電大工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、工程數(shù)學(xué)網(wǎng)上教學(xué)活動(dòng)文本2012.12.15問(wèn)題1：現(xiàn)在是工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)時(shí)間，歡迎大家積極參與！今天活動(dòng)的主題是：學(xué)期末復(fù)習(xí)考試指南。問(wèn)題2. 考試方式：半開(kāi)卷，筆試問(wèn)題3. 考試題型：?jiǎn)芜x題：5題，每題3分，共15分。 填空題：5題，每題3分，共15分。 計(jì)算題：4題，每題16分，共64分。 證明題：1題，共6分。問(wèn)題4. 談一談本課程的考核形式.答：本課程的考核形式分為形成性考核和期末考試相結(jié)合的方式?？己顺煽?jī)由形成性考核成績(jī)和期末考試成績(jī)兩部分組成，考核成績(jī)滿(mǎn)分為100分，60分為及格。其中形成性考核成績(jī)占考核成績(jī)的30%，期末考試成績(jī)占考核成績(jī)的70%。形成性考核的內(nèi)容及成績(jī)的評(píng)定

2、按中央廣播電視大學(xué)人才培養(yǎng)模式改革與開(kāi)放教育試點(diǎn)工程數(shù)學(xué)形成性考核冊(cè)的規(guī)定執(zhí)行。問(wèn)題5. 期末考試命題的依據(jù)是什么？答：工程數(shù)學(xué)（本）課程期末考試命題的依據(jù)考核說(shuō)明，試題應(yīng)符合課程教學(xué)大綱的要求，體現(xiàn)廣播電視大學(xué)培養(yǎng)應(yīng)用型人才的特點(diǎn)?？荚囍荚跍y(cè)試有關(guān)線(xiàn)性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，必要的基礎(chǔ)理論、基本的運(yùn)算能力，以及運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和方法，分析和解決問(wèn)題的能力。問(wèn)題6. 期末考試的命題原則是什么？期末考試的命題原則是在考核說(shuō)明所規(guī)定的范圍內(nèi)命題，注意考核知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面，在此基礎(chǔ)上突出重點(diǎn)。問(wèn)題7. 考核要求有哪些？考核要求分為三個(gè)不同層次：有關(guān)定義、定理、性質(zhì)和特征等概念的內(nèi)容由低到高分

3、為“知道、了解、理解”三個(gè)層次；有關(guān)計(jì)算、解法、公式和法則等內(nèi)容由低到高分為“會(huì)、掌握、熟練掌握”三個(gè)層次。三個(gè)不同層次由低到高在期末試卷中的比例為：2:3:5。考核內(nèi)容分為線(xiàn)性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩個(gè)部分，包括行列式、矩陣、線(xiàn)性方程組、矩陣的特征值及二次型、隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征、數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)等方面的知識(shí)。一、線(xiàn)性代數(shù)部分1. 行列式考核知識(shí)點(diǎn)：行列式的遞歸定義、行列式的性質(zhì)、克萊姆法則考核要求：知道階行列式的遞歸定義；掌握利用性質(zhì)計(jì)算行列式的方法；知道克萊姆法則。2. 矩陣考核知識(shí)點(diǎn)： 矩陣的概念，零矩陣，單位矩陣，數(shù)量矩陣，對(duì)角矩陣，上(下)三角矩陣，對(duì)稱(chēng)矩陣 矩陣的

4、加法，數(shù)乘矩陣，矩陣的乘法，矩陣的轉(zhuǎn)置 方陣乘積行列式定理 可逆矩陣與逆矩陣的定義、性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，初等矩陣，矩陣的初等行變換，逆矩陣的求法矩陣的秩的概念，矩陣的秩的求法 分塊矩陣及其運(yùn)算，準(zhǔn)對(duì)角矩陣考核要求：理解矩陣的概念，了解零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、上(下)三角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣的定義，了解初等矩陣的定義；熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘矩陣、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算；掌握方陣乘積行列式定理；理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件；熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法，會(huì)用伴隨矩陣法求逆矩陣，掌握求解簡(jiǎn)單的矩陣方程的方法；理解矩陣秩的概念，掌握矩陣秩的求法

