光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播

1、第六章 光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播1. 薄膜介質(zhì)波導(dǎo)一般概念薄膜介質(zhì)波導(dǎo)一般概念介質(zhì)薄膜波導(dǎo)介質(zhì)薄膜波導(dǎo)如圖，均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)的的如圖，均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)的的縱向剖面，由三層均勻介質(zhì)構(gòu)縱向剖面，由三層均勻介質(zhì)構(gòu)成。成。一般地設(shè)定一般地設(shè)定即襯底及覆蓋敷層。即襯底及覆蓋敷層。1,n中層折射率為中層折射率為, h厚度為厚度為另外兩層折射率分別為另外兩層折射率分別為23,n n1213, nnnn123.nnn為限制光波于介質(zhì)中間傳導(dǎo)層中，應(yīng)使為限制光波于介質(zhì)中間傳導(dǎo)層中，應(yīng)使 薄膜波導(dǎo)的薄膜波導(dǎo)的橫向?qū)挾葯M向?qū)挾龋▂向向）一般比薄膜波導(dǎo)的厚度大得多，）一般比薄膜波導(dǎo)的厚度大得多，也比光波波長大得多，因此

2、可以認(rèn)為薄膜波導(dǎo)是無限寬，也比光波波長大得多，因此可以認(rèn)為薄膜波導(dǎo)是無限寬，光波光波在在y方向上不受限制方向上不受限制。下面用下面用射線法射線法和和波動理論波動理論法來分析薄膜波導(dǎo)。法來分析薄膜波導(dǎo)。 射線法射線法是把波導(dǎo)中的波看作是均勻平面波在薄膜兩個界是把波導(dǎo)中的波看作是均勻平面波在薄膜兩個界面上全反射而形成的，故界面面上全反射而形成的，故界面、上的入射角應(yīng)滿足上的入射角應(yīng)滿足31sin/Icnn21sin/IIcnn若若23,nn則取則取sinIIc為波導(dǎo)的臨界角。為波導(dǎo)的臨界角。 波動理論法波動理論法則是把則是把薄膜波導(dǎo)中的波看作是滿足介質(zhì)平板波導(dǎo)邊薄膜波導(dǎo)中的波看作是滿足介質(zhì)平板波導(dǎo)

3、邊界條件的麥克斯韋方程組的解界條件的麥克斯韋方程組的解。此時，在波導(dǎo)的中間介質(zhì)層中波以。此時，在波導(dǎo)的中間介質(zhì)層中波以行波傳輸，襯底和覆蓋層中則是一種倏逝波，光波能量就是由介質(zhì)行波傳輸，襯底和覆蓋層中則是一種倏逝波，光波能量就是由介質(zhì)表面引導(dǎo)下在波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)?，此時所傳輸?shù)牟ǚQ之為表面引導(dǎo)下在波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)模藭r所傳輸?shù)牟ǚQ之為導(dǎo)行波導(dǎo)行波。若當(dāng)。若當(dāng)入射角小于臨界角時，一部分能量由界面折射后不再回到介質(zhì)入射角小于臨界角時，一部分能量由界面折射后不再回到介質(zhì)n1中，中，此時無法導(dǎo)行光波。這種波成為此時無法導(dǎo)行光波。這種波成為輻射波輻射波。特征方程及橫向諧振特性特征方程及橫向諧振特性 按射線法的原則

4、，光波在薄膜波導(dǎo)中向按射線法的原則，光波在薄膜波導(dǎo)中向z方向傳播可看作是無限方向傳播可看作是無限大均勻平面波在界面大均勻平面波在界面及及上依次反射，形成之字形傳播路徑。上依次反射，形成之字形傳播路徑。 如圖，薄膜波導(dǎo)中光的入射面為如圖，薄膜波導(dǎo)中光的入射面為xoz平面。平面。2. 射線法分析薄膜波導(dǎo)射線法分析薄膜波導(dǎo)考察某一時刻經(jīng)考察某一時刻經(jīng)A反射后向下傳播的平面波，其波陣面到達(dá)反射后向下傳播的平面波，其波陣面到達(dá)(MC所示所示)，而而面又是在前一時刻傳播的平面波經(jīng)面又是在前一時刻傳播的平面波經(jīng)B反射到達(dá)界面反射到達(dá)界面，又經(jīng)，又經(jīng)C反射后的反射后的面上重疊會產(chǎn)生干涉，只有當(dāng)面上重疊會產(chǎn)生干

