氣體的等溫變化玻意耳定律典型例題

1、3eud教育網(wǎng) 百萬(wàn)教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無(wú)須注冊(cè)，天天更新！氣體的等溫變化、玻意耳定律典型例題【例1】一個(gè)氣泡從水底升到水面時(shí)，它的體積增大為原來(lái)的3倍，設(shè)水的密度為=1×103kgm3，大氣壓強(qiáng)p0=1.01×105pa，水底與水面的溫度差不計(jì)，求水的深度。取g=10ms2?！痉治觥繗馀菰谒讜r(shí)，泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)等于水面上大氣壓與水的靜壓強(qiáng)之和。氣泡升到水面上時(shí)，泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)減小為與大氣壓相等，因此其體積增大。由于水底與水面溫度相同，泡內(nèi)氣體經(jīng)歷的是一個(gè)等溫變化過(guò)程，故可用玻意耳定律計(jì)算?！窘獯稹吭O(shè)氣泡在水底時(shí)的體積為v1、壓強(qiáng)為：p1=p0+gh氣泡升到水面時(shí)的體積為v

2、2，則v2=3v1，壓強(qiáng)為p2=p0。由玻意耳定律 p1v1=p2v2，即（p0+gh）v1=p0·3v1得水深【例2】如圖1所示，圓柱形氣缸活塞的橫截面積為s，下表面與水平面的夾角為，重量為g。當(dāng)大氣壓為p0，為了使活塞下方密閉氣體的體積減速為原來(lái)的1/2，必須在活塞上放置重量為多少的一個(gè)重物（氣缸壁與活塞間的摩擦不計(jì)）【誤解】活塞下方氣體原來(lái)的壓強(qiáng)設(shè)所加重物重為g，則活塞下方氣體的壓強(qiáng)變?yōu)?氣體體積減為原的1/2，則p2=2p1【正確解答】據(jù)圖2，設(shè)活塞下方氣體原來(lái)的壓強(qiáng)為p1，由活塞的平衡條件得同理，加上重物g后，活塞下方的氣體壓強(qiáng)變?yōu)闅怏w作等溫變化，根據(jù)玻意耳定律：得 p2=

3、2p1 g=p0s+g【錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】從壓強(qiáng)角度解題本來(lái)也是可以的，但免發(fā)生以上關(guān)于壓強(qiáng)計(jì)算的錯(cuò)誤，相似類型的題目從力的平衡入手解題比較好。在分析受力時(shí)必須注意由氣體壓強(qiáng)產(chǎn)生的氣體壓力應(yīng)該垂直于接觸面，氣體壓強(qiáng)乘上接觸面積即為氣體壓力，情況就如【正確解答】所示?！纠?】一根兩端開(kāi)口、粗細(xì)均勻的細(xì)玻璃管，長(zhǎng)l=30cm，豎直插入水銀槽中深h0=10cm處，用手指按住上端，輕輕提出水銀槽，并緩緩倒轉(zhuǎn)，則此時(shí)管內(nèi)封閉空氣柱多長(zhǎng)？已知大氣壓p0=75cmhg?！痉治觥坎迦胨y槽中按住上端后，管內(nèi)封閉了一定質(zhì)量氣體，空氣柱長(zhǎng)l1=l-h0=20cm，壓強(qiáng)p1=p0=75cmhg。輕輕提出水

4、銀槽直立在空氣中時(shí)，有一部分水銀會(huì)流出，被封閉的空氣柱長(zhǎng)度和壓強(qiáng)都會(huì)發(fā)生變化。設(shè)管中水銀柱長(zhǎng)h，被封閉氣體柱長(zhǎng)為l2=l-h。倒轉(zhuǎn)后，水銀柱長(zhǎng)度仍為h不變，被封閉氣體柱長(zhǎng)度和壓強(qiáng)又發(fā)生了變化。設(shè)被封閉氣體柱長(zhǎng)l3。所以，管內(nèi)封閉氣體經(jīng)歷了三個(gè)狀態(tài)。由于“輕輕提出”、“緩緩倒轉(zhuǎn)”，意味著都可認(rèn)為溫度不變，因此可由玻意耳定律列式求解?！窘狻扛鶕?jù)上面的分析，畫(huà)出示意圖（圖a、b、c）。氣體所經(jīng)歷的三個(gè)狀態(tài)的狀態(tài)參量如下表所示：由于整個(gè)過(guò)程中氣體的溫度不變，由玻意耳定律：p1v1=p2v2=p3v3即75×20s=（75-h）（30-h）s=（75+h）l3s由前兩式得：h2-105h+75

