[轉(zhuǎn)帖]第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評比活動《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》(天津李月英)doc高中數(shù)學(xué)

1、轉(zhuǎn)帖第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評比活動三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 （天津李月英）doc高中數(shù)學(xué)?三角函數(shù)誘導(dǎo)公式?教學(xué)設(shè)計人教 A 版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)必修 4 第一章 1.3 節(jié)授課教師：李月英天津市靜?？h第一中學(xué)指導(dǎo)教師：李 民天津市靜?？h第一中學(xué)王雨池天津市靜?？h教育教學(xué)研究室何志平天津市靜?？h教育教學(xué)研究室2018 年 10 月三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（第一課時）教學(xué)設(shè)計授課教師：天津市靜海第一中學(xué) 李月英一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版必修4第 一章第三節(jié)， 其要緊內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式六， 是三角函 數(shù)的要緊性質(zhì).學(xué)生在前面差不多

2、學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一和任意角的三角函數(shù)的定 義，這節(jié)課在此基礎(chǔ)上，連續(xù)學(xué)習(xí)公式二至公式四.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的 對稱性的代數(shù)表示，利用對稱性，讓學(xué)生自主發(fā)覺終邊分不關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo) 軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系， 使得數(shù)與形得到緊密結(jié)合，成為 一個整體.通過簡單咨詢題的提出、誘導(dǎo)公式的發(fā)覺、咨詢題的解決，體會由未 知到的轉(zhuǎn)化， 為以后的三角函數(shù)求值、化簡、 簡單證明以及后續(xù)學(xué)習(xí)的三角函數(shù) 圖像和性質(zhì)等知識打好基礎(chǔ)誘導(dǎo)公式的要緊用途是把任意角的三角函數(shù)值咨詢題轉(zhuǎn)化為求090角 的三角函數(shù)值.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合和復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn) 化的數(shù)學(xué)思想方法，反映了從專門到一樣的歸納思維形式

3、對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新 意識、進(jìn)展學(xué)生的思維能力， 把握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用.誘導(dǎo)公式的 學(xué)習(xí)和推證過程還表達(dá)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系， 是定義的延伸與應(yīng)用， 在本 章中起著承上啟下的作用.本節(jié)課的重點(diǎn)是誘導(dǎo)公式的探究， 運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單函數(shù)式的求值與化 簡，提高對數(shù)學(xué)知識之間圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系的認(rèn)識，把過去滲 透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重要的方法以集中的、 顯性的形式出現(xiàn)出來， 使學(xué)生更加 明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識地使用它們.二、教學(xué)咨詢題診斷分析在教師的組織和引導(dǎo)下學(xué)生以自主探究、動手實踐、合作交流的方式進(jìn)行學(xué) 習(xí).在學(xué)習(xí)中了解和體驗公式的發(fā)生、進(jìn)展過程，讓學(xué)生領(lǐng)會

4、到誘導(dǎo)公式是前面 三角函數(shù)定義、單位圓對稱性等知識的連續(xù)和拓展，應(yīng)用遷移規(guī)律， 引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、歸納推導(dǎo)公式.在教學(xué)中可能會遇到如下幾個咨詢題：1在利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生從專門到一樣的學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生認(rèn)為只要 記住公式，會做題就能夠，對公式的推導(dǎo)重視不夠.為了盡量幸免這種情形的顯 現(xiàn)，我采納小組討論制，考慮到學(xué)生的個體差異，把強(qiáng)、中、弱合 理搭配，安排組長監(jiān)管收集討論的結(jié)果，記錄收集每一時期的過程材料.2角 的任意性，如何樣向?qū)W生交代清晰是這節(jié)課我一直摸索的咨詢題.為了解決那個咨詢題我自己利用幾何畫板制作教學(xué)課件， 通過用角終邊的任意一 點(diǎn)的拖動， 顯示三角函數(shù)值在各個象限的變化， 讓學(xué)生

5、明白角 不局限為第一象 限的角，它具有任意性，從而突破了難點(diǎn).3公式的經(jīng)歷也是個難點(diǎn).專門是十字口訣更是明白得不深.關(guān)于幻燈片中 的公式，教師對比幾何畫板課件逐字逐句的分析， 讓其明白公式中的角是任意的， 而經(jīng)歷時將其看成銳角.另外，反思學(xué)習(xí)過程時，體會角的終邊的對稱性與三角 函數(shù)值之間的關(guān)系也有利于公式的經(jīng)歷.三、目標(biāo)和目標(biāo)解析一教學(xué)目標(biāo)1.能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式,會利用誘導(dǎo)公 式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的求值與化簡.2.通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.3.培養(yǎng)學(xué)生由專門到一樣的歸納意識，學(xué)會用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待咨詢題.二目標(biāo)解析在初中學(xué)生差不多學(xué)習(xí)

