初高中銜接型中考數(shù)學(xué)試題12套

1、第一講數(shù)與式1.1數(shù)與式的運(yùn)算1. .1絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義 ：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身， 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即a,a0,| a | 0,a0,a, a0.絕對(duì)值的幾何意義 ：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義 ： a b 表示在數(shù)軸上，數(shù) a 和數(shù) b 之間的距離例 1 解不等式： x1 x3 4解法一：由 x 1 0，得 x1；由 x30 ，得 x3 ；若 x 1，不等式可變?yōu)? x1) (x3)4 ，即 2x 4 4，解得 x0，又 x 1， x0；若 1x2 ，不等式可變?yōu)?( x1)(x3)4 ，即 14，不存在滿足條件

2、的 x；若 x3，不等式可變?yōu)?x1)( x3)4 ，即 2x 4 4， 解得 x4又 x3， x4綜上所述，原不等式的解為x 0，或 x4解法二：如圖 11 1， x1 表示 x 軸上坐標(biāo)為 x 的點(diǎn) P 到坐標(biāo)為 1 的點(diǎn) A之間的距離 |PA|，即|PA| |x 1|；|x3|表示 x 軸上點(diǎn) P 到坐標(biāo)為 2的點(diǎn) B 之間的距離 |PB|，即 |PB|x 3|x 3|所以，不等式 x 1 x 34 的幾何意義即為PCABD|PA|PB|4x0134x由|AB| 2，可知點(diǎn) P 在點(diǎn) C(坐標(biāo)為 0)的左側(cè)、或點(diǎn) P|x 1|在點(diǎn) D(坐標(biāo)為 4)的右側(cè)圖 111x 0，或 x4練習(xí)1填

3、空：（ 1）若 x 5 ，則 x=_ ；若 x4，則 x=_.（ 2）如果 ab5 ，且 a1，則 b _；若 1c2 ，則 c _.2選擇題：下列敘述正確的是（A ）若 ab ，則 ab（ B）若（C）若 ab ，則 ab（ D ）若3化簡： |x5| |2x13|（ x5）（）a b ，則 a bab ，則 ab乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2 ；（2）完全平方公式( a222b)a2 a b b我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(a（2）立方差公式(a（3）三數(shù)和平方公式( a（4）兩數(shù)和立方公式( a（5）兩

4、數(shù)差立方公式( a2b) (a2b) ( a b c)2 b)3 a3 b)3 a3a b2b)3a3；ba b2b)3a3；b222abc 2 ( a b b c ；)a c2233 a b3 a b；b3 a2b 3 a2bb對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例 1計(jì)算： (x1)(x1)(x2x1)(x2x 1) 解法一： 原式 = (x21)( x21)2x2= (x21)(x4x21)= x61解法二： 原式 = (x1)(x2x1)(x1)(x2x1)= (x3 1)(x3 1)= x6 1例 2 已知 abc4， abbcac4 ，求 a2b2c2 的值解： a2b

5、2c2(abc)22(abbc ac)8 練習(xí)1填空：（ 1） 1 a21 b2(1 b1 a) （）；9423（ 2） (4m) 216m24m() ；(3 ) (a2bc)2a 24b2c2() 2選擇題：（ 1）若 x21 mxk 是一個(gè)完全平方式，則k 等于（）2（ B） 1 m2（ C） 1 m2（D ） 1 m2（A ） m24316（ 2）不論 a ， b 為何實(shí)數(shù)， a2b22a 4b 8 的值（）（A ）總是正數(shù)（ B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零（D ）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)二次根式一般地，形如a ( a0) 的代數(shù)式叫做 二次根式 根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理

6、式 . 例如3a a2b 2b ， a2b2 等是無理式，而 2x22 x 1， x22xy y2 ，a2 等是有理式21分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做 分母（子）有理化 為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念 兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘， 如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式 ，例如2 與2 ， 3 a 與a ，36 與36 ， 2 33 2 與 2 33 2 ，等等一般地， ax 與x ， axby 與 axby ， axb 與 axb 互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有