5、0=0取合理解 h=7.7cm，代入得【說(shuō)明】必須注意題中隱含的狀態(tài)（b），如果遺漏了這一點(diǎn)，將無(wú)法正確求解。【例4】容器a的容積是10l，用一根帶閥門(mén)的細(xì)管，與容器b相連。開(kāi)始時(shí)閥門(mén)關(guān)閉， a內(nèi)充有10atm的空氣，b是真空。后打開(kāi)閥門(mén)把a(bǔ)中空氣放一些到b中去，當(dāng)a內(nèi)壓強(qiáng)降到4atm時(shí)，把閥門(mén)關(guān)閉，這時(shí)b內(nèi)壓強(qiáng)是3atm。求容器b的容積。假設(shè)整個(gè)過(guò)程中溫度不變。【分析】對(duì)流入容器b的這部分空氣，它后來(lái)的狀態(tài)為壓強(qiáng)pb=3atm，體積vb（容器b的容積）。為了找出這部分空氣的初態(tài)，可設(shè)想讓容器a中的空氣作等溫膨脹，它的壓強(qiáng)從10atm降為4atm時(shí)逸出容器a的空氣便是進(jìn)入b內(nèi)的空氣，于是即可確

6、定初態(tài)。【解答】先以容器a中空氣為研究對(duì)象，它們等溫膨脹前后的狀態(tài)參量為：va=10l，pa=10atm；v'a=？，p'a=4atm。由玻意耳定律 pava=p'av'a，得如圖1所示。再以逸出容器a的這些空氣為研究對(duì)象，它作等溫變化前后的狀態(tài)為：p1=p'a=4atm，v1=v'a-va=15lp'1=3atm，v'1=vb同理由玻意耳定律 p1v1=p'1vb，得所以容器b的容積是20l?！菊f(shuō)明】本題中研究對(duì)象的選取至關(guān)重要，可以有多種設(shè)想。例如，可先以后來(lái)充滿容器a的氣體為研究對(duì)象（見(jiàn)圖2）假設(shè)它原來(lái)在容器a中占的

7、體積為vx，這部分氣體等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強(qiáng)pa=10atm、體積vx，變化后：壓強(qiáng)pa=4atm 體積vx=va=10l。由 pavx=pavx由此可見(jiàn)，進(jìn)入b中的氣體原來(lái)在a內(nèi)占的體積為va-vx=（10-4）l=6l。再以這部分氣體為研究對(duì)象，它在等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強(qiáng)p1=10atm，體積v1=6l，變化后：壓強(qiáng)p2=3atm，體積v2=vb由玻意耳定律得容器b的容積為：決定氣體狀態(tài)的參量有溫度、體積、壓強(qiáng)三個(gè)物理量，為了研究這三者之間的聯(lián)系，可以先保持其中一個(gè)量不變，研究另外兩個(gè)量之間的關(guān)系，然后再綜合起來(lái)。這是一個(gè)重要的研究方法，關(guān)于氣體性質(zhì)的研究也正是按照

8、這個(gè)思路進(jìn)行的?！纠?】一容積為32l的氧氣瓶充氣后壓強(qiáng)為1300n/cm2。按規(guī)定當(dāng)使用到壓強(qiáng)降為100n/cm2時(shí)，就要重新充氣。某廠每天要用400l氧氣（在1atm下），一瓶氧氣能用多少天（1atm=10n/cm2）？設(shè)使用過(guò)程中溫度不變。【分析】這里的研究對(duì)象是瓶中的氧氣。由于它原有的壓強(qiáng)（1300n/cm2），使用后的壓強(qiáng)（100n/cm2）、工廠應(yīng)用時(shí)的壓強(qiáng)（10n/cm2）都不同，為了確定使用的天數(shù)，可把瓶中原有氧氣和后來(lái)的氧氣都轉(zhuǎn)化為1atm，然后根據(jù)每天的耗氧量即可算出天數(shù)?！窘狻孔鞒鍪疽鈭D如圖1所示。根據(jù)玻意耳定律，由p1v1=p1v1，p2v2=p2v2得所以可用天數(shù)為：