6、過關(guān)于原點(diǎn)、x軸以及y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián) 系，同時前面學(xué)生能運(yùn)用三角函數(shù)的定義和公式一進(jìn)行三角函數(shù)求值， 但關(guān)于任 意角的三角函數(shù)之間存在的聯(lián)系還不清晰， 或者只有一點(diǎn)模糊的感性認(rèn)識 數(shù)學(xué) 課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)： 學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和差不多技能， 明白得數(shù)學(xué)結(jié) 論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所包蘊(yùn)的數(shù)學(xué)思想和 方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體 驗數(shù)學(xué)發(fā)覺和制造的歷程因此，依照課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的特點(diǎn)、對本節(jié)課的教 學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)依照教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課采納了咨詢題發(fā)覺 歸納類

7、比的教學(xué)方法和自主探究小組合作的學(xué)習(xí)方式.由咨詢題 驅(qū)動，通過誘導(dǎo)公式二至四的探究， 概括得到誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)， 提高對數(shù)學(xué)內(nèi)部 關(guān)聯(lián)的認(rèn)識， 明白得求任意角三角函數(shù)值所表達(dá)出來的化歸思想， 培養(yǎng)學(xué)生的探 究能力.教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)過程：1利用已有知識導(dǎo)出新的咨詢題，創(chuàng)設(shè)咨詢題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)愛好， 激發(fā)學(xué)生的求知欲，達(dá)到以舊拓新的目的.2由特例 (180 30 )與30 (360 30 )與30， (180 30 )與30的關(guān)系 提出咨詢題，啟發(fā)學(xué)生的思維， 引導(dǎo)他們分析角的終邊對稱關(guān)系， 利用定義進(jìn)行 推導(dǎo)得到公式二， 再利用多媒體動態(tài)演示，使學(xué)生對 為任意角的認(rèn)識自然 合理.之后如法炮制公式三

8、、四，通過聯(lián)想，類比、方法遷移，學(xué)生專門輕松的 發(fā)覺公式，每小組積極發(fā)言同時通過實物展臺展現(xiàn)交流，發(fā)覺任意角 與 (180)， ， (180 )三角函數(shù)值的關(guān)系，體會了從專門到一樣的歸納推理過程，使學(xué)生的思維得到科學(xué)訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和創(chuàng)新能力.3采納咨詢題設(shè)疑，觀看演示，步步深入，逐層引導(dǎo)，探究合作的教學(xué)方 法，旨在讓學(xué)生充分感受和明白得知識的產(chǎn)生和進(jìn)展過程.在教師適時的啟發(fā)點(diǎn) 撥下，學(xué)生在類比、歸納的過程中積極主動地去探究、發(fā)覺數(shù)學(xué)規(guī)律公式 ， 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.通過引導(dǎo)學(xué)生探究并發(fā)覺公式，將發(fā)覺與證明 合為一體，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.4通過例1和變式，把誘導(dǎo)公

9、式一 、二、三、四的應(yīng)用進(jìn)一步 拓廣，進(jìn)展學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力.例2的擴(kuò)展讓學(xué)生認(rèn)識到公式的有用性 和學(xué)習(xí)的必要性.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計力求表達(dá) 咨詢題性、科學(xué)性與思想性，以 多媒體為輔助手段，采納教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的啟發(fā)式與探究式相結(jié)合的方 法，使學(xué)生歡樂地學(xué)習(xí).三、教學(xué)支持條件分析在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時， 學(xué)生差不多學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、 各象限角的三 角函數(shù)值的符號和公式一， 這些內(nèi)容是學(xué)生明白得、 歸納公式二至公式四的基礎(chǔ)， 因此教學(xué)時應(yīng)充分注意利用這一有利條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.另外， 信息技術(shù)的使用也為突破教學(xué)難點(diǎn)、 啟發(fā)學(xué)生思維、 增加課堂容量提供了有力的 支持.五、教學(xué)

