用幾何畫板研究拋物線的畫法和應(yīng)用

1、用幾何畫板研究拋物線的畫法和應(yīng)用 一拋物線的定義1 在平面內(nèi)，與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。2 拋物線的標(biāo)準方程： 從定點f向定直線l作垂線，垂足為k，取kf的中點o作為原點，kf所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)|kf|p，則f點的坐標(biāo)是 (, 0),準線l的方程是x，設(shè)拋物線上任意一點的坐標(biāo)是m(x, y)，自m點向準線作垂線，垂足是d，則|mf|md| |x| 整理得到拋物線的標(biāo)準方程為 y22px. (p>0) 二拋物線的畫法 畫法1： 1先畫出定點f和定直線l，按要求畫出直角坐標(biāo)系； 2在圖形外畫一條射

2、線bc，在射線bc上取一點m(m點為動點)； 3在bc反方向上取一點a，使|ab|of|，作線段am； 4以f為圓心，|am|為半徑作圓； 5先后選定a、m點，用“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”功能，標(biāo)記向量am，選中 直線l，用“變換”菜單中的“平移”功能，將直線l平移；6平移后的直線與圓相交，定義交點為p、q；將它們定義為“追蹤點”；先后選定 p、m兩點，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線的一部分，同樣先后 選定q、m兩點，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線的另一部分； 在射線bc上拖動m點，則p、q兩點的軌跡畫出拋物線。 理論根據(jù)：p點在以f為圓心，|am|為半徑的圓上， |

3、pf|am|，又將準線平移了am的長度， p點到準線的距離等于|am|。 畫法2 1先畫出定點f和定直線l，按要求畫出直角坐標(biāo)系； 2在直線l上取一點m(m點為動點)； 3連接mf，作線段mf的中垂線； 4過m點作直線l的垂線與mf的中垂線相交于p點，將它定義為追蹤點； 5先后選定p、m兩點，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線； 6在直線l上拖動m點，則p點的軌跡是拋物線 理論根據(jù)： pm準線，pm是p點到準線的距離，又|pf|是p點到焦點f的距離，p點在mf的中垂線上，所以|pm|pf|。 畫法3 1作長方形abcd，取cd的中點o，作ohcd； 2將od平均分成n份，在每個分點作c

4、d的垂線a1a1，a2a2，； 3將da也分成n份，連接每個分點與o點的線段ob1，ob2，； 4將a1a1與 ob1，a2a2與ob2，的交點畫出，用平滑的曲線依次連接對應(yīng)各點，得到拋物線的一半； 5同樣方法畫出另一半。 6在線段od上取一點m，作mnod，計算om與od的比，標(biāo)記為比例因子； 7以d點為放縮中心，將a點用標(biāo)記比縮放得到r點； 8連接or，與mn交于p點； 9將p點標(biāo)記為追蹤點； 10把oh標(biāo)記為鏡面，作p點的對稱點p，同時標(biāo)記為追蹤點； 11在od上拖動m點，則p點和p點的軌跡是拋物線。 說明： 第二步到第五步，是解析幾何課本上給出的畫法，我們用第六步到第十一步在幾何畫板上

5、實現(xiàn)。 三有關(guān)拋物線的問題研究 (一) 拋物線的焦點弦理論根據(jù)：拋物線y22px的焦點f(, 0)，過f點的弦ab兩點的縱坐標(biāo)y1, y2，則y1y2p2， 在拋物線上選定a點之后，可以計算出b點的縱坐標(biāo)。利用它畫出b點。 畫法： 1用焦點f和準線畫一條拋物線，計算p的值，即f點到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點”得到a點； 3從a點作準線的垂線，垂足為m，計算m點到x軸的距離； 4用y1y2p2，算出另一點n的縱坐標(biāo)y2, 5在準線上找到縱坐標(biāo)為y2的b'點； 6用拋物線畫法2中的方法畫出b'點在拋物線上的對應(yīng)點b； 7連接ab，則ab為拋物線的焦點弦； 8