9、【說(shuō)明】根據(jù)上面的解題思路，也可以作其他設(shè)想。如使后來(lái)留在瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成1300n/cm2的壓強(qiáng)狀態(tài)下，或使原來(lái)瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成100n/cm2的壓強(qiáng)狀態(tài)下，統(tǒng)一了壓強(qiáng)后，就可由使用前后的體積變化算出使用天數(shù)。上面解出的結(jié)果，如果先用文字代入并注意到p1=p2=p0 ，即得或p1v1=p2v2+np0v0這就是說(shuō)，在等溫變化過(guò)程中，當(dāng)把一定質(zhì)量的氣體分成兩部分（或幾部分），變化前后pv值之和保持不變（圖2）。這個(gè)結(jié)果，實(shí)質(zhì)上就是質(zhì)量守恒在等溫過(guò)程中的具體體現(xiàn)。在氣體的分裝和混合等問(wèn)題中很有用?！纠?】如圖所示，容器a的容積為va=100l，抽氣機(jī)b的最

10、大容積為vb=25l。當(dāng)活塞向上提時(shí)，閥門(mén)a打開(kāi)，閥門(mén)b關(guān)閉；當(dāng)活塞向下壓時(shí)，閥門(mén)a關(guān)閉，閥門(mén)b打開(kāi)。若抽氣機(jī)每分鐘完成4次抽氣動(dòng)作，求抽氣機(jī)工作多長(zhǎng)時(shí)間，才能使容器a中氣體的壓強(qiáng)由70cmhg下降到7.5cmhg（設(shè)抽氣過(guò)程中容器內(nèi)氣體的溫度不變）？【誤解】設(shè)容器中氣體等溫膨脹至體積v2，壓強(qiáng)由70cmhg下降到7.5cmhg，根據(jù)pava=p2v2得所需時(shí)間【正確解答】設(shè)抽氣1次后a中氣體壓強(qiáng)下降到p1，根據(jù)pava=p1（va+vb）得第二次抽氣后，壓強(qiáng)為p2，則同理，第三次抽氣后，抽氣n次后，氣體壓強(qiáng)代入數(shù)據(jù)得：n=10（次）【錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】的原因是不了解抽氣機(jī)的工作過(guò)程

11、，認(rèn)為每次抽入抽氣機(jī)的氣體壓強(qiáng)均為7.5cmhg。事實(shí)上，每次抽氣過(guò)程中被抽氣體體積都是vb，但壓強(qiáng)是逐步減小的，只是最后一次抽氣時(shí)，壓強(qiáng)才降低至7.5cmhg。因此，必須逐次對(duì)抽氣過(guò)程列出玻意耳定律公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解。【例7】有開(kāi)口向上豎直安放的玻璃管，管中在長(zhǎng)h的水銀柱下方封閉著一段長(zhǎng)l的空氣柱。當(dāng)玻璃管以加速度a向上作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，空氣柱的長(zhǎng)度將變?yōu)槎嗌?？已知?dāng)天大氣壓為p0，水銀密度為，重力加速度為g?！菊`解】空氣柱原來(lái)的壓強(qiáng)為p1=p0+h當(dāng)玻璃管向上作勻加速動(dòng)時(shí)，空氣柱的壓強(qiáng)為p2，對(duì)水銀柱的加速運(yùn)動(dòng)有p2s-p0s-mg=ma即 p2=p0+（g+a）h考慮空氣的狀態(tài)

12、變化有p1ls=p2ls【正確解答】空氣柱原來(lái)的壓強(qiáng)為p1=p0+gh當(dāng)玻璃管向上作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，空氣柱的壓強(qiáng)為p2，由水銀柱加速度運(yùn)動(dòng)得p2s-p0s-mg=ma p2=p0+（g+a）h氣體作等溫變化p1ls=p2ls 【錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)】 本題是動(dòng)力學(xué)和氣體狀態(tài)變化結(jié)合的綜合題。由于牛頓第二定律公式要求使用國(guó)際單位，所以壓強(qiáng)的單位是“pa”?！菊`解】中p1=p0+h，由動(dòng)力學(xué)方程解得p2=p0+·（g+a）h，在壓強(qiáng)的表示上，h和（g+a）h顯然不一致，前者以cmhg作單位是錯(cuò)誤的。所以在解答此類習(xí)題時(shí)，要特別注意統(tǒng)一單位，高為h的水銀柱的壓強(qiáng)表達(dá)為p=gh是解題中一個(gè)要點(diǎn)。