10、過程設(shè)計一創(chuàng)設(shè)咨詢題情境師生活動：教師提咨詢，學(xué)生摸索、回答，學(xué)生口述的同時，教師加以引導(dǎo) 并用幻燈片展現(xiàn).咨詢題1：1各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號是什么？只討論正弦、余弦、正切2任意角的三角函數(shù)的定義是什么？3公式一的內(nèi)容與作用是什么？1咨詢題2: sin30 -,如何求 sin210 ,sin330 ,sin150 的值.教師引導(dǎo)：能否再把0360間的角的三角函數(shù)，化為我們熟悉的090間的角的三角函數(shù)咨詢題呢？這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)和研究如此的咨詢 題.【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)舊知，為新知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).專門是各象限三角 函數(shù)的符號，關(guān)于誘導(dǎo)公式經(jīng)歷起關(guān)鍵作用.提出的新咨詢題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步 摸索，

11、激起學(xué)生們的愛好（二）探究開發(fā)新結(jié)論教師引導(dǎo)：為了解決以上咨詢題，我們采納各個擊破的方法第一看210 30 180，假如我們明白一個任意角 與（n+）三角函數(shù)值的關(guān)系，咨 詢題就解決了.探究一：任意角 與（n+）三角函數(shù)值的關(guān)系.咨詢題3：1與（n+）角的終邊關(guān)系如何？互為反向延長線或關(guān)于原點(diǎn)對稱2設(shè) 與（n+）角的終邊分不交單位圓于點(diǎn)P1,P2,那么點(diǎn)R與R位置關(guān) 系如何？關(guān)于原點(diǎn)對稱3設(shè)點(diǎn)R（x，y），那么點(diǎn)P2的坐標(biāo)如何樣表示？ P2（x，y）4sin與sin（n+），cos與cos（n+），tan與tan（n+）的關(guān) 系如何？通過探究，歸納成公式sin nsincos ncos- -公

12、式tan n tansin 210 si n(30180) sin30【設(shè)計意圖】公式二的三個式子中,sin(n)詢題，由于方法及思路差不多上未知的，因此采取教師引導(dǎo)，師生合作共同完 成方法.通過腳手架式的層層提咨詢，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二，讓學(xué)生 體驗證明猜想的樂趣，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位同時，試圖通過環(huán)環(huán)相扣的咨 詢題給學(xué)生傳遞由宏觀到微觀考慮咨詢題的思維適應(yīng)，從而達(dá)到授人以 漁的目的.后兩個均由學(xué)生類比討論完成.學(xué)生活動：小組討論，代表發(fā)言交流.咨詢題4:公式中的角 僅是銳角嗎？【設(shè)計意圖】課前提咨詢的咨詢題是以30引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一樣形式的角，有些同學(xué)確信會有

13、如此的疑咨詢，因此那個咨詢題的解決好，確實是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.引導(dǎo)學(xué)生互相討論，交流能夠使學(xué)生經(jīng)歷更深刻.師生活動：演示幾何畫板課件，第一作出第一象限的任意角，之后得到相應(yīng) 的三角函數(shù)值，拖動其終邊上任意點(diǎn)，再讓學(xué)生觀看每一象限內(nèi)三角函數(shù)值的符 號和它們之間存在的對稱關(guān)系，從而驗證了猜想，使學(xué)生更好的明白得了那個公 式.【設(shè)計意圖】通過多媒體演示，發(fā)覺變化規(guī)律，從而總結(jié)出三角函數(shù)的誘導(dǎo) 公式.類比第一個咨詢題的解決方法，我們再來解決后面的兩個咨詢題.觀看33036030，由公式一知330的終邊與30的終邊相同，因此我們必須明白一個任意角 與(-)三角函數(shù)值的關(guān)系.探究二：任意角與(-)三角函數(shù)值

14、的關(guān)系.咨詢題5:1與()角的終邊位置關(guān)系如何？(關(guān)于x軸對稱)2設(shè) 與()角的終邊分不交單位圓于點(diǎn)Pl，P2點(diǎn)Pl與R位置關(guān)系如何(關(guān) 于x軸對稱)sin是第一個解決的咨3設(shè)點(diǎn)Pi(x,y)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)如何樣表示？P2(x,y)4sin與sin()，cos通過探究，歸納成公式sin欲望，讓他們既動腦又動手，讓學(xué)生參與教學(xué)活動.讓學(xué)生體驗數(shù)與形的關(guān)系,嘗試自主探究的樂趣教師引導(dǎo)：那150180 30，我們須知 與(n)的三角函數(shù)值的關(guān)系, 同學(xué)們連續(xù)發(fā)揮聰慧才智解決它吧!探究三： 與(n)的三角函數(shù)值的關(guān)系.咨詢題6:1與(n)角的終邊位置關(guān)系如何？(關(guān)于y軸對稱)2設(shè) 與(n)角的終邊分

