工業(yè)機器人第三章

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 重重點掌握：點掌握：一、坐標變換一、坐標變換 1、齊次變換矩陣的意義；、齊次變換矩陣的意義； 2、單步變換的齊次變換矩陣；、單步變換的齊次變換矩陣； 3、多步變換的齊次變換矩陣；、多步變換的齊次變換矩陣； 4、齊次變換的逆變換。、齊次變換的逆變換。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 重重點掌握：點掌握：二、運動學方程的建立二、運動學方程的建立 1、建立坐標系；、建立坐標系； 2、確定參數(shù)；、確定參數(shù)； 3、相鄰桿件的位姿矩陣；、相鄰桿件的位姿矩陣； 4、建立運動學方程。、建立運動學方程。 5、運動學方程的正解和逆解。、運動學方程的正解和逆解。3.1概述概述 工業(yè)機器人大多采用工

2、業(yè)機器人大多采用開式鏈結構開式鏈結構，即機器人是由一系列關節(jié)，即機器人是由一系列關節(jié)連接起來的連桿所組成的。為了定量地確定和分析機器人手部在連接起來的連桿所組成的。為了定量地確定和分析機器人手部在空間的運動規(guī)律，需要一種合適的運動描述的數(shù)學方法。通常采空間的運動規(guī)律，需要一種合適的運動描述的數(shù)學方法。通常采用用矩陣法矩陣法來描述機器人的運動學問題。來描述機器人的運動學問題。 把坐固定在每一個連桿的關節(jié)上，通過把坐固定在每一個連桿的關節(jié)上，通過齊次坐標變換，建立齊次坐標變換，建立機器人運動學方程機器人運動學方程來確定這些坐標之間的相互關系，那么手部在來確定這些坐標之間的相互關系，那么手部在空間的

3、位姿也就確定了?？臻g的位姿也就確定了。 3.1概述概述 l對一給定的操作機，已知桿件幾何參數(shù)和關節(jié)角矢量對一給定的操作機，已知桿件幾何參數(shù)和關節(jié)角矢量q(t)=(q1(t),q2(t),qn(t)T ,其中其中n是自由度數(shù)，求操作機末端執(zhí)行器相是自由度數(shù)，求操作機末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的位置和姿態(tài)。對于參考坐標系的位置和姿態(tài)。l已知操作機桿件的幾何參數(shù)，給定操作機末端執(zhí)行器相對于參考坐已知操作機桿件的幾何參數(shù)，給定操作機末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位置和姿態(tài)（位姿），操作機能否使其末端執(zhí)行器達到標系的期望位置和姿態(tài)（位姿），操作機能否使其末端執(zhí)行器達到這個預期的位姿？如能達到，那么操作

4、機有幾種不同形態(tài)可滿足同這個預期的位姿？如能達到，那么操作機有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件？樣的條件？3.1概述概述 3.2 物體在空間中的位姿描述物體在空間中的位姿描述 物體在空間的位姿可以用動坐標系三個坐標軸上單位矢量物體在空間的位姿可以用動坐標系三個坐標軸上單位矢量ib，jb，kb的方向來描述，也就是用的方向來描述，也就是用ib，jb，kb相對于固定坐標系的相對于固定坐標系的方方向余弦向余弦，即，即(iib，jib，kib), (ijb，jjb，kjb), (ikb，jkb，kkb)來表來表示，它們也分別是示，它們也分別是ib，jb，kb相對于固定坐標系的以此坐標值，即相對于固定坐標系的

5、以此坐標值，即單位矢量的方向余弦與坐標值或投影是相等的。用矩陣的形式表單位矢量的方向余弦與坐標值或投影是相等的。用矩陣的形式表示有示有 bbbbbbbbbbbbi iiji kiijkj ijijkjjkijkj kk ikjkk3.2 物體在空間中的位姿描述物體在空間中的位姿描述 1).1).姿態(tài)的描述姿態(tài)的描述( (旋轉矩陣旋轉矩陣) ) Pxyz=RPuvw R姿態(tài)矩陣姿態(tài)矩陣由矢量分量的定義有由矢量分量的定義有 pupv和和pw分別表示分別表示P沿沿Ou、Ov、Ow軸的分量，或軸的分量，或P在各軸在各軸上的投影，利用標量積的定義上的投影，利用標量積的定義 xxxuuxvvxwwyyyu

