陣，下面分三種情況討論: 若，那么為正定矩陣，由（1)知，是正定矩

9、陣； 若，則，顯然是半正定矩陣； 若，則. 由于為半正定矩陣，所以的一階主子式即的元素的代數(shù)余子式必大于或等于零，且至少有一個(gè)大于零（否則，若每個(gè)都等于零，由和的對稱性知，至少有一個(gè)二階子式不等于，即，這與相矛盾），不妨設(shè)，令，則可逆，且有,所以是半正定矩陣.性質(zhì)4.1.4（1)若是冪等矩陣，則也是冪等矩陣；（2） 若是冪零矩陣，則也是冪零矩陣；（3） 若是冪幺矩陣，則也是冪幺矩陣.證明 （1)若是冪等矩陣，即，則,由推論2.1可得.所以 .即 也是冪等矩陣.（2） 若是冪零矩陣，即，則.即也是冪零矩陣.和.即也是冪幺矩陣.性質(zhì)4.1.5若是對合矩陣，則也是對合矩陣.證明 因?yàn)槭菍暇仃嚕?/p>

10、有,兩邊取行列式，得 .所以可逆，且有 .由性質(zhì)2.1知也可逆，由得.所以也是對合矩陣.性質(zhì)4.1.6 若是正交矩陣，則也是正交矩陣.證明 設(shè)是正交矩陣，則有.又 ,所以也是正交矩陣.性質(zhì)4.1.7若是正規(guī)矩陣，則也是正規(guī)矩陣.證明 設(shè)是正規(guī)矩陣，則有.又.所以也是正規(guī)矩陣.性質(zhì)4.1.8 若是上（下）三角形矩陣，則也是上（下）三角形矩陣.證明 設(shè)是上三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，的余子式為階段三角形行列式，且主對角線上的元素至少有一個(gè)為零，所以，即有，故也是上三角形矩陣.同理可證，若是下三角形矩陣，則也是下三角形矩陣.推論4.1.1 當(dāng)是對角矩陣時(shí)，也是對角矩陣.注 對矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性

11、質(zhì)進(jìn)行了較為詳盡的研究，可以看出伴隨矩陣對矩陣的性質(zhì)有很好的繼承性.5 兩伴隨矩陣間的關(guān)系性質(zhì)5.1兩伴隨矩陣間的關(guān)系性質(zhì)性質(zhì)5.1.1若矩陣與可交換，則也可交換.證明 因?yàn)榭山粨Q，所以有.又.所以也可交換.性質(zhì)5.1.2 若方陣等價(jià)于，則等價(jià)于.證明 因?yàn)榈葍r(jià)于，則存在可逆矩陣，使得,上式兩邊取伴隨矩陣，得.即有 .因?yàn)榭赡?，所以也可逆，由矩陣等價(jià)的定義可知，等價(jià)于.性質(zhì)5.1.3 若與相似，則與也相似.證明 （1）當(dāng)可逆時(shí)，因?yàn)榕c相似，則存在可逆矩陣，使得,上式兩邊取行列式，得，所以也可逆.兩邊取逆，得 .上式兩邊分別乘以，得,即.所以與相似.（2) 當(dāng)不可逆時(shí)，由知，也不可逆，所以必存在

12、，當(dāng)時(shí)，有.令 ,則，且=,由（1）知,即.上式兩端矩陣中的元素都是關(guān)于的多項(xiàng)式，由于兩端對應(yīng)元素相等，所以對應(yīng)元素是相等的多項(xiàng)式，即上式對任意的都成立，特別的取，即得.即與相似.性質(zhì)5.1.4若與合同，且與可逆，則與也合同.證明 因?yàn)槿襞c合同，所以存在可逆矩陣，使得.又與可逆，上式兩邊取逆，得,即.令,則.所以,又由,得.所以 ,即.令，則.所以與合同.注 依據(jù)兩矩陣的關(guān)系推導(dǎo)出對應(yīng)的伴隨矩陣也具有同種的關(guān)系，這為我們進(jìn)一步研究伴隨矩陣間的關(guān)系提供了理論指導(dǎo).6小結(jié) 伴隨矩陣是矩陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)中的一個(gè)基本概念，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具，伴隨矩陣一些新的性質(zhì)被不斷的發(fā)現(xiàn)與研究.本文在伴隨

13、矩陣的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，較為詳細(xì)的歸納并討論了伴隨矩陣的性質(zhì).并在此基礎(chǔ)上討論了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì).具體來說本文做了以下幾方面的工作:介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基本性質(zhì)；研究數(shù)乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣與其伴隨矩陣的的運(yùn)算性質(zhì)及伴隨矩陣在逆等方面的運(yùn)算性質(zhì)；研究矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，主要介紹由矩陣的對稱性、正定性、奇異性、正交性推導(dǎo)出伴隨矩陣的對稱性、正定性、奇異性、正交性；研究伴隨矩陣間的關(guān)系性質(zhì)，主要研究由兩矩陣的相似、合同等關(guān)系推出對應(yīng)的兩伴隨矩陣之間的關(guān)系.伴隨矩陣是線性代數(shù)中的重要概念，我們在研究過程中深刻體會(huì)到其性質(zhì)的美妙.限于本人的知識水平，所做的有很多不

14、足之處.目前的基礎(chǔ)上，仍有很多地方有待完善，希望有志同人作出更好成績.參考文獻(xiàn):1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1998.2 張禾瑞.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1983.3 趙建中，葉紅萍.伴隨矩陣的一些性質(zhì)j.皖西學(xué)院學(xué)報(bào),2004，20(5):12-15.4 譚維奇.伴隨矩陣的性質(zhì)初探j(luò).南京經(jīng)濟(jì)區(qū)域廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，97（2）：56-58.5 劉佑林.伴隨矩陣的若干性質(zhì)j.湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2009,30(5):31-32.6 肖翔，許伯生.伴隨矩陣的性質(zhì)j.上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2007，（3）：48-49.7 郭文婷.與矩陣的伴隨矩陣有關(guān)的幾個(gè)技巧j.長

15、江工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2010,27 （1）：78-80.8 武潔.伴隨矩陣的性質(zhì)及證明j.高校理科研究,科技信息：517.9 徐蘭.階矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)系的進(jìn)一步探討j.昌吉學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，（4）： 100-101.10 林磊.方陣的伴隨矩陣j.高等數(shù)學(xué)研究，2004，（11）：23-25.11 金啟勝 .由伴隨矩陣所聯(lián)想的幾個(gè)問題j.高校理科研究，科技信息.424.12 朱煥，關(guān)麗杰，范慧玲.有關(guān)伴隨矩陣的性質(zhì)j.2008,28（3）：21-24.13 孔慶蘭.伴隨矩陣的若干性質(zhì)j.洛陽大學(xué)學(xué)報(bào),1998,13（4）：21-22.14 陳艷玲，許杰.矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)j.齊齊哈爾師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 2007，（2）：151-153.15 史延峰.矩陣的伴隨矩陣j.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),1999,12(3)：276-279.16 張艷麗. 關(guān)于伴隨矩陣性質(zhì)的討論j. 衡水學(xué)院學(xué)報(bào), 2007 .17 王蓮花，田立平.伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用j.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,15 （3）：4-6.18 張毅敏.伴隨矩陣的若干性質(zhì)