15、不交單位圓于點(diǎn)Pl,R點(diǎn)Pl與P2位置關(guān)系如何？(關(guān)于y軸對稱)3設(shè)點(diǎn)Pi(x,y)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)如何樣表示？P2(- x,y)4sin與sin(n),cos與cos(n),tan與tan(n)關(guān)系如何？通過探究，歸納成公式sin nsincos ncos -公式四tan ntansin150sin( 180 30 )1sin 30-【設(shè)計意圖】與探究二的教法相同，學(xué)生分組討論，嘗試推導(dǎo)公式，教師巡 視，及時反饋、矯正、講評采納 合作學(xué)習(xí)有助于觀看的多種方式的出現(xiàn)，通 過學(xué)生多角度的觀與cos(),tan與tan()關(guān)系如何?sincoscos公式tantansin330 sin(36030

16、 )sin( 30 ) sin3012.完成由角的終邊點(diǎn)的對稱性得【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自主探究與合作交流，到公式的過程，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)學(xué)生的參與、探究和體驗的看所得到結(jié)論的交流，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美和發(fā)覺規(guī)律公式的歡樂，激發(fā)學(xué)生更積極地去查找規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律.同時讓學(xué)生感受到只要做個 有心人，發(fā)覺規(guī)律并非難事(三)總結(jié)概括新結(jié)論師生活動：為了更好的使學(xué)生們把自己的研究成果經(jīng)歷牢靠，師生共同大聲朗讀這四組公式.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一： si n(2knsin ,cos(2kncos ,tan(2kntan (k Z),公式二： si n()sin ,cos( )cos ,ta n()

17、tan .公式三：sin(n)sin ,cos(n)cos,tan(n)tan .公式四： sin(n)sin ,cos(n)cos ,tan(n)tan講明：公式中的 指使公式兩邊有意義的任意一個角.咨詢題7:你能用一句話概括公式一、二、三、四嗎？為了讓學(xué)生更好的經(jīng)歷公式，通過幻燈片展現(xiàn)，猜想驗證，假如把角 看成銳角,2kn n,n, 分不位于第一、二、三、四象限，由課前提咨詢各象限內(nèi) 三角函數(shù)值的符號，學(xué)生能夠試著表達(dá).師生活動：總結(jié)概括公式一、二、三、四：2kn(k Z),n, 的三角函數(shù)值，等于 的同名函數(shù)值，前面加上一 個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限【

18、設(shè)計意圖】逐步明白得十字口訣含義，同時訓(xùn)練學(xué)生的概括能力(四)鞏固應(yīng)用結(jié)論例1求以下三角函數(shù)值：3 ,、6) ;4cos( 2040 )分析：先將不是02 n范疇內(nèi)角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為02 n范疇內(nèi)的角的師生活動：學(xué)生板書，教師巡視，糾正錯誤.1cos225;2sin1;3sin(三角函數(shù)利用誘導(dǎo)公式一或先將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導(dǎo)公式化到0才范疇內(nèi)角的三角函數(shù)的值解：1cos 225cos(18045 )cos452 .2.11 n .一sinsi n(4n、n)sinJ33323sin().16nsinsin(5n*(sin )333324cos( 2040 )cos2040cos(6

19、360120 )=cos120cos(18060 )cos601.2咨詢題8用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一樣 步驟是什么？學(xué)生大膽講，互相討論1化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；2化大于2n的正角的三角函數(shù)為02 n內(nèi)的三角函數(shù)；3化02 n內(nèi)的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù).1變式：是第三象限的角且sin-，求 sin(n), sin(冗)學(xué)生口答3【設(shè)計意圖】在得到誘導(dǎo)公式后，在此讓學(xué)生獨(dú)立去實踐解決咨詢題，一樣情形下，1、2小題都能專門快解決，只是到了第3、4小題時，條件變化稍復(fù) 雜一些，同學(xué)們就會顯現(xiàn)思維障礙，需及時引導(dǎo)他們?nèi)ミM(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，在實踐 中體會誘導(dǎo)公式在解題過程中的應(yīng)用，使任意一個角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳 角，體會從未知到的化歸思想，從而為總結(jié)出解題的一樣步驟埋下伏筆.變式是為了讓學(xué)生進(jìn)一步明白得公式中角的任意性而設(shè)立.例2化簡旦型36匚.sin( 180 ) cos( 180)學(xué)生板書解：sin( 180) sin (180)sin( 180