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§1.5 行列式展開(kāi)定理一、余子式，代數(shù)余子式的定義在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做的余子式，記作；記叫做元素的代數(shù)余子式。例如四階行列式中元素的余子式與代數(shù)余子式分別為：二、行列式的按行（列）展開(kāi)法則定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即：或證明：1）d經(jīng)過(guò)次行對(duì)換得再經(jīng)過(guò)次列對(duì)換得：所以。3）根據(jù)引理即得：。類(lèi)似地，若按列證明可得：推論：行列式某一行（列）的元素與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即： 或證明：在上式中把換成可得：當(dāng)時(shí)，上式右端行列式中有兩行對(duì)應(yīng)元素相同，故行列式等于零，即：上述證法按列證明即可得： 或三、綜合舉例例1.計(jì)算行列式解：d=例2. 設(shè)： d的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求。解：因?yàn)榈扔谟?，1，1，1代替d的第一行所得的行列式，即=4例3：計(jì)算行列式d=按最后一列展開(kāi)得：d例4：計(jì)算行列式解：從第4行開(kāi)始后行減前行例5：證明范德蒙行列式證明：用數(shù)學(xué)歸納法：因?yàn)樗詴r(shí)命題成立。假設(shè)命題對(duì)于階行列式成立，要證明命題對(duì)n階范德蒙行列式也成立。設(shè)法把降階，從第n行開(kāi)始，后一行減前一行的倍得：按第1行展開(kāi)，并把每一列的公因子提出，有，按歸納假設(shè)，上式右端等于所有因子的乘積，其中，故例6：計(jì)算2n階行列式其中

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