本科畢業(yè)論文偏導(dǎo)數(shù)在微積分解題中的若干應(yīng)用

1、編號： 本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題目：偏導(dǎo)數(shù)在微積分解題中的若干應(yīng)用 學(xué) 院 xxxxx學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號 xxxxxxxxxxxx 姓名 xxx 指導(dǎo)教師 xxx 職稱：xx完成日期 201x-xx-xx 誠 信 承 諾我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文偏導(dǎo)數(shù)在微積分解題中的若干應(yīng)用均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注釋，若有不實，后果由本人承擔(dān)。 承諾人（簽名）：xxx 201x 年 xx月 xx日偏導(dǎo)數(shù)在微積分解題中的若干應(yīng)用姓名：xxx 學(xué)號：xxxxxxxxxx指導(dǎo)老師：xxx摘要：本文主要介紹偏導(dǎo)數(shù)的定義、意義以及它在極限、積分、幾何和求

2、極值問題中的具體應(yīng)用，給出相關(guān)定義、定理、推論，然后用它們來解決相關(guān)問題。關(guān)鍵詞：偏導(dǎo)數(shù) 積分 多元函數(shù) 微分 法向量偏導(dǎo)數(shù)在微積分解題中處于重要的地位。一方面它能銜接初等高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生在由有限到無限這種思想教育方面起到特殊作用，關(guān)于許多初等數(shù)學(xué)在思想和方法上的不足有所突破，為解決更多數(shù)學(xué)問題提供了方法，而且更具技巧性；另一方面它具有很強的知識交匯功能，可以聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容，如與極限、積分、幾何和經(jīng)濟學(xué)中的極值等內(nèi)容聯(lián)系緊密，融會貫通，并成為解決相關(guān)問題的重要工具，更加方便快捷。本文主要介紹偏導(dǎo)數(shù)的定義、價值以及它在極限、積分、幾何和求極值問題中具體應(yīng)用。其中在極限方面的應(yīng)用主要

3、是利用偏導(dǎo)數(shù)為工具，給出二元函數(shù)的洛必達(dá)法則，進(jìn)而求出二元函數(shù)的極限；在積分方面的應(yīng)用主要是通過三個重要公式格林公式、高斯公式、斯托克斯公式三者所揭示的曲線積分、曲面積分和重積分的關(guān)系，依據(jù)三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系把它們運用到對問題的轉(zhuǎn)化之中；在幾何方面的應(yīng)用主要是利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求解空間曲線的切線與法平面方程以及求曲面的切平面和法線方程，然后將多元函數(shù)微分法在幾何中的應(yīng)用移植到平面相關(guān)問題中，求解二維相關(guān)問題；最后將介紹偏導(dǎo)數(shù)在求極值問題中的應(yīng)用，主要是對二元函數(shù)極值判定的應(yīng)用。多元函數(shù)的關(guān)于其中一個自變量的變化率，就稱為多元函數(shù)對于的偏導(dǎo)數(shù)，這里只回憶二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義。定義：設(shè)函數(shù) 的某

4、一鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限 存在時，稱這個極限為函數(shù)。若函數(shù)在區(qū)域上每一點都存在對的偏導(dǎo)數(shù)，則得到函數(shù)在區(qū)域上對的偏導(dǎo)函數(shù)（也簡稱偏導(dǎo)數(shù)）記作，。下面我們將一一介紹偏導(dǎo)數(shù)在極限、積分、幾何以及求極值問題中的應(yīng)用。一、利用二元函數(shù)的洛必達(dá)法則求函數(shù)極限1. 二元無窮大量與無窮小量的階 我們以前曾學(xué)過一元無窮大量的階定義為：設(shè)函數(shù)為當(dāng) (為某一正數(shù))時，稱為階無窮大量，此時等價。類似地這樣我們可以定義二元無窮大量的階。定義.設(shè)二元函數(shù)無窮大量無窮大量，若以 作為基本無窮大量，則當(dāng)（為某一正數(shù)）時，稱為階無窮大量，此時與等價。定義.設(shè)二元函數(shù)為當(dāng)時的無窮小量，若以作為基本無窮小量，則當(dāng)（為某一正數(shù)）時

