完美圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)干貨分享

1、完美圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓(）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn),則有。.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（)(焦點(diǎn)在x軸上）或(）(焦點(diǎn)在軸上)。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（,，)當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。.(2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知,，說(shuō)明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對(duì)稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱,

2、同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱。若同時(shí)以代替,代替方程也不變,則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱.這時(shí),坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心;.頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令,得,則,是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得,即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn).所以,橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸,它們的長(zhǎng)分別為和,和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，,且，即；離心率:橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓

3、的離心率。，,且越接近，就越接近，從而就越小,對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之,越接近于,就越接近于，從而越接近于,這時(shí)橢圓越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A,方程為.2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。注意:式中是差的絕對(duì)值,在條件下;時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支(含的一支);當(dāng)時(shí),表示兩條射線；當(dāng)時(shí),不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),叫做焦距。.（）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍:雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即,即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線

4、的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心,雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。.頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里,對(duì)稱軸是軸，所以令得,因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn).令,沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。)注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的(橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)）,雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。.2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。.漸近線:注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形,矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí),與這兩條直

5、線逐漸接近。.等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ;(2)漸近線互相垂直.注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。.3)注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為: ，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸,當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上.注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換)相同,還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了.3。拋物線（1)拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)f不在定直線l上)。定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。.方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

6、方程.注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是f（，0），它的準(zhǔn)線方程是 ;（)拋物線的性質(zhì)一條拋物線,由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，。這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表:.標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說(shuō)明:（1)通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑;（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心,沒(méi)有漸近線;（3)注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。.4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理1、 方程的曲線：在平面直角

7、坐標(biāo)系中，如果某曲線c（看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 ）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程（x，y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:（1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn),那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。.點(diǎn)與曲線的關(guān)系:若曲線c的方程是（x，y）,則點(diǎn)p0（x0,0)在曲線上f（x,y 0)=0；點(diǎn)p0(0，y0)不在曲線c上f(x,0)0。.兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線c1，c2的方程分別為f1（x，y）=0，2(x，y)=0，則點(diǎn)0（x,y0)是c，c2的交點(diǎn)方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有個(gè)不同的交點(diǎn);方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線就沒(méi)有交

8、點(diǎn)。.二、圓:1、定義：點(diǎn)集mor，其中定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)r為半徑。2、方程:（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c（a,b）,半徑為r的圓方程是(x-a）2（y）r2 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓方程是22=r2(2）一般方程：當(dāng)d2+e-4>0時(shí)，一元二次方程x2+y2d+y+f=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程+y2+x+ey+f=化為（x+）(y+）2=.當(dāng)d2+e2-4f=時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)（-，)；當(dāng)d+-4f0時(shí),方程不表示任何圖形.（3） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知圓心（a，），半徑為，點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x，y0），則|c點(diǎn)m在圓c內(nèi)，mc=r點(diǎn)m在圓c上,mc|>r點(diǎn)在圓c內(nèi)

9、,其中mc=。.（4） 直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn).直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；（ii)利用圓心c（a，b)到直線x+c=的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)判定。.三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p（x，y)到一個(gè)定點(diǎn)（c,0）的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e0），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)f（c，）稱為焦點(diǎn)，定直線稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.當(dāng)0e<1時(shí),軌跡為橢圓；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)1時(shí)，軌跡為雙曲線.四、橢圓、雙曲線

10、、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點(diǎn)1，的距離之和為定值2a(2a1f）的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡。（0<e<1）1.到兩定點(diǎn)f1,2的距離之差的絕對(duì)值為定值2（02a2）的點(diǎn)的軌跡與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（e1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡軌跡條件點(diǎn)集：(m|f1+|mf2=2a，|f 1f2a.點(diǎn)集：m|f1-mf2.=±2,22|>a。點(diǎn)集m| =點(diǎn)m到直線的距離.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程（0）（a>，b0)參數(shù)方程（t為參數(shù)）范圍a£x£a,£y£x|³ ，y&