13、例8如圖所示，內(nèi)徑均勻的u型玻璃管豎直放置，截面積為5cm2，管右側(cè)上端封閉，左側(cè)上端開(kāi)口，內(nèi)有用細(xì)線栓住的活塞。兩管中分別封入l=11cm的空氣柱a和b，活塞上、下氣體壓強(qiáng)相等為76cm水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)，這時(shí)兩管內(nèi)的水銀面的高度差h=6cm，現(xiàn)將活塞用細(xì)線緩慢地向上拉，使兩管內(nèi)水銀面相平。求（1）活塞向上移動(dòng)的距離是多少？（2）需用多大拉力才能使活塞靜止在這個(gè)位置上？分析兩部分氣體是靠壓強(qiáng)來(lái)聯(lián)系u型玻璃管要注意水銀面的變化，一端若下降xcm另一端必上升xcm，兩液面高度差為2xcm，由此可知，兩液面相平，b液面下降h/2，a管液面上升h/2在此基礎(chǔ)上考慮活塞移動(dòng)的距離解答（1）對(duì)于b段氣體p

14、b1=76-6=70（cmhg） pb2=pvb1=11s(cm3) vb2=(11+3)s(cm3)根據(jù)玻意耳定律 pb1vb1=pb2vb2對(duì)于a段氣體pa1=76(cmhg) pa2=pb2=55(cmhg)va1=11s(cm3) va2=l's(cm3)根據(jù)玻意耳定律 pa1va1=pa2va2對(duì)于活塞的移動(dòng)距離：h'=l'+3-l=15.2+3-11=7.2(cm)（2）對(duì)于活塞平衡，可知f+pa2s=p0sf=p0s-ps說(shuō)明u型管粗細(xì)相同時(shí)，一側(cè)水銀面下降hcm，另一側(cè)水銀面就要上升hcm，兩部分液面高度差變化于2hcm，若管子粗細(xì)不同，應(yīng)該從體積的變化

15、來(lái)考慮，就用幾何關(guān)系解決物理問(wèn)題是常用的方法。例9如圖所示，在水平放置的容器中，有一靜止的活塞把容器分隔成左、右兩部分，左側(cè)的容積是1.5l，存有空氣；右側(cè)的容積是3l，存有氧氣，大氣壓強(qiáng)是76cmhg。先打開(kāi)閥門(mén)k，當(dāng)與容器中空氣相連的u形壓強(qiáng)計(jì)中左、右水銀面的高度差減為19cm時(shí)，關(guān)閉閥k。求后來(lái)氧氣的質(zhì)量與原來(lái)氧氣的質(zhì)量之比（系統(tǒng)的溫度不變，壓強(qiáng)計(jì)的容積以及摩擦不計(jì)）。分析對(duì)于密封的一定質(zhì)量空氣把原來(lái)容器中的氧氣做為研究對(duì)象容器外（放走的）氧氣體積vv=(v1'+v2')-(v1+v2)在后來(lái)狀態(tài)下，氧氣密度相同解答對(duì)于空氣（溫度不變）對(duì)于氧氣（溫度不變）做為研究對(duì)象容器

16、外的氧氣（假設(shè)仍處于末態(tài)）的體積說(shuō)明：理想氣體的狀態(tài)方程，是對(duì)一定量的氣體而言，當(dāng)它的狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，狀態(tài)參量之間的變化規(guī)律。遵守氣態(tài)方程。而兩部分氣體時(shí)，要各自分別應(yīng)用狀態(tài)方程。再通過(guò)力學(xué)條件，找到這兩部分氣之間壓強(qiáng)或體積的關(guān)系。本題容器內(nèi)的氧氣是屬于變質(zhì)量問(wèn)題，也可以把它假想成質(zhì)量不變來(lái)處理。氣體單位體積的分子數(shù)相等，質(zhì)量和體積成正比，可求得剩余質(zhì)量（或放出的質(zhì)量）與原質(zhì)量之間的比例關(guān)系。求物體的質(zhì)量可以用m=v某個(gè)狀態(tài)時(shí)的密度和該狀態(tài)時(shí)體積的乘積，而氣態(tài)方程也可以寫(xiě)做密度形式常用此式求某一狀態(tài)時(shí)氣體單位體積的分子數(shù)，然后再求氣體的質(zhì)量。例10一橫截面積為s的氣缸水平放置，固定不動(dòng)，氣缸壁是導(dǎo)熱的，兩個(gè)活塞a和b將氣缸分隔為1、2兩氣室，達(dá)到平衡時(shí)1、2兩氣室體積之比為32，如圖所示，在室溫不變的條件下，緩慢推動(dòng)活塞a，使之向右移動(dòng)一段距離d，求活塞b向右移動(dòng)的距離，不計(jì)活塞與氣缸壁之間的摩擦。分析氣缸水平放置，不計(jì)活塞與氣缸壁的摩擦，平衡時(shí)，兩氣室的壓強(qiáng)必相等。兩氣室各密封一定量的氣體，緩慢推動(dòng)活塞，故溫度保持不變，分別運(yùn)用玻意耳定律解題