6、作ab的中點c，以c點為圓心，ca為半徑作圓，此圓與準線相切； 9選中a點，在拋物線上拖動a點，發(fā)現(xiàn)b點始終在拋物線上，且圓c與準線相切。 結(jié)論：以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切。 (二) 拋物線中過定點p(x0, y0)的弦 理論根據(jù)： 在拋物線y22px中作過定點p(x0, y0)的弦mn，設(shè)m(x1, y1), n(x2, y2), mn的中點c(x0, y0), 有, 兩式相減得 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2) , 直線mpn的斜率k, 由m、p兩點求出斜率k，即可求出y0的值，這樣就求得了mn的中點c，用c點作為中心，就得到了m點關(guān)于c點的對稱點n。 畫法： 1用焦點f和

7、準線畫一條拋物線，計算p的值，即f點到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點”得到m點； 3作直線mp，計算直線mp的斜率，記為k； 4用p, k的值計算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 5作y軸上，將原點o用標(biāo)記距離平移得到d點，過d點作x軸的平行線交直線mp于c點； 6用變換菜單將c點標(biāo)記為中心，以c為中心，將p點旋轉(zhuǎn)180°得到n點； 7作線段mn，并隱藏直線mp，線段mn就是過定點p的弦。 8在拋物線上拖動m點，則n點始終在拋物線上且mn經(jīng)過p點，此時c點為mn的中點。 (三) 作拋物線中斜率一定的平行弦 理論根據(jù)： 在拋物線y22px中作斜率為k的平行弦

8、mn，設(shè)m(x1, y1), n(x2, y2), mn的中點c(x0, y0), 有, 兩式相減得 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2) , k, y0, 可求出y0的值，用y0的值作平行于x軸的直線與過m點且斜為率k的直線相交，就得到了mn的中點c，用c點作為中心，可得到了m點關(guān)于c點的對稱點n。 畫法： 1用焦點f和準線畫一條拋物線，計算p的值，即f點到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點”得到p點； 3在外面畫一條線段，計算它的斜率k； 4選中p點和此線段，用作圖菜單中的平行線功能作直線pr； 5用p, k的值計算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 6作y軸上，

9、將原點o用標(biāo)記距離平移得到d點，過d點作x軸的平行線交直線pr于m點； 7用變換菜單將m點標(biāo)記為中心，以m為中心，將p點旋轉(zhuǎn)180°得到n點； 8作線段pq，并隱藏直線pr，線段pq就是斜率為k的弦。 9在拋物線上拖動p點，則q點始終在拋物線上且pq的斜率為k，此時m點為mn的中點。 (四) 過拋物線的頂點且相互垂直的弦 理論根據(jù)： 在拋物線中，a點為任意一點，則直線ao的斜率k1可求， oaob， 直線ob的斜率k2可以求出，根據(jù)前面的畫圖方法，在拋物線上過定點o且斜率為k2的弦ob是可以畫出的，這樣得到b點， ob與oa始終垂直。 畫法： 1用焦點f和準線畫一條拋物線，計算p的值

10、，即f點到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點”得到a點，作線段oa； 3選中點o和線段oa，作oa的垂線ob； 4用前面作平行弦的方法，以o為定點，k2為斜率，計算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 5將o點在y軸上用“標(biāo)記距離”平移得到點d，過點d作x軸的平行線交直線ob于點n； 6把點n定義為旋轉(zhuǎn)中心，將o點旋轉(zhuǎn)180°得到點b，則點b在拋物線上； 7連接ab，abc是一個直角三角形，aob90° 8作ab的中點m將m點定義為追蹤點，在拋物線上拖動a點，觀察m的軌跡。四拋物線的切線(一)過拋物線上一點p的切線：1在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一條拋物線，

11、同時畫出它的準線和焦點；2在拋物線上取定點p，準備畫過點p的切線；3連接線段pf，過點p作ox軸的平行線交準線于點d；4連接線段df，作它的中點m；5連接直線pm，則直線pm是拋物線過點p的切線。理論根據(jù)：這種作圖的方法實際上是把畫拋物線的方法反過來的一種作法。在畫拋物線時，我們是先在準線上取一點d，然后連接df，作df的中垂線pm與過點d且平行于ox軸的直線交于點p。點p是拋物線上的一點，而且這樣由點d確定拋物線上的點只有這一個點p，所以直線pm與拋物線有且只有一個交點，直線pm是拋物線過點p的切線。(二) 過拋物線外一點作拋物線的切線：1在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一條拋物線，同時畫出它的準線和焦點；2在拋物線外取定點p，準備畫過點p的切線；3連接線段pf，以點p為圓心。|pf|為半徑作圓交拋物線的準線于點m和點n；4分別連接mf和nf，作mf和nf的中