7、理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式abab( a0,b0) ；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式， 然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算； 二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式2二次根式a2 的意義a2a, a0,a0.a, a例1將下列式子化為最簡二次根式：（1）12b ；（2）2（ ） 4x6 y ( x0)a b ( a 0) ；3解： （1） 12b23b ；（2） a2 b a b a b( a0) ；（3） 4x6 y 2 x3y2

8、x3y ( x 0) 例 2計(jì)算： 3(33) 解法一：3( 33)3333(33)(33)(33) 3 3393 3(31) 6 3 1 2解法二：3 (33)33333(31)13131( 31)( 3 1) 3 1 2例 3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?） 1211和 1110 ； （2）2和2 2 6.64解： （ 1） 12111211( 1211)(1211)1，1121112111 11 01 110 (1110)( 111 0 )， 111 11 01 11 0又 12111110 ， 1211 1110 （ 2）66)(2+6)222 2(2 22,261+226226又 4

9、22， 64 622，2 22 6.64例4 化簡：(32) 2004( 32) 2005 解： (32) 2004(32) 2005 (32) 2004(32) 2004(32) (32)(32)2004(32) 12004 ( 32) 32 例 5化簡：（1）945 ；（2）x212(0x1) x2解：（1）原式5454(5) 222522(25) 22552 （2）原式 =( x1 )2x1 ，xx 0x1， 11x ，x所以，原式 1x x例 6已知 x32, y32 ，求 3x25xy 3y2 的值 3232解： x y3232( 32) 2( 32) 210 ，3232xy3232

10、1，32323x25xy 3 y23(xy) 2 11xy310211289 練習(xí)1填空：（1） 13 _；13（ 2）若(5x)( x3)2( x3)5x ，則 x 的取值范圍是 _ _；（3） 4246543962 150_；（ 4）若 x5x1x1x1x1_，則x1x1x1x122選擇題：等式xx成立的條件是（）2xx2（ A ） x 2（ B） x0（ C） x2（ D） 0 x 23若 ba211a2，求 ab 的值a 14比較大小： 2 354（填 “ ”，或 “ ”）1.1.分式1分式的意義形如 A 的式子，若 B 中含有字母，且 B0 ，則稱 A 為分式 當(dāng) M0時(shí)，BB分式

11、A 具有下列性質(zhì)：BAAM ；BBMAAM BBM上述性質(zhì)被稱為 分式的基本性質(zhì) 2繁分式a像b，mnp這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做2mcdn p例 1若 5x4AB，求常數(shù) A, B 的值x(x2)xx2解：ABA(x 2) Bx ( A B)x 2 A5x 4 ，x x2x( x2)x( x 2)x(x 2) AB5, 2A 4,解得A 2,B3例 2（ 1）試證：11)11（其中 n 是正整數(shù)）；n(nnn1（2）計(jì)算：111；2239101（3）證明：對(duì)任意大于 1 的正整數(shù) n，有 133124（1）證明： 11( n1)n1，nn1n(n1)n( n1)111（其中 n

12、是正整數(shù)）成立n( n 1)nn1（2）解：由（ 1）可知111122391 0( 1111)11)(3()2291 011繁分式11 n( n 1)210 9 10（3）證明： 1112 3 34n(n 1) ( 11) (11 )( 11 )2334nn 1 11，2 n 1又 n2，且 n 是正整數(shù)，1n1 一定為正數(shù)，11112334n(n 1)2 例 3設(shè)ec ，且 ，2c2 5ac 2a20，求 e 的值e1a222解：在 2c 5ac2a 0 兩邊同除以 a ，得 (2e 1)(e2)0，1 e 2 1，舍去；或 e 2 e 2練習(xí)1填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n，111()；n(n

13、2)nn 22選擇題：若 2xy2 ，則 x （）xy3y（A）（B） 5（C） 4（D） 64553正數(shù) x, y 滿足 x2y22 xy ，求 xy 的值xy4計(jì)算111.122339910014習(xí)題 11A 組1解不等式：(1)x13；(2)x3x27 ；(3) x1x16已知 xy1，求 x3y33xy 的值3填空：（1）(23)18 (23)19 _；（ 2）若(1a)2(1a) 22 ，則 a 的取值范圍是 _；（ 3）1111122334455_16B 組1填空：1， b13a2ab_；（ 1） a，則3a25ab 2b223（ 2）若 x2xy2 y20 ，則 x23xyy2_