5、，稱為階無窮小量，此時與等價。2. 二元函數(shù)的洛必達(dá)法則根據(jù)上面給出的相關(guān)定義，我們可以對照一元函數(shù)的洛必達(dá)法則來給出二元函數(shù)的洛必達(dá)法則，可以參見文獻(xiàn)5,這里重述如下：定理.若二元函數(shù),滿足：（1） 在區(qū)域內(nèi)有定義，為的一個聚點;（2） ;（3） 在區(qū)域內(nèi)有對的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且（4） 存在（或為無窮大）則=。其中：定理1只是當(dāng)型不定式極限的情形，以下再給出當(dāng)型的不定式極限的形式。定理.設(shè)二元函數(shù) ，滿足：（1）（2）對充分大的，有對的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且（3）存在（或為無窮大）則=。其中：定理1、定理2是二元函數(shù)的型不定式極限的洛必達(dá)法則，對型不定式極限也可以給出相類似的定理。說明：在型或型不定式極

6、限中，若自變量的變化過程為則若則同理，若。對于一些特殊的二元函數(shù)的型或型極限如果使用二元函數(shù)的洛必達(dá)法則變換后得到此極限的常數(shù)倍，那么此極限由這個常數(shù)的范圍決定。定理.設(shè)，則（1） 當(dāng)時=0；（2） 當(dāng)時=說明：（1）將定理3中的改成或，結(jié)果不影響。（2）當(dāng)時，此極限是否存在不一定，需要用其他方法求解。定理.設(shè)，且，則（1）當(dāng)時=0；（2）當(dāng)時=注：（1）將定理4中的改成，結(jié)果不影響。（2）當(dāng)時，此極限是否存在不一定，需要用其他方法求解。以下我將用幾個實例來說明二元函數(shù)洛必達(dá)法則的應(yīng)用，以達(dá)到熟悉理解的程度。例1解： = = =4 例2. 解：= = =0例3解：= 由定理4及>1得=以

7、上是二元函數(shù)的洛必達(dá)則及應(yīng)用把它推廣到三元函數(shù)同樣適用如：例4. 解：= 由定理3及>1得=0二、偏導(dǎo)數(shù)在格林公式、高斯公式和斯托克斯三大公式中的應(yīng)用 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式分別揭示了曲線積分、曲面積分和重積分三者的關(guān)系，因此在解題中可通過轉(zhuǎn)化條件將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，提供了一種解題方法，這里先對這幾個公式作一介紹。.格林公式其中函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（表示沿閉曲線正向積分）.高斯公式其中函數(shù)在空間區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（表示沿閉曲面外側(cè)的積分）.斯托克斯公式其中函數(shù)在光滑曲面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且也必須在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 下面我們將通過例題來分別論述如

8、何利用格林公式將平面上的曲線積分通過二重積分來計算；利用高斯公式將空間上的曲面積分用三重積分來計算；利用斯托克斯公式將空間曲線積分用曲面積分來計算，從而使解題過程更加簡單易懂，更具技巧性。例5.求其中為曲面的交線，的方向是從軸正方向看為逆時針方向。解：聯(lián)立方程組化簡可得曲線的方程為將曲線的方程代入題中得說明：例5中的必須是分段光滑的曲線的正向圍成的單連通區(qū)域。例6.計算其中是立方體表面的外側(cè)。解：由題設(shè)條件知 由高斯公式知 說明：例6中的必須是由分片光滑的閉曲面所圍成的空間曲域。例7.計算，其中為與三坐標(biāo)面的交線，方向為所圍平面區(qū)域的左側(cè)部分。解:由題設(shè)條件知由斯托克斯公式知說明：例7中的是以

9、分段光滑的空間曲線為邊界的曲面。三 、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在空間幾何和平面幾何上的應(yīng)用首先，我們將通過多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，微分及隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系，將公式的不同形式加以轉(zhuǎn)換。進(jìn)而求解空間曲線的切線和法平面方程，以及曲面的切平面和法線方程。接下來我們將從多元函數(shù)的微分法入手，將三維空間的相應(yīng)命題給出二維平面的相應(yīng)形式。（一） 求曲線的切線和法平面方程設(shè)空間曲線：,過點，由空間解析幾何得向量向量為過點的切向量，此時 若改變空間曲線形式，則相應(yīng)的切向量形式也不同，如下空間曲線形式 切向量形式 例8.求過點（1，2，-2）的切線與法平面方程解：， 切向量所以點切線方程為即點法平面方程為即（二）求曲面的切平面