6、uyvvywwzzzuuzvvzwwpiPii pij pik ppjPji pjj pjk ppkPki pkj pkk p將上式寫成矩陣形式：將上式寫成矩陣形式：由坐標由坐標Pxyz可求得坐標可求得坐標Puvw: 如果如果OUVW坐標系繞坐標系繞Ox軸轉動軸轉動角角,變換矩陣變換矩陣Rx,稱為繞稱為繞Ox軸軸旋轉旋轉角的旋轉矩陣，即：角的旋轉矩陣，即：這時這時i ix x=i=iu u，而，而繞繞Oy軸旋轉軸旋轉角和繞角和繞Oz軸旋轉軸旋轉角的角的33旋轉矩陣分別為旋轉矩陣分別為矩陣矩陣Rx,、Ry,和和RZ,稱為基本旋轉矩陣稱為基本旋轉矩陣3.3 齊次坐標變換齊次坐標變換1)齊次坐標變換

7、齊次坐標變換 假設機器人手部拿著一個鉆頭在工件假設機器人手部拿著一個鉆頭在工件上實施鉆孔作業(yè)，已知鉆頭中心上實施鉆孔作業(yè)，已知鉆頭中心P點相對點相對于手部中心的位置，求于手部中心的位置，求P點相對于基座的點相對于基座的位置。分別將基座和手部設置為固定坐標位置。分別將基座和手部設置為固定坐標系和動坐標系，如圖所示。系和動坐標系，如圖所示。P點相對于固點相對于固定坐標系定坐標系O:x,y,z的坐標為的坐標為(x,y,z)，相對，相對于動坐標系于動坐標系O/:xb,yb,zb的坐標為的坐標為(xb,yb,zb)。三矢量之間的關系為三矢量之間的關系為 OPOOO P 式中：式中：將以上三式代入并寫成矩

8、陣形式，得將以上三式代入并寫成矩陣形式，得進一步寫成進一步寫成000;b bbbbbOPxiyjzk OOx iy jz k O Px iy jz k 000 bbbbbbxxxi j kyi j kyi j kyzzz 000 bbbbbbbbbbbbi i i j i kxxxyj i j j j kyyzk i k j k kzz 進一步寫成進一步寫成： X=RXb+X0 坐標變換方程坐標變換方程式中：式中：X=x y zT,Xb=xb yb zbT,X0=x0 y0 z0T稱為稱為位置矩陣位置矩陣，表，表示動坐標系原點到固定坐標系原點之間的距離。示動坐標系原點到固定坐標系原點之間的距離

9、。進一步表示為進一步表示為 X=TXX=TXb b 齊次坐標變換方程齊次坐標變換方程式中：式中：X X和和X Xb b稱為稱為齊次坐標齊次坐標，分別為，分別為X=x y z 1X=x y z 1T T,X,Xb b=x=xb b y yb b z zb b 11T T, , 稱為稱為齊次坐標變換矩陣齊次坐標變換矩陣，包含了兩級坐標變換之，包含了兩級坐標變換之間的位置平移和角度旋轉兩方面信息。間的位置平移和角度旋轉兩方面信息。0 X0 1RT齊次坐標變換矩陣齊次坐標變換矩陣是是4 44 4的方陣的方陣2)齊次坐標變換舉例齊次坐標變換舉例將動坐標系相對定坐標系平移將動坐標系相對定坐標系平移x0 y

10、0 z0,則則平移坐標變換平移坐標變換所以經(jīng)平移坐標變換后的齊次坐標變換矩陣為所以經(jīng)平移坐標變換后的齊次坐標變換矩陣為1 0 00 1 00 0 1R0000 xXyz0000001 0 0 0 1 0 ,0 0 1 0 0 0 1xyTTrans xyzz2)齊次坐標變換舉例齊次坐標變換舉例將動坐標系繞將動坐標系繞x軸旋轉軸旋轉角，按右手規(guī)則確定旋轉方向，即角，按右手規(guī)則確定旋轉方向，即X0=0 0 0T。旋轉坐標變換旋轉坐標變換1 0 0 0 cos sin0 sin cosR1 0 0 00 cos sin 0,0 sin cos 00 0 0 1TRot x2)齊次坐標變換舉例齊次坐標