5、涉，只有當(dāng)兩波相位差兩波相位差的平面波波陣面。這兩個波在的平面波波陣面。這兩個波在時，干涉加強(qiáng)，方可在波導(dǎo)內(nèi)形成振蕩，即可以在波導(dǎo)內(nèi)存在并傳時，干涉加強(qiáng)，方可在波導(dǎo)內(nèi)形成振蕩，即可以在波導(dǎo)內(nèi)存在并傳為為2m播。這兩個波之間的播。這兩個波之間的相位差相位差可以求得可以求得110022()nnABBCAM11022sec2tansiniiin hn h1022cosin h對對S波波1/22231sin(/)tan2cosiSinn 1/22221sin(/)tan2cosiSinn 對對P波波1/22223113sin(/)tan2cosiPinnnn 1/22222112sin(/)tan2c

6、osiPinnnn 當(dāng)滿足當(dāng)滿足干涉加強(qiáng)干涉加強(qiáng)條件時，條件時，0,1,2,3,m 110022cos2cos2,iin hn hkm式中，式中，0k是傳輸光波在真空中的波數(shù)；是傳輸光波在真空中的波數(shù)；1n是介質(zhì)波導(dǎo)的中間層折射率；是介質(zhì)波導(dǎo)的中間層折射率；i為波導(dǎo)內(nèi)的入射角。為波導(dǎo)內(nèi)的入射角。上式稱為上式稱為薄膜波導(dǎo)的特征方程薄膜波導(dǎo)的特征方程，或叫作，或叫作薄膜波導(dǎo)的色散方程薄膜波導(dǎo)的色散方程。特征方程中特征方程中102cos2,ixn hkk h表示了電磁波在橫跨薄膜表示了電磁波在橫跨薄膜（即沿（即沿x方向）時的相位差。方向）時的相位差。、是波在界面上的相位躍變，是波在界面上的相位躍變，

7、 因此，薄膜波導(dǎo)的特征方程表示了由波導(dǎo)中某點出發(fā)沿波導(dǎo)橫因此，薄膜波導(dǎo)的特征方程表示了由波導(dǎo)中某點出發(fā)沿波導(dǎo)橫2的整數(shù)倍。這使的整數(shù)倍。這使向往復(fù)一次回到原處，總的相位變化應(yīng)是向往復(fù)一次回到原處，總的相位變化應(yīng)是原來的波加強(qiáng)，即相當(dāng)于波在原來的波加強(qiáng)，即相當(dāng)于波在波導(dǎo)的橫向諧振波導(dǎo)的橫向諧振，因而成為波導(dǎo)的，因而成為波導(dǎo)的橫向諧振條件。不僅薄膜波導(dǎo)，任意波導(dǎo)都具橫向諧振特性。橫向諧振條件。不僅薄膜波導(dǎo)，任意波導(dǎo)都具橫向諧振特性。波導(dǎo)中含三種色散波導(dǎo)中含三種色散材料色散材料色散模式色散模式色散波導(dǎo)色散波導(dǎo)色散 指波導(dǎo)介質(zhì)材料本身的色散，即當(dāng)折射率隨入射光波波長指波導(dǎo)介質(zhì)材料本身的色散，即當(dāng)折射率

8、隨入射光波波長變化所帶來的色散。變化所帶來的色散。 在多模介質(zhì)波導(dǎo)中，一個信號同時激發(fā)不同的模式，即使在多模介質(zhì)波導(dǎo)中，一個信號同時激發(fā)不同的模式，即使是同一頻率，各模式的群速度也是不同的。是同一頻率，各模式的群速度也是不同的。 為滿足特征方程，對同一個為滿足特征方程，對同一個m值即同一個波導(dǎo)模，不同的波長對應(yīng)于值即同一個波導(dǎo)模，不同的波長對應(yīng)于不同的入射角。這就是說，對于不同波長的光，即使沒有材料色散存在，不同的入射角。這就是說，對于不同波長的光，即使沒有材料色散存在，但由于波導(dǎo)的諧振條件的要求，波在波導(dǎo)內(nèi)經(jīng)過一段距離傳輸后，將因為但由于波導(dǎo)的諧振條件的要求，波在波導(dǎo)內(nèi)經(jīng)過一段距離傳輸后，將