5、； 會(huì)分塊矩陣的運(yùn)算。3. 線(xiàn)性方程組考核知識(shí)點(diǎn)： 高斯消元法解線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣、增廣矩陣線(xiàn)性方程組的相容性定理，齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件 維向量定義，線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表出，向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，向量組的秩 齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系，非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)考核要求：掌握向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出的方法，了解向量組線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念，會(huì)判別向量組的線(xiàn)性相關(guān)性；會(huì)求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，了解向量組和矩陣的秩的概念，掌握求向量組的秩和矩陣的秩的方法；理解線(xiàn)性方程組的相容性定理，理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件。熟練掌握用矩陣初等

6、行變換方法判斷齊次與非齊次線(xiàn)性方程組解的存在性和惟一性；熟練掌握齊次線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解系和通解的求法；了解非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)，掌握求非齊次線(xiàn)性方程組通解的方法。4. 矩陣的特征值及二次型考核知識(shí)點(diǎn)： 矩陣特征值、特征多項(xiàng)式及特征向量的定義，特征值與特征向量的求法矩陣相似的定義和性質(zhì)正交矩陣的定義和性質(zhì) 二次型定義，二次型的矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 正定矩陣的概念，正定矩陣的判定考核要求：理解矩陣特征值、特征多項(xiàng)式及特征向量的定義，掌握特征值與特征向量的求法；了解矩陣相似的定義，相似矩陣的性質(zhì)；知道正交矩陣的定義和性質(zhì)；理解二次型定義、二次型的矩陣表示、二次型的標(biāo)準(zhǔn)

7、形，掌握用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；了解正定矩陣的概念，會(huì)判定矩陣的正定性。二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分1. 隨機(jī)事件與概率考核知識(shí)點(diǎn)： 隨機(jī)事件的概念，隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 隨機(jī)事件的概率，概率的基本性質(zhì)，古典概型 概率的加法公式，條件概率與乘法公式，事件的獨(dú)立性，全概公式 貝努里概型考核要求：了解隨機(jī)事件、概率等概念；掌握隨機(jī)事件的運(yùn)算，了解概率的基本性質(zhì)；了解古典概型的條件，會(huì)求解較簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題；熟練掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握條件概率和全概公式；理解事件獨(dú)立性概念；掌握貝努里概型。2. 隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征考核知識(shí)點(diǎn)： 隨機(jī)變量的概念及分類(lèi)，離散型隨機(jī)變量的概率分布，連

8、續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，隨機(jī)變量的分布函數(shù)，隨機(jī)變量函數(shù)的分布 數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念，期望與方差的性質(zhì)，隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，矩的概念 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布和它們的數(shù)字特征，均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布和它們的數(shù)字特征 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、獨(dú)立性，二維隨機(jī)變量的期望、方差與協(xié)方差的性質(zhì)大數(shù)定律，中心極限定理考核要求：理解隨機(jī)變量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函數(shù)的概念；理解期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差等概念，掌握求期望、方差的方法；熟練掌握幾種常用離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布以及它們的期望與方差；知道二維隨機(jī)變量的概念，了解隨機(jī)變量獨(dú)立性概念；知道大數(shù)定律和中心極限

9、定理。3. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)考核知識(shí)點(diǎn)：總體與樣本，樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量，樣本矩，抽樣分布（分布，分布，分布） 點(diǎn)估計(jì)概念，期望與方差的點(diǎn)估計(jì)（矩法與最大似然法） 無(wú)偏性與有效性 置信區(qū)間與置信度，正態(tài)總體與的區(qū)間估計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，兩類(lèi)錯(cuò)誤，顯著性水平 方差已知的均值檢驗(yàn)的檢驗(yàn)法，方差未知的均值檢驗(yàn)的檢驗(yàn)法，方差的假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)法一元線(xiàn)性回歸的概念，最小二乘法，檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)考核要求：理解總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量的概念，知道分布，分布，分布，會(huì)查，分布表；會(huì)參數(shù)的矩估計(jì)法，掌握參數(shù)的最大似然估計(jì)法；了解估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性的概念；了解區(qū)間估計(jì)的概念，熟練掌握求正態(tài)總體期望的置信區(qū)間的方法；知道假設(shè)檢驗(yàn)

