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文檔簡介
1、2.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課時作業(yè) a組基礎(chǔ)鞏固1設(shè)雙曲線1(a>0,b>0)的虛軸長為2,焦距為2,則雙曲線的漸近線方程為()ay± x by±2xcy± x dy± x解析:由題意得b1,c .a ,雙曲線的漸近線方程為y± x,即y±x.答案:c2雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是()a2 b2 c4 d4解析:將雙曲線2x2y28化成標(biāo)準(zhǔn)方程1,則a24,所以實(shí)軸長2a4.答案:c3雙曲線mx2y21的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,則m等于()a b4 c4 d.解析:方程mx2y21表示雙曲線,m<0.將方程化為標(biāo)
2、準(zhǔn)方程為y21.則a21,b2.雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,可知b2a,b24a2,4,m.答案:a4中心在原點(diǎn),實(shí)軸在x軸上,一個焦點(diǎn)在直線3x4y120上的等軸雙曲線方程是()ax2y28 bx2y24c y2x28 dy2x24解析:令y0,則x4,即c4,又c2a2b2,ab,c22a2,a28.答案:a5(2015·高考全國卷)已知a,b為雙曲線e的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)m在e上,abm為等腰三角形,且頂角為120°,則e的離心率為()a. b2c. d.解析:不妨取點(diǎn)m在第一象限,如圖所示,設(shè)雙曲線方程為1(a0,b0),則|bm|ab|2a,mbx180°
3、120°60°,m點(diǎn)的坐標(biāo)為.m點(diǎn)在雙曲線上,1,ab,ca,e.故選d.答案:d6(2015·高考北京卷)已知雙曲線y21(a0)的一條漸近線為xy0,則a_.解析:雙曲線y21的漸近線為y±,已知一條漸近線為xy0,即yx,因?yàn)閍0,所以,所以a.答案:7過雙曲線1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于m,n兩點(diǎn),以mn為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為_解析:由題意知,ac,即a 2acc2a2,c2ac2a20,e2e20,解得e2或e1(舍去)答案:28已知雙曲線c:1(a>0,b>0
4、)的離心率e2,且它的一個頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1,則雙曲線c的方程為_解析:雙曲線中,頂點(diǎn)與較近焦點(diǎn)距離為ca1,又e2,兩式聯(lián)立得a1,c2,b2c2a2413,方程為x21.答案:x219已知橢圓1和雙曲線1有公共的焦點(diǎn),求雙曲線的漸近線方程及離心率解析:由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),所以3m25n22m23n2,所以m28n2,即|m|2|n|,所以雙曲線的漸近線方程為y±x,y±x.離心率e,e.10設(shè)a,b分別為雙曲線1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長為4,焦點(diǎn)到漸近線
5、的距離為.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于m、n兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)d,使t,求t的值及點(diǎn)d的坐標(biāo)解析:(1)由題意知a2,一條漸近線為yx,即bx2y0,b23,雙曲線的方程為1.(2)設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),d(x0,y0),則x1x2tx0,y1y2ty0,將直線方程代入雙曲線方程得x216x840,則x1x216,y1y212,t4,點(diǎn)d的坐標(biāo)為(4,3)b組能力提升1(2020·高考全國卷)已知方程1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()a(1,3)b (1,)c(0,3) d(0,)解析:根據(jù)雙曲
6、線的焦距,建立關(guān)于n的不等式組求解若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則又(m2n)(3m2n)4,m21,1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,即即n>3m2且n<m2,此時n不存在故選a.答案:a2已知f1,f2分別是雙曲線1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過f1作垂直于x軸的直線交雙曲線于a、b兩點(diǎn),若abf2為銳角三角形,則雙曲線的離心率的范圍是()a(1,1) b(1,)c(1,1) d(,1)解析:由abf2為銳角三角形得,<tan 1,即b2<2ac,c2a2<2ac,e22e1<0,解得1<e<1
7、,又e>1,1<e<1.答案:a3(2015·高考全國卷)已知f是雙曲線c:x21的右焦點(diǎn),p是c左支上一點(diǎn),a,當(dāng)apf周長最小時,該三角形的面積為_解析:由雙曲線方程x21可知,a1,c3,故f(3,0),f1(3,0)當(dāng)點(diǎn)p在雙曲線左支上運(yùn)動時,由雙曲線定義知|pf|pf1|2,所以|pf|pf1|2,從而apf的周長|ap|pf|af|ap|pf1|2|af|.因?yàn)閨af|15為定值,所以當(dāng)(|ap|pf1|)最小時,apf的周長最小,由圖象可知,此時點(diǎn)p在線段af1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示)由題意可知直線af1的方程為y2x6,由得y26y960,解得y
8、2或y8(舍去),所以sapfsaf1fspf1f×6×6×6×212.答案:124(2015·高考天津卷改編)已知雙曲線1(a0,b0)的一個焦點(diǎn)為f(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切,則雙曲線的方程為_解析:由雙曲線的漸近線y±x與圓(x2)2y23相切可知解得故所求雙曲線的方程為x21.答案:x215已知雙曲線c:1(a>0,b>0)的離心率為,且.(1)求雙曲線c的方程;(2)已知直線xym0與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn)a,b,且線段ab的中點(diǎn)在圓x2y25上,求m的值解析:(1)由題意得解得所以b2
9、c2a22.所以雙曲線c的方程為x21.(2)設(shè)a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段ab的中點(diǎn)為m(x0,y0)由得x22mxm220(判別式>0)所以x0m,y0x0m2m.因?yàn)辄c(diǎn)m(x0,y0)在圓x2y25上,所以m2(2m)25.故m±1.6已知雙曲線c:1(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)是f2(2,0),離心率e2.(1)求雙曲線c的方程;(2)若斜率為1的直線l與雙曲線c相交于兩個不同的點(diǎn)m,n,線段mn的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,求直線l的方程解析:(1)由已知得c2,e2,a1,b.所求的雙曲線方程為x21.(2)設(shè)直線l的方程為yxm,點(diǎn)m(x1,y1),n(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程組將式代入式,整理得2x22mxm230.(*)設(shè)mn的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0,y0
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