9、因為入射角不同而具有不同的相位、出射角及出射波導(dǎo)的時間，因此將引起信入射角不同而具有不同的相位、出射角及出射波導(dǎo)的時間，因此將引起信號失真。號失真。110022cos2cos2,iin hn hkm導(dǎo)波的模式導(dǎo)波的模式由特征方程可對由特征方程可對給定波導(dǎo)給定波導(dǎo)及及工作波長工作波長對某一個對某一個m求出形成導(dǎo)波的求出形成導(dǎo)波的值。特征方程中的值。特征方程中的確定確定im可取不同的值，相應(yīng)于不同的可取不同的值，相應(yīng)于不同的,i值，與此相應(yīng)的值，與此相應(yīng)的一個一個mi角入射的平面波形成一個導(dǎo)波模式。角入射的平面波形成一個導(dǎo)波模式?；蚧虍?dāng)當(dāng)E矢量或矢量或H矢量垂直入射面作振動矢量垂直入射面作振動，即

10、，即0zH 0zE 時，分別得到時，分別得到TE模?；蚧騎M模模。當(dāng)當(dāng)0,1,2,3,m 時，分別可得時，分別可得012TETETE 、012TMTMTM 、模，模，m表明各模式的階數(shù)，稱為波指數(shù)。表明各模式的階數(shù)，稱為波指數(shù)。110022cos2cos2,iin hn hkm當(dāng)當(dāng)0m 時，時，10cos,ixn hkk h即其場沿即其場沿x方向變化不足方向變化不足半個駐波。半個駐波。當(dāng)當(dāng)1m 時，時，2 ,xk h其場沿其場沿x方向變化不足兩個方向變化不足兩個“半半駐駐波波”。m越大，導(dǎo)波的模次越高，越大，導(dǎo)波的模次越高，m表示了導(dǎo)波場沿表示了導(dǎo)波場沿x方向（薄膜橫向）方向（薄膜橫向）出現(xiàn)的

11、完整半駐波個數(shù)。出現(xiàn)的完整半駐波個數(shù)。由特征方程還可以看出，在其他條件不變的情況下，當(dāng)由特征方程還可以看出，在其他條件不變的情況下，當(dāng)m增加時，增加時，i減小。這表明減小。這表明高次模是由入射角高次模是由入射角i較小較小的平面波構(gòu)成的。的平面波構(gòu)成的。當(dāng)當(dāng)i較小時，較小時，平面波的射線傾斜比較嚴(yán)重平面波的射線傾斜比較嚴(yán)重，其橫向相位常數(shù)，其橫向相位常數(shù)大，大，駐波密集駐波密集。xk110022cos2cos2,iin hn hkm導(dǎo)波模式的橫向相位常數(shù)導(dǎo)波模式的橫向相位常數(shù)10cos,xikn k導(dǎo)波模式的軸向相位常數(shù)導(dǎo)波模式的軸向相位常數(shù)10sin.zikn k對于給定的波導(dǎo)和工作波長，模次

12、越高，對于給定的波導(dǎo)和工作波長，模次越高，i越小，因而越小，因而zk越小。在電磁場解法中將把越小。在電磁場解法中將把.所有模式中，所有模式中，zk記為記為00, TETM模次最低，故模次最低，故最大。最大。波導(dǎo)的截止波長波導(dǎo)的截止波長21sin/.cnn在射線法中，截止波長可直接由全反射的臨界角求得。按假定在射線法中，截止波長可直接由全反射的臨界角求得。按假定決定決定123,nnn2n臨界角由下面襯底的折射率臨界角由下面襯底的折射率0,當(dāng)處于臨界狀態(tài)時，界面當(dāng)處于臨界狀態(tài)時，界面上的相位躍變上的相位躍變即剛剛發(fā)生即剛剛發(fā)生21arcsin(/),icnn全反射時的臨界狀態(tài)的入射角全反射時的臨界

13、狀態(tài)的入射角可得：對可得：對S波波222322122arctannnnn并且，并且，2221cos1 sin1 (/) .iinn1/22221sin(/)tan2cosiSinn 1/22222112sin(/)tan2cosiPinnnn 同樣應(yīng)用上式于色散方程，并把得到的同樣應(yīng)用上式于色散方程，并把得到的0代入，可得代入，可得以及以及由上式可求得不同模式下的截止波長由上式可求得不同模式下的截止波長.c得得對對TE0模，模，0,m 22120222322122arctancmh nnnnnn時時當(dāng)當(dāng)0m 22120222322122arctanccmmh nnnnmnn110022cos2

14、cos2,iin hn hkm 由此可見，高階模的臨界波長更小些。對傳輸工作波長的幾由此可見，高階模的臨界波長更小些。對傳輸工作波長的幾種情況討論如下：種情況討論如下：（1）0,cm此光波大于此光波大于0階的臨界波長，此波不能在波導(dǎo)內(nèi)傳播。階的臨界波長，此波不能在波導(dǎo)內(nèi)傳播。（2）此時只有此時只有10,ccmm的零階?？梢詡鬏?，即單的零階模可以傳輸，即單0m 模運行。模運行。（3）這樣的光波對這樣的光波對及及0m ,cmm階模均可被傳輸，發(fā)生階模均可被傳輸，發(fā)生多模傳輸。多模傳輸。還需指出，對于對稱薄膜波導(dǎo)還需指出，對于對稱薄膜波導(dǎo)23,nn可以得到，可以得到，0,cm 這說明對稱波導(dǎo)沒有截止