14、；x2y22已知： x1 , y1，求xyyxy的值23yC組1選擇題：（ 1）若a b 2 abba，則（）（ A ） a b（B ） ab（ C） a b 0（ D） b a 0（ 2）計(jì)算 a1（）等于a（A ）a（B ） a（ C）a（D ）a2解方程 2( x212 )3(x1 )10 1x11x13計(jì)算：3243591114試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有1111123 234n( n 1)( n2)4 12分解因式因式分解的主要方法有： 十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1分解因式：（ 1） x2 3x2；（2）x2 4x 12；

15、（3）x2(ab) xyaby2 ；（4） xy1xy 解：（1）如圖 121，將二次項(xiàng) x2 分解成圖中的兩個(gè)x 的積，再將常數(shù)項(xiàng)2 分解成 1 與 2 的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是2x2 3x2(x1)(x 2)x 11 11 2x ayx 21 216x by圖 12 1圖 1 22圖 123圖 12 4說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖 121 中的兩個(gè) x 用 1 來表示（如圖 122 所示）（2）由圖 123，得x2 4x12 (x2)(x 6)（3）由圖 124，得x2(a b) xyaby2 (x ay)( xby)x 1（4） xy

16、1 x y xy(xy) 1y1圖 12 5 (x1) (y+1) （如圖 125 所示）2提取公因式法與分組分解法例 2分解因式：（1） x39 3x23x ；（2） 2x2xy y24x 5 y 6解：（1） x39 3x23x = (x33x2 )(3x9) = x2 ( x3)3(x 3)= (x3)( x23) 或x39 3x23x (x33x23x 1) 8 ( x1)38 ( x 1)3 23 ( x1)2( x1)2( x 1)222 (x3)( x23) （2） 2x2xy y 24x 5y 6 = 2 x2( y 4) x y25 y 6=2x2( y4)x( y 2)(

17、y3) = (2 xy2)( xy3) 或2 x2xyy24x5 y6 = (2 x2xyy2 )(4x5 y) 6=(2 xy)( xy)(4 x5 y)6=(2 xy2)( xy 3) 3關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若關(guān)于 x 的方程 ax2bxc0(a0) 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1 、x2 ，則二次三項(xiàng)式ax2bxc( a 0) 就可分解為a(x x1 )( x x2 ) .例 3 把下列關(guān)于 x 的二次多項(xiàng)式分解因式：（1） x22x1；（ 2） x24xy4y2 解： （1）令 x22x 1=0，則解得 x112 ， x2 12 ， x22x 1= x (

18、12) x ( 12)= (x 12)( x12) （ 2）令 x24 xy 4 y2 =0，則解得 x1(2 22) y ， x1( 2 2 2) y ， x24xy 4 y 2 = x 2(12) y x2(12) y 練習(xí)1選擇題：多項(xiàng)式 2x2xy15y2 的一個(gè)因式為（）（ A ） 2x 5 y（ B） x 3y（ C） x 3 y（ D） x 5y2分解因式：（ 1） x2 6x 8；（ 2） 8a3 b3；（ 3） x2 2x 1；（4） 4( x y 1) y( y 2x) 習(xí)題 121分解因式：（ 1） a31；（ 2） 4x413x29 ；（ 3） b2c22ab2ac2b

19、c ；（ 4） 3x25xy 2 y2x9 y 4 2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（ 1） x25x3；（2） x22 2x 3 ；（3） 3x24xyy2 ；（ 4） (x22x)27( x22x)12 ABC 三邊a，b ，c滿足a2b2c2ab bcca，試判定ABC 的形狀34分解因式：x2 x (a2 a)第二講函數(shù)與方程2.1一元二次方程根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程 ax2bx c0（a0），用配方法可以將其變形為(xb )2 b24ac2a4a2因?yàn)?a0，所以， 4a20于是（1）當(dāng) b24ac0 時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1， 2 bb24

20、ac ；2a（2）當(dāng) b24ac0 時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根1 x2 b ；x2a（3）當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)， 而方程的左邊 ( xb )22a一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根由此可知，一元二次方程 ax2 bxc0（a0）的根的情況可以由 b2 4ac 來判定，我們把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判別式 ，通常用符號(hào) “”來表示2綜上所述， 對(duì)于一元二次方程ax bx c 0（ a0），有1，2bb24ac；x2a（2）當(dāng) 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1 x2 b；x2a（3）當(dāng) 0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根