11、變換舉例旋轉坐標變換旋轉坐標變換同理，將動坐標系繞同理，將動坐標系繞y 、 z軸旋轉軸旋轉角后所得的坐標變換矩陣為角后所得的坐標變換矩陣為:cos 0 sin 0 0 1 0 0,sin 0 cos 0 0 0 0 1TRot ycos sin 0 0sin cos 0 0, 0 0 1 0 0 0 0 1TRot z2)齊次坐標變換舉例齊次坐標變換舉例繞經(jīng)過坐標原點的任一矢量繞經(jīng)過坐標原點的任一矢量k進行的旋轉變換稱為廣義旋轉變換。進行的旋轉變換稱為廣義旋轉變換。 表示過原點的單位矢量，且表示過原點的單位矢量，且 ，則，則將動坐標系矢量將動坐標系矢量k旋轉旋轉角后所得的坐標變換矩陣為角后所得

12、的坐標變換矩陣為廣義旋轉坐標變換坐標變換廣義旋轉坐標變換坐標變換xyzkk ik jk k2221xyzkkk 0 0, 0 0 0 xxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzzk k Versck k Versk sk k Versk sk k Versk sk k Versck k Versk sTRot kk k Versk sk k Versk sk k Versc 0 1sin ;cos ;1 cosscVers 式中：式中：2)齊次坐標變換舉例齊次坐標變換舉例當當 時，動坐標系繞時，動坐標系繞x軸旋轉；當軸旋轉；當 時，時，動坐標系繞動坐標系繞y軸旋轉；當軸旋轉；當 時，動坐標

13、系繞時，動坐標系繞z軸旋轉。軸旋轉。廣義旋轉變換矩陣的主要作用在于廣義旋轉變換矩陣的主要作用在于：當給定任意符合轉動的變換：當給定任意符合轉動的變換矩陣矩陣T以后，令其與廣義旋轉變換矩陣相等，便可求得繞一等效以后，令其與廣義旋轉變換矩陣相等，便可求得繞一等效軸旋轉一等效轉角的單一轉動角。軸旋轉一等效轉角的單一轉動角。廣義旋轉坐標變換坐標變換廣義旋轉坐標變換坐標變換1,0 xyzkkk1,0yxzkkk1,0zxykkk2)齊次坐標變換舉例齊次坐標變換舉例例例3-1 設動坐標系設動坐標系O：u,v,w與固定坐標系與固定坐標系O：x,y,z初始位置重初始位置重合，經(jīng)下列坐標變換：繞合，經(jīng)下列坐標變

14、換：繞z軸旋轉軸旋轉90；繞；繞y軸旋轉軸旋轉90；相對于固定坐標系平移位置矢量相對于固定坐標系平移位置矢量4i-3j+7k。試求合成齊次坐標變。試求合成齊次坐標變換矩陣換矩陣T。綜合坐標變換綜合坐標變換解：動坐標系繞固定坐標系解：動坐標系繞固定坐標系z z軸旋轉軸旋轉9090，其齊次變換矩陣為，其齊次變換矩陣為10 1 0 01 0 0 0,900 0 1 00 0 0 1TRot z動坐標系再繞固定坐標系動坐標系再繞固定坐標系y y軸旋轉軸旋轉9090，其齊次變換矩陣為，其齊次變換矩陣為20 0 1 00 1 0 0,901 0 1 00 0 0 1TRot y動坐標系再平移動坐標系再平移

15、4 4i i-3-3j j+7+7k k，有，有所以合成齊次變換矩陣為所以合成齊次變換矩陣為31 0 0 40 1 0 34, 3,70 0 1 70 0 0 1TTrans32 10 0 1 41 0 0 30 1 0 70 0 0 1TTT T齊次變換矩陣的物理解釋齊次變換矩陣的物理解釋l齊次變換矩陣齊次變換矩陣T描述了坐標系描述了坐標系B相對于坐標系相對于坐標系A 的位置和方位。的位置和方位。lT的第四列矢量描述的第四列矢量描述B的原點相對于的原點相對于A的位置的位置;l其他三個列矢量分別代表其他三個列矢量分別代表B的三個坐標軸相對于的三個坐標軸相對于 A的方向的方向. 如上例中，如上例