15、波長，任何波長的波均可在對稱波導(dǎo)內(nèi)傳播。這說明對稱波導(dǎo)沒有截止波長，任何波長的波均可在對稱波導(dǎo)內(nèi)傳播。這時特征方程變成這時特征方程變成22120222hnnm 由此可算出對波長為由此可算出對波長為0的光波，該波導(dǎo)內(nèi)所允許傳播的模式個數(shù)為的光波，該波導(dǎo)內(nèi)所允許傳播的模式個數(shù)為221202hmnn 雖然射線法討論薄膜波導(dǎo)物理概念清楚易懂，獲得了有價值的結(jié)論，雖然射線法討論薄膜波導(dǎo)物理概念清楚易懂，獲得了有價值的結(jié)論，這些結(jié)論不僅適用于薄膜波導(dǎo)，對認(rèn)識其他形式的介質(zhì)波導(dǎo)也是很有價值這些結(jié)論不僅適用于薄膜波導(dǎo)，對認(rèn)識其他形式的介質(zhì)波導(dǎo)也是很有價值的。但對更詳細(xì)的的。但對更詳細(xì)的場分布場分布、傳輸功率傳

16、輸功率、場方程場方程等問題就無法解決。因此必等問題就無法解決。因此必須要用另一種方法須要用另一種方法應(yīng)用電磁場理論應(yīng)用電磁場理論來求電磁波在介質(zhì)波導(dǎo)這樣一種特來求電磁波在介質(zhì)波導(dǎo)這樣一種特殊邊界條件下的波動方程解殊邊界條件下的波動方程解 ，在此基礎(chǔ)上再去分析傳播模的特性。，在此基礎(chǔ)上再去分析傳播模的特性。 用電磁理論分析薄膜介質(zhì)波導(dǎo)，就是求滿足邊界條件時麥克斯用電磁理論分析薄膜介質(zhì)波導(dǎo)，就是求滿足邊界條件時麥克斯韋方程的解，在定態(tài)條件下就是求解韋方程的解，在定態(tài)條件下就是求解亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程222200Ek EHk H在此基礎(chǔ)上再分析其特性。在此基礎(chǔ)上再分析其特性。3. 用電磁理論求解

17、薄膜介質(zhì)波導(dǎo)用電磁理論求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)薄膜波導(dǎo)中的薄膜波導(dǎo)中的TE波和波和TM波波在介質(zhì)波導(dǎo)中的波型也可以存在在介質(zhì)波導(dǎo)中的波型也可以存在TE波波和和TM波波。 按照定義，按照定義，TE波波的的E矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向（矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向（z方向）方向）上只有磁場分量。而上只有磁場分量。而TM波波的的H矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向上矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向上只有電場分量。只有電場分量。TE波波(a)和和TM波波(b)的形成的形成 可以認(rèn)為，薄膜中的可以認(rèn)為，薄膜中的TE波波是由垂直偏振的平面波即是由垂直偏振的平面波即S波在薄膜邊波在薄膜邊界上反射而成，而界上

18、反射而成，而TM波波是由是由E為水平偏振（在入射面內(nèi)振動）的平面為水平偏振（在入射面內(nèi)振動）的平面波即波即P波在邊界上反射而成。波在邊界上反射而成。 對于對于TE波波，其電場只有，其電場只有Ey分量分量(Ez=0)，磁場包括了，磁場包括了Hx、Hz分量。分量。而而TM波波其磁場只有其磁場只有Hy分量分量(Hz=0)，而，而電場包括了電場包括了Ex、Ez分量。分量?？梢杂蓵r諧電磁場的麥克斯韋第一、二方程討論可以由時諧電磁場的麥克斯韋第一、二方程討論對于所討論的各向同性的均勻介質(zhì)，對于所討論的各向同性的均勻介質(zhì)，0, 都是標(biāo)量，把都是標(biāo)量，把E、H用直角坐標(biāo)用直角坐標(biāo)下的三分量代入后展開，可得到以