11、#206;³0中心原點(diǎn)（0,）原點(diǎn)o（0，)頂點(diǎn)（，)， （a，0), （0，b), （0，b）（,), （a，）(0，）對(duì)稱軸x軸,軸;長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b軸，軸；實(shí)軸長(zhǎng)2a， 虛軸長(zhǎng)2b.x軸焦點(diǎn)f1（c，0）, f2(c,0）f1（c,0)， f2（c，0）準(zhǔn) 線x=±準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外x=±準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等。焦距2c （c=）2 (c)離心率e=1【備注1】雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線,其漸近線方程為,離心率。共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線,叫做

12、已知雙曲線的共軛雙曲線。與互為共軛雙曲線,它們具有共同的漸近線：。.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí),它的雙曲線方程可設(shè)為。【備注2】拋物線：(1)拋物線=2p（p)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0），準(zhǔn)線方程- ，開(kāi)口向右;拋物線=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）,準(zhǔn)線方程x，開(kāi)口向左；拋物線=2y（p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,),準(zhǔn)線方程y=-,開(kāi)口向上；.拋物線=2p(>）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，），準(zhǔn)線方程y=，開(kāi)口向下。（2)拋物線=2px（p）上的點(diǎn)m（0,0）與焦點(diǎn)f的距離；拋物線=2(p0)上的點(diǎn)(x,y0）與焦點(diǎn)f的距離.（3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=2px（

13、p0），則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.（4)已知過(guò)拋物線=2px（0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，則線段ab稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)a（1,y1)，b（x2，y2)，則弦長(zhǎng)=+或（為直線b的傾斜角)，,(叫做焦半徑）.五、坐標(biāo)的變換:(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中,把坐標(biāo)系的變換（如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向）叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí),點(diǎn)的位置,曲線的形狀、大小、位置都不改變,僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.（2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變,只改變?cè)c(diǎn)的位置,這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸.（3)坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面

14、內(nèi)任意一點(diǎn)m，它在原坐標(biāo)系oy中的坐標(biāo)是(x,y），在新坐標(biāo)系 y中的坐標(biāo)是設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)o在原坐標(biāo)系xoy中的坐標(biāo)是（h,k)，則 或 .叫做平移（或移軸)公式。（4） 中心或頂點(diǎn)在(h,k）的圓錐曲線方程見(jiàn)下表： 方 程焦 點(diǎn)焦 線對(duì)稱軸橢圓+(±ch，k）x=±+hxh=k+ 1(h，±+)=±+k=hy=雙曲線1(±c+h，k）x=±+kx=hy=k1（，±+h）y±kx=hyk拋物線(y)2=2p（x-h)（+,k）=-+hy=k(-k）2=2(x)(-+h，)x=k(xh）2=2p（y-k）(h, +

15、)y-kx（h）2-p（）（h, +）y=kx=h六、橢圓的常用結(jié)論:1. 點(diǎn)處的切線pt平分f1f2在點(diǎn)p處的外角。2. 平分f1f2在點(diǎn)p處的外角，則焦點(diǎn)在直線t上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。.3. 以焦點(diǎn)弦q為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑p1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切。5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是。6. 若在橢圓外,則過(guò)作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為p1、p，則切點(diǎn)弦p1p的直線方程是。7. 橢圓（ab>）的左右焦點(diǎn)分別為f，f2,點(diǎn)p為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 橢圓(ab0）的焦半徑公式,( ，)。9.

16、設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)f作直線與橢圓相交 p、q兩點(diǎn),a為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)p 和a分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的橢圓準(zhǔn)線于、n兩點(diǎn)，則mfn.10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f的直線與橢圓交于兩點(diǎn)p、q， 、a2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，a1p和2q交于點(diǎn)m,2p和a1q交于點(diǎn)，則mf.11. ab是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，m為b的中點(diǎn)，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是；【推論】:1、若在橢圓內(nèi)，則過(guò)p的弦中點(diǎn)的軌跡方程是。橢圓（>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與軸平行的直線交橢圓于p1、p時(shí)a11與ap2交點(diǎn)的軌跡方程是.、過(guò)橢圓(a0， b0）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓

17、于，c兩點(diǎn)，則直線有定向且（常數(shù))。.3、若p為橢圓(0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，1， f 2是焦點(diǎn), ,則4、設(shè)橢圓(ab）的兩個(gè)焦點(diǎn)為f、f,p（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在pf1f2中,記, ，則有。.、若橢圓(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為1、f2，左準(zhǔn)線為,則當(dāng)e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)，使得f1是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與p2的比例中項(xiàng)。.、p為橢圓（b)上任一點(diǎn)，1，f2為二焦點(diǎn)，a為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立.7、橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是。、已知橢圓（b>0）,o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),且.（1）；（2）op2+oq的最大值為;（3)的最小值是.