10、和法線方程 設(shè)曲面，由全微分得其中切向量，為曲面過點的法向量。類似的，當(dāng)曲面為時，法向量為。例9 .求過點（2，1，0）的切平面及法線方程解：令法向量所以點切平面方程為即所以點法線方程例10. 求曲面解：法向量所以點切平面方程為，即點法線方程為即（三）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用 對于前面討論，我們知道若空間曲線形為，則它在處切向量為 （1）若空間曲線形式為,則它在處切平面的法向量為 （2）這里將（1）（2）式作為以下討論的引理（1），引理（2），得到以下的定理和推論。定理 . 設(shè)平面坐標(biāo)上曲線的方程為（為參數(shù)），其中都可導(dǎo)，且曲線上點則過點方程為推論5.1 .平面坐標(biāo)上曲線方程為則曲線在

11、處切線方程為定理 .設(shè)平面坐標(biāo)上曲線方程為,曲線上點假設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，處法向量為推論6.1.設(shè)平面坐標(biāo)上曲線方程為,曲線上點，假設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且則曲線在處切向量為例11.設(shè)函數(shù)由方程所確定，則曲線在點(0,1)處的法線方程為多少？解 令則故所求法向量為所求法線方程為即此例題依據(jù)定理5和定理6，在解決隱函數(shù)形式給出的平面曲線在某點的切線或法線問題是，使解題步驟簡化，從而使問題更簡單。四、利用偏導(dǎo)數(shù)求經(jīng)濟學(xué)中的極值問題 多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微積分學(xué)的重要應(yīng)用，這里我們將討論以二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)極值問題，首先我們來回顧一下二元函數(shù)極值判定的相關(guān)定理

12、定義 (2)(3) (4) 有了以上的定義定理，下面我將通過一個具體的實例來闡述二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在求極值問題中的重要作用，讓大家更好地理解其實用價值，并學(xué)會如何應(yīng)用。 例12.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為和，銷售量分別為和，需求函數(shù)分別為，總成本函數(shù)為試問：廠家如何確定兩個市場的產(chǎn)品售價，使其獲得的總利潤最大？最大總利潤是多少？解：由題意知，廠家的總收益為總利潤函數(shù)令可得駐點又所以，在時，既能取得極大值，也能取得最大值，故最大利潤通過以上幾個問題的討論，我們可以清楚的認(rèn)識到偏導(dǎo)數(shù)在許多數(shù)學(xué)問題如極限，積分，幾何以及經(jīng)濟學(xué)中求極值問題起著舉足輕重的作用，豐富了許多問題解決的思

13、路，方法和技巧，優(yōu)化了解題過程。當(dāng)然，偏導(dǎo)數(shù)在微積分中應(yīng)用不僅局限于此，這也為我們以后學(xué)習(xí)提供了更多的空間。參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，數(shù)學(xué)分析（下冊）（三版）.高等教育出版社.2趙樹源主編，經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一），微積分（三版）.中國人民大學(xué)出版社.3吳贛昌，高等數(shù)學(xué)（理工類）m北京：中國人民大學(xué)出版社，2007：56.4陳傳璋，金臨福，數(shù)學(xué)分析（第二版上冊）m北京：高等教育出版社.1983：92.5張立新，二元函數(shù)的微分中值定理及洛必達(dá)法則j.遼寧教育學(xué)院學(xué)報，2001（9）：21.6盛祥耀，高等數(shù)學(xué)（第二版 下冊）m,北京：高等教育出版社，2003：52.7屈文文，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)

14、用,山西教育學(xué)院學(xué)報（2002年第1期）.8劉金林，高等數(shù)學(xué)m北京：機械工業(yè)出版社，2009：8182.9楊勇，謝巍，高等數(shù)學(xué)（下冊）（第二版）m北京：高等教育出版社，2007：4452.10吳一梅，趙臨龍，一元函數(shù)與多元函數(shù)基本性質(zhì)異同性的分析j信息系統(tǒng)工程，2009（11）：109111.11同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，高等數(shù)學(xué)（第四版）m北京：高等教育出版社，2007：445several application of partial derivative in thesolution of calculus functionsname:zhao yanyan academic number:200725020450 supervison:sheng xingpingabstractthe article introduces the definition and the value of partial derivatives and the application of it in the limit, integral,ge