19、下公式。下的三分量代入后展開，可得到以下公式。000zxzyzyzxyxzzxzyzyzxyxzHiEik HyHiEik HxHHiExyEiHik EyEiHik ExEEiHxy 針對現(xiàn)在討論的無窮大平板介質(zhì)波導(dǎo)，考慮到針對現(xiàn)在討論的無窮大平板介質(zhì)波導(dǎo)，考慮到y(tǒng)方向無限大方向無限大，場在該方向不受限制，因而可得場在該方向不受限制，因而可得0;y又考慮到光是沿又考慮到光是沿z向傳輸，向傳輸，沿該方向場的變化可用一個傳輸因子沿該方向場的變化可用一個傳輸因子zik ze來表示。來表示。為了普適地討論為了普適地討論為為電磁波在三層介質(zhì)中的情況，記電磁波在三層介質(zhì)中的情況，記123zzzkkk、

20、、 ，表示實波矢表示實波矢的的z分量。由此得到導(dǎo)波的傳播因子分量。由此得到導(dǎo)波的傳播因子,i ze因而有因而有,iz 式中式中是是z方向的相位常數(shù)。將上述關(guān)系代入方程組，可得到方向的相位常數(shù)。將上述關(guān)系代入方程組，可得到6個標(biāo)量方程。個標(biāo)量方程。這這6個標(biāo)量方程又可分為兩組，一組只含個標(biāo)量方程又可分為兩組，一組只含Ey, Hx ,Hz三個分量，另一組三個分量，另一組只含只含Hy, Ex, Ez三個分量，即三個分量，即00yxyzzxyEHdEiHdxdHi HiEx 0yxyzzxyHEdHiEdxdEi EiHx 這兩組方程是完全獨立的，可分別求解，得出兩組獨立的解。第這兩組方程是完全獨立的

21、，可分別求解，得出兩組獨立的解。第一組方程中電場矢量只包含了一組方程中電場矢量只包含了Ey分量，因而解得的是分量，因而解得的是TE模；第二組模；第二組方程的磁場矢量只包含了方程的磁場矢量只包含了Hy分量，因而解出的是分量，因而解出的是TM模。模。 對于對于TE模模，求出，求出Ey分量后，可以求得分量后，可以求得00 xyyzHEdEiHdx 對于對于TM模模，求出，求出Hy分量后，可以求得分量后，可以求得xyyzEHdHiEdx 因此，求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)問題歸結(jié)為因此，求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)問題歸結(jié)為TE模的模的Ey分量分量及及TM模的模的Hy分量分量。波導(dǎo)的場方程及其解波導(dǎo)的場方程及其解TE波波 對

22、對TE波應(yīng)先求出波應(yīng)先求出Ey，由，由TE波的振動在波導(dǎo)的橫截面上，即僅具波的振動在波導(dǎo)的橫截面上，即僅具Ey可寫出其電場矢量為可寫出其電場矢量為分量，并考慮到在分量，并考慮到在z方向的傳播，具有傳播因子方向的傳播，具有傳播因子,i ze為為y方向單位矢量。方向單位矢量。其中其中j將上式代入亥姆霍茲方程，可將上式代入亥姆霍茲方程，可得得2222( )( )( )0yyiyExExk Exx式中，角標(biāo)式中，角標(biāo)1,2,3,i 表示對應(yīng)于介質(zhì)波導(dǎo)的三層介質(zhì)，其對應(yīng)的折射率表示對應(yīng)于介質(zhì)波導(dǎo)的三層介質(zhì)，其對應(yīng)的折射率分別為分別為123, innnk、 、為不同介質(zhì)中的波數(shù)，它們的關(guān)系可表示為為不同介

23、質(zhì)中的波數(shù)，它們的關(guān)系可表示為2220iikn kjexEEziy)(222200Ek EHk H00yxyzzxyEHdEiHdxdHi HiEx 或或 于是可寫出在三層介質(zhì)中的亥姆霍茲方程于是可寫出在三層介質(zhì)中的亥姆霍茲方程222210122222202222223032( )()( )0 0,()( )0 0,()( )0 ,yyyyyyd Exn kExxhndxd En kExxndxd En kExxhndx在中間層在襯底層在覆蓋層2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hAk xxhnExA exnA exhn折射率為折射率為折射率為其振幅應(yīng)可預(yù)見

24、：在中間薄膜層是駐波解，可用余弦函數(shù)表示；在襯其振幅應(yīng)可預(yù)見：在中間薄膜層是駐波解，可用余弦函數(shù)表示；在襯底底 按前面的分析我們已知，導(dǎo)波在按前面的分析我們已知，導(dǎo)波在z方向按方向按傳播。而在橫向，傳播。而在橫向，i ze于是有于是有及覆蓋層是倏逝波，應(yīng)是衰減解。及覆蓋層是倏逝波，應(yīng)是衰減解。222210122222202222223032( )()( )0 0,()( )0 0,()( )0 ,yyyyyyd Exn kExxhndxd En kExxndxd En kExxhndx在中間層在襯底層在覆蓋層222210122222022222303xxxkk nkk nkk n將上式各區(qū)域中

