20202021高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)優(yōu)化練習(xí)新人教A版選修1經(jīng)典實(shí)用

1、2.2.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課時(shí)作業(yè) a組基礎(chǔ)鞏固1設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為()ay± x by±2xcy± x dy± x解析：由題意得b1，c .a ，雙曲線的漸近線方程為y± x，即y±x.答案：c2雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()a2 b2 c4 d4解析：將雙曲線2x2y28化成標(biāo)準(zhǔn)方程1，則a24，所以實(shí)軸長(zhǎng)2a4.答案：c3雙曲線mx2y21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于()a b4 c4 d.解析：方程mx2y21表示雙曲線，m<0.將方程化為標(biāo)

2、準(zhǔn)方程為y21.則a21，b2.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，可知b2a，b24a2，4，m.答案：a4中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x4y120上的等軸雙曲線方程是()ax2y28 bx2y24c y2x28 dy2x24解析：令y0，則x4，即c4，又c2a2b2，ab，c22a2，a28.答案：a5(2015·高考全國(guó)卷)已知a，b為雙曲線e的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120°，則e的離心率為()a. b2c. d.解析：不妨取點(diǎn)m在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，則|bm|ab|2a，mbx180°

3、120°60°，m點(diǎn)的坐標(biāo)為.m點(diǎn)在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選d.答案：d6(2015·高考北京卷)已知雙曲線y21(a0)的一條漸近線為xy0，則a_.解析：雙曲線y21的漸近線為y±，已知一條漸近線為xy0，即yx，因?yàn)閍0，所以，所以a.答案：7過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于m，n兩點(diǎn)，以mn為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_解析：由題意知，ac，即a 2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28已知雙曲線c：1(a>0，b>0

4、)的離心率e2，且它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，則雙曲線c的方程為_解析：雙曲線中，頂點(diǎn)與較近焦點(diǎn)距離為ca1，又e2，兩式聯(lián)立得a1，c2，b2c2a2413，方程為x21.答案：x219已知橢圓1和雙曲線1有公共的焦點(diǎn)，求雙曲線的漸近線方程及離心率解析：由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，所以3m25n22m23n2，所以m28n2，即|m|2|n|，所以雙曲線的漸近線方程為y±x，y±x.離心率e，e.10設(shè)a，b分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線

5、的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于m、n兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)d，使t，求t的值及點(diǎn)d的坐標(biāo)解析：(1)由題意知a2，一條漸近線為yx，即bx2y0，b23，雙曲線的方程為1.(2)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，d(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0，將直線方程代入雙曲線方程得x216x840，則x1x216，y1y212，t4，點(diǎn)d的坐標(biāo)為(4，3)b組能力提升1(2020·高考全國(guó)卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()a(1,3)b (1，)c(0,3) d(0，)解析：根據(jù)雙曲

6、線的焦距，建立關(guān)于n的不等式組求解若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即即n>3m2且n<m2，此時(shí)n不存在故選a.答案：a2已知f1，f2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)f1作垂直于x軸的直線交雙曲線于a、b兩點(diǎn)，若abf2為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是()a(1,1) b(1，)c(1，1) d(，1)解析：由abf2為銳角三角形得，<tan 1，即b2<2ac，c2a2<2ac，e22e1<0，解得1<e<1

7、，又e>1，1<e<1.答案：a3(2015·高考全國(guó)卷)已知f是雙曲線c：x21的右焦點(diǎn)，p是c左支上一點(diǎn)，a，當(dāng)apf周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_解析：由雙曲線方程x21可知，a1，c3，故f(3,0)，f1(3,0)當(dāng)點(diǎn)p在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|pf|pf1|2，所以|pf|pf1|2，從而apf的周長(zhǎng)|ap|pf|af|ap|pf1|2|af|.因?yàn)閨af|15為定值，所以當(dāng)(|ap|pf1|)最小時(shí)，apf的周長(zhǎng)最小，由圖象可知，此時(shí)點(diǎn)p在線段af1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示)由題意可知直線af1的方程為y2x6，由得y26y960，解得y

8、2或y8(舍去)，所以sapfsaf1fspf1f×6×6×6×212.答案：124(2015·高考天津卷改編)已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為_解析：由雙曲線的漸近線y±x與圓(x2)2y23相切可知解得故所求雙曲線的方程為x21.答案：x215已知雙曲線c：1(a>0，b>0)的離心率為，且.(1)求雙曲線c的方程；(2)已知直線xym0與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn)a，b，且線段ab的中點(diǎn)在圓x2y25上，求m的值解析：(1)由題意得解得所以b2

9、c2a22.所以雙曲線c的方程為x21.(2)設(shè)a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段ab的中點(diǎn)為m(x0，y0)由得x22mxm220(判別式>0)所以x0m，y0x0m2m.因?yàn)辄c(diǎn)m(x0，y0)在圓x2y25上，所以m2(2m)25.故m±1.6已知雙曲線c：1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是f2(2,0)，離心率e2.(1)求雙曲線c的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線c相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)m，n，線段mn的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的方程解析：(1)由已知得c2，e2，a1，b.所求的雙曲線方程為x21.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，點(diǎn)m(x1，y1)，n(x2，y2)的坐標(biāo)滿足方程組將式代入式，整理得2x22mxm230.(*)設(shè)mn的中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0，y0