18、9、過(guò)橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)f作直線交該橢圓右支于m，兩點(diǎn),弦m的垂直平分線交軸于p,則.1、已知橢圓（ b>0),a、b、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則。11、設(shè)p點(diǎn)是橢圓( a>0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1、f2為其焦點(diǎn)記，則(1)。（2）.12、設(shè)a、b是橢圓(a>）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有（）.（) 。（3） 。.13、已知橢圓(ab）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)在右準(zhǔn)線上,且軸，則直線ac經(jīng)過(guò)線段ef 的中點(diǎn)。.1、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線,

19、與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交,則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直。.15、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直。1、橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率）。 （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)。）1、橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：、點(diǎn)處的切線pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角。2、pt平分pf1在點(diǎn)p處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線p上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去

20、長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。.、以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交4、以焦點(diǎn)半徑p為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切(內(nèi)切:p在右支;外切:p在左支）5、若在雙曲線(0,b）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是。6、若在雙曲線（>0，b0）外 ,則過(guò)po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為p、p2，則切點(diǎn)弦p1p的直線方程是.7、雙曲線(0，bo)的左右焦點(diǎn)分別為f,f ，點(diǎn)p為雙曲線上任意一點(diǎn),則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8、雙曲線（a,b>o)的焦半徑公式：( ， ）當(dāng)在右支上時(shí)，,；當(dāng)在左支上時(shí),，。9、設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)f作直線與雙曲線相交 p、兩點(diǎn),為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)ap和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)

21、f的雙曲線準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn),則mfnf.1、過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)f的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p、q， a1、a2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),a1和a2交于點(diǎn)m，ap和aq交于點(diǎn)n,則fn.11、是雙曲線（a0,0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，m為a的中點(diǎn)，則,即。12、若在雙曲線（a0,>0）內(nèi)，則被所平分的中點(diǎn)弦的方程是13、若在雙曲線(a，b0）內(nèi)，則過(guò)o的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.【推論】:1、雙曲線(>0，b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時(shí)a1與2p交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過(guò)雙曲線（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于b，c兩點(diǎn)，則直線bc有定向且（常數(shù)）。

22、.、若p為雙曲線（,b0)右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，f1, f 是焦點(diǎn)， , ,則(或).4、設(shè)雙曲線（a>,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、f2,p（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在pf1f2中，記, ，,則有.5、若雙曲線（a0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,左準(zhǔn)線為l，則當(dāng)1<e時(shí),可在雙曲線上求一點(diǎn)p，使得pf1是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與pf2的比例中項(xiàng)。.、為雙曲線（>0,b>0）上任一點(diǎn)，f，f2為二焦點(diǎn)，a為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7、雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是。8、已知雙曲線（b>

23、 >0），為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),且。(1）；（2)p2q|2的最小值為；（3)的最小值是。9、過(guò)雙曲線（,b>0）的右焦點(diǎn)f作直線交該雙曲線的右支于，n兩點(diǎn)，弦n的垂直平分線交x軸于p,則.10、已知雙曲線(,b>0），、b是雙曲線上的兩點(diǎn),線段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)， 則或。.11、設(shè)點(diǎn)是雙曲線(a0,0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，f1、f2為其焦點(diǎn)記，則（1）（）.12、設(shè)a、是雙曲線（a0,b0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)， ，、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).（2) .().3、已知雙曲線（a,b>0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于a、b兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸,則直線c經(jīng)過(guò)線段f 的中點(diǎn)。.1、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直。.15、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直。16、雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率）.(注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.1