25、將上式各區(qū)域中Ey的表達(dá)式代入對應(yīng)的各亥姆霍茲方程，可得的表達(dá)式代入對應(yīng)的各亥姆霍茲方程，可得123,xxxkkk由于由于都必須是正實數(shù)，這就限定都必須是正實數(shù)，這就限定030201k nk nk n這與用射線得出的結(jié)果是一致的。射線法中由這與用射線得出的結(jié)果是一致的。射線法中由0sin1i及及01sin,ik n得得01,k n由由, iicic為臨界角，為臨界角，21sin,icnn可得可得030201,k nk nk n此處約定此處約定321.nnn下面再利用邊界條件進(jìn)一步求解常數(shù)下面再利用邊界條件進(jìn)一步求解常數(shù)123,.A A A薄膜波導(dǎo)的邊界條件為：在薄膜波導(dǎo)的邊界條件為：在0 xh

26、 、處，切向分量處，切向分量yE連續(xù)，連續(xù)，切向分量切向分量zH也連續(xù)，由此得也連續(xù)，由此得yEx也連續(xù)。也連續(xù)?？傻茫嚎傻茫? x 在在12,yyEE即即處，處，12cos()AAyEx0 x 在在連續(xù)，即連續(xù)，即處，處，2221 1100sin()xkxxxxxxA k eAkk x 得得221 1sinxxA kAk 2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hAk xxhnE xAexnAexhn折射率為折射率為折射率為這樣可得這樣可得xh在在連續(xù)，即連續(xù)，即處，處，/yEx331 11sin()xxxA kAkk h xh在在連續(xù)，即連續(xù)，即處，處，yE

27、311cos()xAAk h222210122222022222303xxxkk nkk nkk n12cos()AA221 1sinxxA kAk 331 11sin()xxxA kAkk h 311cos()xAAk h1xk因此，只要求出因此，只要求出就可求出其他各量。就可求出其他各量。311tan()xxxkk hk311arctanxxxkk hmk2222130111()arctanxxxnnkkk hmk2222222212011301111()()arctanarctanxxxxxnnkknnkkk hmkkA1可以由輸入波導(dǎo)的導(dǎo)波功率確定。可以由輸入波導(dǎo)的導(dǎo)波功率確定。通過以

28、上耦合方程組可以得到通過以上耦合方程組可以得到122xk hm102cos2inhkm參照參照S波在波在、界面上全反射相位躍變的公式，并考慮到界面上全反射相位躍變的公式，并考慮到011cos,ixk nk及及22sin1 cosii 可知上式左邊的后兩項可知上式左邊的后兩項正是正是S波的相位躍變之半，因此上式可寫為波的相位躍變之半，因此上式可寫為或或這就是這就是薄膜波導(dǎo)特征方程薄膜波導(dǎo)特征方程。1/22231sin(/)tan2cosiSinn 1/22221sin(/)tan2cosiSinn 2222222212011301111()()arctanarctanxxxxxnnkknnkkk

29、 hmkk波導(dǎo)的場方程及其解波導(dǎo)的場方程及其解TM波波（略略）( )i zyHHx ej222202()0 1,2,3yiyd Hk nHidx.yH,yzxHEE、對于對于TM波，應(yīng)先求波，應(yīng)先求出出TM模的電磁分量為模的電磁分量為其做法完全類似于其做法完全類似于TE波求解。寫出磁場矢量為波求解。寫出磁場矢量為代入以下的亥姆霍茲方程，代入以下的亥姆霍茲方程，220Hk H得到得到xyyzEHdHiEdx 依照依照TE模推導(dǎo)，設(shè)在三層介質(zhì)中具有如下不同形式，即模推導(dǎo)，設(shè)在三層介質(zhì)中具有如下不同形式，即yH的解為的解為2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hBk

30、 xxhnHxB exnB exhn折射率為折射率為折射率為考慮到薄膜波導(dǎo)的邊界條件：在上、下界面上考慮到薄膜波導(dǎo)的邊界條件：在上、下界面上yH及及zE連續(xù)，連續(xù)，在下界面在下界面處處0 x 12cos(),BB以及以及0 x 處處1,yzHEx即即1yHx連續(xù)，得連續(xù)，得2221 11210011sin()xkxxxxxxB k eB kk x即即12221 1sinxxB kB k 在上界面在上界面處，處，xh且在且在311cos(),xBBk h處有處有xh連續(xù)，得連續(xù)，得yHx13331 11sin(),xxxB kBkk h 以下推到完全類似于以下推到完全類似于TE波，導(dǎo)出的波，導(dǎo)出

