人教版高中數(shù)學《余弦定理》教案

1、余 弦 定 理(1)一、教學內(nèi)容 分析余弦定理第一課時。通過利用平面幾何法, 坐標法 ( 兩點的距離公式 ),向量的模 , 正弦定理等方法推導余弦定理，正確理解余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，初步體會余弦定理解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，理解余弦定理是勾股定理的特例 ,從多視角思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，形成良好的思維品質(zhì), 激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性和濃厚的興趣，培養(yǎng)學生思維的廣闊性。二、學生學習情況分析本課之前，學生已經(jīng)學習了兩點間的距離公式, 三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關內(nèi)容， 對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用多種方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。三

2、、教學目標繼續(xù)探索三角形的邊長與角度間的具體量化關系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會多種方法特別是向量方法推導余弦定理的思想；通過例題運用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；理解余弦定理是勾股定理的特例，理解余弦定理的本質(zhì)。四、教學重點與難點教學重點：余弦定理的證明過程特別是向量法與坐標法及定理的應用；教學難點：用正弦定理推導余弦定理的方法五、教學過程：1. 知識回顧abc正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即sin AsinBsinC正弦定理可以解什么類型的三角形問題？(1)已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角(AAS,ASA) ；(2)已知兩邊和其中一

3、邊的對角，可以求出三角形的其他的一邊和另外兩角(SSA) 。2. 提出問題已知三角形兩邊及其夾角如何求第三邊？(SAS 問題 )在三角形ABC中 , 已知邊 a,b, 夾角 C, 求邊 cAbcACBa3. 解決問題通過預習由學生給出自己的證明方法。學生甲：利用和正弦定理證明相似的方法法一：平面幾何法（作高法）A解 :過A點作 ADBC交BC于點 DbcADb sin C ,CDb cosCABDBCCDa b cosCCB在直角三角形 ABC中 ,由勾股定理得Dac2(b sin C) 2(ab cosC )2c2a2b22ab cosC學生乙：由于涉及邊長問題， 可考慮求兩點的距離。 利用

4、坐標法來推導余弦定理：法二：坐標法y解: 以 C 為原點 ,BC 為 x 軸建立直角坐標系c(b cosCa) 2(b sin C0)2A(bcosC,bsinC)cb2 cos2C2abcosC a2b2 sin2 CbcAc2a2b22ab cosCCB(a,0) xa學生丙：由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 利用向量法推導余弦定理：法三：向量法A解：c令 CA b, CB a, ABc由三角形法則有 c abbA2| c |( a b)2cCB222ab2a ba| c |c2a2b22ab cosC教師：由于我們才學習了正弦定理，那么用正弦定理可以證明余弦定理嗎？法

5、四：acasin C(1)由得 c sin Asin Asin C同理 c sin Bbsin C(2)利用 B(C A)代入 (2)消去角 B得ccos A ba cosC(3)利用 (1)2 +(3) 2消去 A即得證法五：求證 : c2a2b22ab cosC證明:右邊(2Rsin A)2(2 Rsin B) 28R2 sin Asin B cosCC( AB)右邊4R2sin2 ( AB)法六：利用 c2R sin C 證明由C( AB)得c24R2 (sin 2 Acos2 Bcos2222把 cos A1sin A,cos BAsin2 B 1 sin22sin A cos Asi

6、n B cosB)B代入得c2a2b22ab cosC4. 歸納概括余弦定理： a 2b2c 22bc cos Ab2a 2c 22ac cos B作用： SAS問題c 2a 2b 22ab cosC三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。b2c2a2推論：cos A2bca2c2b2cos B2ac作用： SSS（已知三邊求三個夾角）a2b2c2cosC2ab5余弦定理的簡單應用0例 1：.在三角形 ABC 中,已知 b=8,c=3,A=60（ 1）求 a;(2) 求三角形中最大角的余弦值;(3) 判斷三角形的形狀 .( 用銳角 , 鈍角 , 直角三角

7、形回答 )解 : (1)由a2 b2 c2 2bc cosA得a28232283cos6049a7由a得角 B最大(2) bccosB= a2c2b24996412ac2737(3) cosB 0 B 90所以ABC為鈍角三角形 .6余弦定理與勾股定理的關系：余弦定理是一般三角形中邊與角的平方關系，引導學生聯(lián)想到勾股定理。余弦定理勾股定理c2a2b22ab cosC有關系嗎 ?a2b2c2例 2：用 >,<,= 填空(1) 在 ABC中當, C為銳角時 , a2b2c2(2) 在 ABC中,當 C為直角時 ,a 2b2c2(3) 在 ABC中,當 C為鈍角時 , a2b2c2例2.解:當0 C90時,cos C0(1)c2a2b22ab cosCa2b2(2)當C90時,cos C 0c2a2b22ab cosCa2b2當C180時,cos C 0(3) 90c2a2b22ab cosCa2b2勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系， 余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系。 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣， 勾股定理是余弦定理的特例7. 課堂小結(jié)222c=a + b 2ab