10、的基本思想，熟練掌握單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)方法，會(huì)作單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)；了解最小二乘法的基本思想，會(huì)求一元線(xiàn)性回歸方程的方法和檢驗(yàn)。問(wèn)題8.試題的難易程度如何？試題按其難度分為容易題、中等題和較難題，其分值在期末試卷中的比例為：4:4:2。問(wèn)題9. 談一談試題的類(lèi)型.試題類(lèi)型分為單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題。單項(xiàng)選擇題的形式為四選一，即在每題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案；填空題只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程和推理過(guò)程；解答題包括計(jì)算題和證明題，求解解答題要求寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程。三種題型分?jǐn)?shù)的百分比為：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題15%，填空題15%，解答題70%（其中證明題6%）。期末考試

11、采用半開(kāi)卷筆試形式，卷面滿(mǎn)分為100分，考試時(shí)間為90分鐘。問(wèn)題10. 單項(xiàng)選擇題舉例一、單項(xiàng)選擇題設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（）(a) (b) (c) (d) （b）正確，將b填入題中括號(hào)內(nèi)。（容易題）隨機(jī)事件相互獨(dú)立的充分必要條件是（）(a) (b) (c) (d) （a）正確，將a填入題中括號(hào)內(nèi)。（中等題）問(wèn)題11. 填空題舉例二、填空題若向量組的一個(gè)部分組線(xiàn)性相關(guān)，則此向量組線(xiàn)性。在橫線(xiàn)上填寫(xiě)答案“相關(guān)”。（容易題）若樣本來(lái)自總體，則 。在橫線(xiàn)上填寫(xiě)答案“”。（中等題）問(wèn)題12.計(jì)算解答題舉例三、解答題用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿(mǎn)秩變換。解： 令 （*）即得 由式解出

12、，即得或?qū)懗桑ㄖ械阮}）（證明題）證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的任何部分組也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的證明：設(shè)是一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組，往證它的任何部分組也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，不妨證明線(xiàn)性無(wú)關(guān)。反證，若線(xiàn)性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，使得 此時(shí)有 由定義知線(xiàn)性相關(guān)，這與線(xiàn)性無(wú)關(guān)矛盾。故線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證畢。（較難題）問(wèn)題13. 樣卷舉例一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1.設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（）(a) (b) (c) (d) 2.設(shè)是階方陣，當(dāng)條件（）成立時(shí)，元線(xiàn)性方程組有惟一解(a) (b) (c) (d) 3.設(shè)為隨機(jī)事件，下列等式成立的是（）(a) (b) (c) (d) 4.隨機(jī)事件互斥的充分必要條件

13、是（）(a) (b) (c) (d) 5. 下列函數(shù)中能夠作為連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是（）(a) (b) (c) (d) 二、填空題（每小題3分，共15分）1.2.若是的特征值，則是方程 的根3.已知，則4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)是，則 5.統(tǒng)計(jì)量就是 的樣本函數(shù)三、計(jì)算題（每小題16分，共64分）1設(shè)矩陣，求2.在線(xiàn)性方程組中取何值時(shí)，此方程組有解有解的情況下寫(xiě)出方程組的一般解3. 一袋中有9個(gè)球，其中6個(gè)黑球3個(gè)白球今從中依次無(wú)放回地抽取兩個(gè)，求第2次抽取出的是白球的概率.4.設(shè)，試求；（已知）四、證明題（本題6分）設(shè)是可逆矩陣的特征值，且，試證：是矩陣的特征問(wèn)題14. 綜合練習(xí)題

14、工程數(shù)學(xué)（本）綜合練習(xí) 一、單項(xiàng)選擇題1設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是( ) a b c d正確答案：a 2方程組相容的充分必要條件是( )，其中，a bc d 正確答案：b 3設(shè)矩陣的特征值為0，2，則3a的特征值為 ( ) a0，2 b0，6 c0，0 d2，6正確答案：b 4. 設(shè)a，b是兩事件，則下列等式中（ ）是不正確的a. ，其中a，b相互獨(dú)立 b. ，其中 c. ，其中a，b互不相容d. ，其中正確答案：c 5若隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，則方差=（ ）a b c d 正確答案：d6設(shè)a是矩陣，是矩陣，且有意義，則是( )矩陣 a b c d正確答案：b 7若x1、x2是線(xiàn)性方