31、的表達(dá)式及場分布與表達(dá)式及場分布與TE模形式模形式y(tǒng)H相同，其特征方程也有相同的形式相同，其特征方程也有相同的形式122xk hm只不過式中只不過式中與與表達(dá)式應(yīng)當(dāng)取作表達(dá)式應(yīng)當(dāng)取作P波的全反射時的相位躍變表達(dá)式。波的全反射時的相位躍變表達(dá)式。因此，波指數(shù)相同的因此，波指數(shù)相同的TE模和模和TM模的模的是不同的，從而求解出波的是不同的，從而求解出波的1xk參數(shù)也不同。參數(shù)也不同。2311122()33cos() 0,( ) 0, ,xxxkxykx hAk xxhnExA exnA exhn折射率為折射率為折射率為另外，從另外，從TE波（或波（或TM波）求解過程中也可以看出，上式中波）求解過程

32、中也可以看出，上式中的的正是界面上正是界面上的相位躍變半角的相位躍變半角它是決定場分布極大值位置的參量。它是決定場分布極大值位置的參量。/2,圖解法求解特征方程圖解法求解特征方程102cos2inhkm薄膜波導(dǎo)特征方程薄膜波導(dǎo)特征方程只能通過圖解法或數(shù)值法求解。只能通過圖解法或數(shù)值法求解。以以TE模為例，上式可改寫為模為例，上式可改寫為222201sin()sin()arctanarctancoscosGiixiinnnnk hm式中式中n為中間層折射率，為中間層折射率，Gn及及0n分別為基底及覆蓋層折射率。分別為基底及覆蓋層折射率。利用三角公式利用三角公式tantantan()1tantan

33、可得，可得，22220122220sin()sin()/costan()sin()sin()1coscosGiiixGiiiinnnnK hnnnn為將上式右端化為為將上式右端化為1xk h的函數(shù)的函數(shù)1(),xF k h可以利用以下關(guān)系式可以利用以下關(guān)系式10cosxikkn2210sin1xikkn 222222201000220sin(/ )xik nkn knnk n可得，可得，111/21/222222222001011/21/2222222222100101()()()()()()()()()()()()()()()xxxGxxxGxF k hk hnnk hk hnnk hk h

34、k hnnk hk hnnk hk hg因此，特征方程的解就是由因此，特征方程的解就是由1()xF k h1tan()xk h與與的交點，如圖的交點，如圖1( ()xF k h1(tan()xk h與與實線實線的交點。的交點。從左到右各交點（原點除外）相應(yīng)于從左到右各交點（原點除外）相應(yīng)于0 1 2m 、 、各階模的解，各階模的解，1 , x mKh的值，若薄膜厚度的值，若薄膜厚度從這些交點的橫坐標(biāo)確定出從這些交點的橫坐標(biāo)確定出h已知，已知，則通過則通過22221 ,0mx mKK n求得求得mTE模的傳播常數(shù)模的傳播常數(shù).m截止波長截止波長導(dǎo)波的截止波長也可從電磁場解法中導(dǎo)出。從射線法觀點看

35、，出現(xiàn)導(dǎo)波的截止波長也可從電磁場解法中導(dǎo)出。從射線法觀點看，出現(xiàn),ic襯底輻射模的標(biāo)志是襯底輻射模的標(biāo)志是而從而從電磁理論電磁理論的觀點看，出現(xiàn)襯底輻射模的觀點看，出現(xiàn)襯底輻射模意味著意味著2xk為虛數(shù)，此時為虛數(shù)，此時2yE由原來的振幅沿由原來的振幅沿x方向衰減的倏逝波變?yōu)榉较蛩p的倏逝波變?yōu)橛捎?xikxe代表的輻射波，即在代表的輻射波，即在2n介質(zhì)中有向介質(zhì)中有向x方向傳播的行波存在，這時能方向傳播的行波存在，這時能得得2n量從量從泄漏，此波便無法在薄膜波導(dǎo)中傳播，因此泄漏，此波便無法在薄膜波導(dǎo)中傳播，因此220 xk就是確定就是確定截止波長的條件。由截止波長的條件。由22222020