16、中，T T中第中第1 1列的列的3 3個元素個元素0 1 00 1 0T T表示動坐表示動坐標系的標系的u u軸在固定坐標系軸在固定坐標系3 3個坐標軸上的投影，故個坐標軸上的投影，故u u軸平軸平行于行于y y軸；軸；T T中第中第2 2列的列的3 3個元素個元素0 0 10 0 1T T表示動坐標系的表示動坐標系的v v軸在固定坐標系軸在固定坐標系3 3個坐標軸上的投影，故個坐標軸上的投影，故v v軸平行于軸平行于z z軸；軸；T T中第中第3 3列的列的3 3個元素個元素1 0 01 0 0T T表示動坐標系的表示動坐標系的w w軸在軸在固定坐標系固定坐標系3 3個坐標軸上的投影，故個坐

17、標軸上的投影，故w w軸平行于軸平行于x x軸；軸；T T中第中第4 4列的列的3 3個元素個元素4 -3 74 -3 7T T表示動坐標系的原點與固表示動坐標系的原點與固定坐標系原點之間的距離。定坐標系原點之間的距離。齊次變換矩陣相乘齊次變換矩陣相乘 對于給定的坐標系對于給定的坐標系A,B和和C,已知已知B相對相對A的描的描述為述為 , C相對相對B的描述為的描述為 ,則則 從而定義復合變換從而定義復合變換變換矩陣相乘不滿足變換矩陣相乘不滿足“交換律交換律”結論結論l變換矩陣的變換次序不能隨意調(diào)換，因此矩陣的乘變換矩陣的變換次序不能隨意調(diào)換，因此矩陣的乘法法不滿足交換律不滿足交換律。l若每次

18、的變換矩陣都是相對于若每次的變換矩陣都是相對于固定坐標系固定坐標系進行的，進行的，則矩陣則矩陣左乘左乘；若每次的變換都是相對于；若每次的變換都是相對于動坐標系動坐標系進行進行的，則矩陣的，則矩陣右乘右乘。3.4 變換方程的建立變換方程的建立3.4.1 3.4.1 多級坐標變換多級坐標變換 工業(yè)機器人都具有工業(yè)機器人都具有2個以上的自由度，從末端操作器把持中心的個以上的自由度，從末端操作器把持中心的坐標系到固定坐標系的變換要經(jīng)過多級坐標變換，其變換方程的建立坐標系到固定坐標系的變換要經(jīng)過多級坐標變換，其變換方程的建立方法如下。方法如下。 設有一具有設有一具有n個自由度的機器人，點個自由度的機器人

19、，點On為末端操作器把持中心動為末端操作器把持中心動坐標系的原點，點坐標系的原點，點P為末端操作器上的任意一點。點為末端操作器上的任意一點。點P相對于固定坐標相對于固定坐標系系O0:x0,y0,z0的坐標為的坐標為P(x,y,z)，而相對于動坐標系，而相對于動坐標系On:xn,yn,zn的坐的坐標為標為P(xn,yn,zn),已知已知P(xn,yn,zn)，要求，要求P(x,y,z)的表達式。的表達式。 從坐標系從坐標系On:xn,yn,zn到坐標系到坐標系O0:x0,y0,z0經(jīng)過了經(jīng)過了n級的逐次坐標級的逐次坐標變換，且每次都是相對于動坐標系進行的。設任一相鄰兩級之間的坐變換，且每次都是相

20、對于動坐標系進行的。設任一相鄰兩級之間的坐標變換矩陣為標變換矩陣為Ti，那么從動坐標系到定坐標系之間的坐標變換矩陣可，那么從動坐標系到定坐標系之間的坐標變換矩陣可以表示為以表示為 T=T1T2T3T4Tn-1Tn則其次坐標變換方程式可以表示為則其次坐標變換方程式可以表示為 X=TXnX=x y z 1T; Xn=xn yn zn 1 T若若P點與點與On點重合，即點重合，即xn=yn=zn=0，則末端操作器的位移方程式為，則末端操作器的位移方程式為 000 xxyyzz3.4 變換方程的建立變換方程的建立3.4.1 3.4.1 多種坐標系的變換多種坐標系的變換 為了描述機器人的運動，以便于編程控制，常常需要定義多種坐為了描述機器人的運動，以便于編程控制，常常需要定義多種坐標系。幾種常用的坐標系有：基座標系。幾種常用的坐標系有：基座( (固定固定) )坐標系坐標系BB、工作臺坐標系、工作臺坐標系SS、手部坐標系、手部坐標系HH、工具坐標系、工具坐標系TT、工件坐標系、工件坐標系PP及通用坐標系及通用坐標系UU。 3.5 RPY角與歐拉