21、例 1 判定下列關(guān)于 x 的方程的根的情況（其中 a 為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（1）x2 3x30；（2）x2 ax10；（3） x2 ax (a1) 0；（4）x2 2xa0解：（1） 324×1×3 30，方程沒有實(shí)數(shù)根（2）該方程的根的判別式 a24×1×( 1)a2 4 0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1 a a24 ， x2a a24 22（3）由于該方程的根的判別式為 a24×1×(a1) a24a 4 (a2)2，所以，當(dāng) a 2 時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 x2 1；當(dāng) a2時(shí)， 0

22、， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1 1，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為224×1×a44a 4(1 a)，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0，即 4(1 a) 0，即 a1x1 1 1 a ， x2 11 a ；當(dāng)0，即 a 1 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1x21；x當(dāng)0，即 a1 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根說明：在第 3，4 小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a 的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì) a 的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做 分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法， 在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題根與系數(shù)的關(guān)系

23、（韋達(dá)定理）2若一元二次方程ax bxc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1b b24ac ， x2b b24ac ，2a2a則有xx2bb24acbb24ac2bb ；12a2a2aax1x2bb24ac bb 24acb2 (b 2 4ac) 4acc2a2a4a24a2a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：b ， 1·2如果2 bxc 0（ a0）的兩根分別是 x1，x2，那么 x1x2axx xa c 這一關(guān)系也被稱為 韋達(dá)定理 a特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知1 x2 p，x12q，xx2·x即p

24、(x1)， 1·2，qx x 1·20，由于 x1， x2是一2px q0可化為 x2(x1x2所以，方程 x)x x x元二次方程 x2 pxq0 的兩根，所以， x1，x2 也是一元二次方程 x2(x1 x2)x x1 ·x20因此有以兩個(gè)數(shù) x1， x2 為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2(x1 x2)xx1·x2 0例 2 已知方程 5x2 kx 6 0 的一個(gè)根是 2，求它的另一個(gè)根及 k 的值分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理， 又可以利用韋達(dá)定理來解題，即

25、由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)， 于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出 k 的值解法一： 2 是方程的一個(gè)根， 5×22 k×2 6 0， k 7所以，方程就為 5x27x60，解得 x1 2，x2 3 3 ，k 的值為 75所以，方程的另一個(gè)根為52x1 6 ， x1 3 解法二： 設(shè)方程的另一個(gè)根為 x1，則（ 3 ） 2 k ，得 k 755由553 ，k 的值為 7所以，方程的另一個(gè)根為5例 3224有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這已知關(guān)于 x 的方程 x 2(m2)xm0兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求 m 的值21 得到分析：

26、本題可以利用韋達(dá)定理， 由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大關(guān)于 m 的方程，從而解得 m 的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè) x1， x2 是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得2x1 x2 2(m 2)，x1 ·x2 m 42 2 x1 x2 x1·x221， (x1 x2 )2 3 x1·x2 21，即 2(m2) 2 3(m24)21，化簡，得 m216m170，解得 m 1，或 m17當(dāng) m 1 時(shí)，方程為 x26x50， 0，滿足題意；當(dāng) m 17 時(shí)，方程為 x2 30x2930， 3024×1&#

27、215;2930，不合題意，舍去綜上， m17說明：（1）在本題的解題過程中， 也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的 m 的范圍，然后再由 “兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出 m 的值，取滿足條件的 m 的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式 是否大于或大于零因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根例 4 已知兩個(gè)數(shù)的和為 4，積為 12，求這兩個(gè)數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為 x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù) 也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一： 設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是則 xy4，x，y，xy 12由，得代入，得y4x，x(4x) 12，2即x 4x120，x12,x26,6,或2.y1y2因此，這兩個(gè)數(shù)是2和 6解法二： 由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程2x 4x120的兩個(gè)根解這個(gè)方程，得x1 2，x2 6所以，這兩個(gè)數(shù)是 2 和 6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)， 解法二（直接