15、程組ax=b的解，而是方程組ax = o的解，則（ ）是ax=b的解a b c d 正確答案：a 8設(shè)矩陣，則a的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量=( ) a b c d 正確答案：c 9. 下列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是（ ）a b cd正確答案：a 10若隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量（ ） a b c d正確答案：d 11設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是的無(wú)偏估計(jì)a b c d正確答案：c 12對(duì)給定的正態(tài)總體的一個(gè)樣本，未知，求的置信區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（ ）a分布 bt分布 c指數(shù)分布 d正態(tài)分布正確答案：b二、填空題 1設(shè)，則的根是 應(yīng)該填寫(xiě)： 2設(shè)向量可由向量組線(xiàn)性表示，則表示方法唯一的充分必要

16、條件是 應(yīng)該填寫(xiě)：線(xiàn)性無(wú)關(guān) 3若事件a，b滿(mǎn)足，則 p（a - b）= 應(yīng)該填寫(xiě)： 4設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則常數(shù)k =應(yīng)該填寫(xiě)： 5若樣本來(lái)自總體，且，則應(yīng)該填寫(xiě)：6行列式的元素的代數(shù)余子式的值為= 應(yīng)該填寫(xiě)-56 7設(shè)三階矩陣的行列式，則=應(yīng)該填寫(xiě)：2 8若向量組：，能構(gòu)成r3一個(gè)基，則數(shù)k 應(yīng)該填寫(xiě)：9設(shè)4元線(xiàn)性方程組ax=b有解且r（a）=1，那么ax=b的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 個(gè)解向量應(yīng)該填寫(xiě)：3 10設(shè)互不相容，且，則 應(yīng)該填寫(xiě)：0 11若隨機(jī)變量x ，則 應(yīng)該填寫(xiě)： 12設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)為的 估計(jì)應(yīng)該填寫(xiě)：無(wú)偏 三、計(jì)算題1設(shè)矩陣，求：（1）；（

17、2）解：（1）因?yàn)?所以 （2）因?yàn)?所以 2求齊次線(xiàn)性方程組 的通解 解： a= 一般解為 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得x1 =； x2 = 0，x4 = 3，得x2 =所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 x1，x2 原方程組的通解為： ，其中k1，k2 是任意常數(shù) 3設(shè)隨機(jī)變量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1= 11（）= 2（1）0.045 （2）11 即k4 = -1.5， k2.5 4某切割機(jī)在正常工作時(shí)，切割的每段金屬棒長(zhǎng)服從正態(tài)分布，且其平均長(zhǎng)度為10.5 cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.15cm.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取4段進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得的結(jié)果如下：

18、（單位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4問(wèn)：該機(jī)工作是否正常(, )？解：零假設(shè).由于已知，故選取樣本函數(shù) 經(jīng)計(jì)算得， 由已知條件，且 故接受零假設(shè)，即該機(jī)工作正常.5已知矩陣方程，其中，求解：因?yàn)椋?即 所以 6設(shè)向量組，求這個(gè)向量組的秩以及它的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 解：因?yàn)椋?）= 所以，r() = 3 它的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是 （或）7設(shè)齊次線(xiàn)性方程組，為何值時(shí)方程組有非零解？在有非零解時(shí)，求出通解解：因?yàn)?a = 時(shí)，所以方程組有非零解 方程組的一般解為： ，其中為自由元 令 =1得x1=，則方程組的基礎(chǔ)解系為x1 通解為k1x1，其中k1為任意常數(shù) 8罐中有12顆圍棋子，

19、其中8顆白子，4顆黑子若從中任取3顆，求：（1）取到3顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到3顆棋子顏色相同的概率 解：設(shè)=“取到3顆棋子中至少有一顆黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，b =“取到3顆棋子顏色相同”，則（1） （2） 9設(shè)隨機(jī)變量x n（3，4）求：（1）p（1< x < 7）；（2）使p（x < a）=0.9成立的常數(shù)a (，) 解：（1）p（1< x < 7）= = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因?yàn)?p（x < a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56 10從正態(tài)總體n（，9）