36、xkk n2222022k nk可見，截止時傳播常數(shù)等于介質(zhì)可見，截止時傳播常數(shù)等于介質(zhì)2中的波數(shù)。于是有中的波數(shù)。于是有221120 xknn k可以得到可以得到22222213012322112()2arctan2arctan()xSxnnkknnknn222212011()2arctan0 xSxnnkkk將以上二式代入特征方程，并考慮到將以上二式代入特征方程，并考慮到02 /,cK 可得截止波長可得截止波長2212222322122arctanch nnnnmnn這與用射線法求出的結(jié)果完全一致。這與用射線法求出的結(jié)果完全一致。23112()3cos() 0( ) 0 xzxxKxiK

37、zyKx hAK xxhExeA exA exh1/2/2xmKh以以TE波波為例，薄膜波導(dǎo)中為例，薄膜波導(dǎo)中TE波的波的分量為分量為yE以及薄膜波導(dǎo)中的以及薄膜波導(dǎo)中的特征方程特征方程, 可以求出，它們是小于零的數(shù)?？梢郧蟪?，它們是小于零的數(shù)。4. 介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中的場分布介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中的場分布對于對于TE0模模1/2/2xkh 可知可知/2/2,可見，橫跨薄膜的相位變化可見，橫跨薄膜的相位變化1,xk h即場沿即場沿x方向的變化不足半個駐波。方向的變化不足半個駐波。由以上公式可以得到由以上公式可以得到22cosyExh 按邊界條件：按邊界條件：(1) 0 x 處，處，coscos2yE(2)

38、 xh處，處，cos2yE（3）中間層中，場變化極大值在）中間層中，場變化極大值在mx處，即滿足處，即滿足220mxh故有故有22222mhxh g且由且由123,nnn可知在界面可知在界面上的相位移動上的相位移動大于下界面的相移大于下界面的相移即即/2/2,代入上式代入上式/2mxh這意味著場分布的極大值（波腹）偏向襯底。這意味著場分布的極大值（波腹）偏向襯底。（4）由）由及及22221201()xxknnkk 22231301(),xxknnkk 且且23,nn可知可知23xxkk這表示場在覆蓋層中衰減得比在下襯底中快。這表示場在覆蓋層中衰減得比在下襯底中快。0TE由以上四點，可以畫出由以

39、上四點，可以畫出模在波導(dǎo)截面上場分布情況，如圖所示。模在波導(dǎo)截面上場分布情況，如圖所示。中間層場在中間層場在x向變化不足兩個向變化不足兩個“半駐波半駐波”，階數(shù)，階數(shù)m越大，在覆蓋層及越大，在覆蓋層及襯底襯底12TETE 、類似地還可以導(dǎo)出類似地還可以導(dǎo)出模場分布特征，如對模場分布特征，如對1TE波，波，中振幅衰減越緩慢，即能量在中振幅衰減越緩慢，即能量在2n3n和和二介質(zhì)中延伸部分越多，能量二介質(zhì)中延伸部分越多，能量越分散。越分散。 導(dǎo)波的傳輸功率就是通過波導(dǎo)橫截面的功率。由于薄膜波導(dǎo)在導(dǎo)波的傳輸功率就是通過波導(dǎo)橫截面的功率。由于薄膜波導(dǎo)在y方向是無限寬，故只計算在方向是無限寬，故只計算在y

40、方向上單位寬度上傳輸?shù)墓β剩从嫹较蛏蠁挝粚挾壬蟼鬏數(shù)墓β?，即計算?的條形面積上傳輸?shù)墓β?。的條形面積上傳輸?shù)墓β省挾葹閷挾葹?，高度（，高度（x方向上）為方向上）為 類似于金屬導(dǎo)波中的求法，傳輸?shù)墓β实扔谠谝蟮慕孛嫔系念愃朴诮饘賹?dǎo)波中的求法，傳輸?shù)墓β实扔谠谝蟮慕孛嫔系姆e分，即積分，即*1Re()2PSdEHdrrrg 對于對于TE波，且考慮到單位寬度的條形面積波，且考慮到單位寬度的條形面積則得則得,2*01Re22yxyPE H dxEdx 5. 介質(zhì)平面波導(dǎo)中的傳輸功率介質(zhì)平面波導(dǎo)中的傳輸功率 把把yE 在在x上分布的公式代入上式，進(jìn)行分段積分，得上分布的公式代入上式，進(jìn)行分段積

41、分，得23022()2222112300cos ()2xxhKxKx hxhPAK xdxA edxA edx2102311()4xxAhkkeS h其中其中2104SA是單位寬度的波導(dǎo)傳輸?shù)钠骄β拭芏?，是單位寬度的波?dǎo)傳輸?shù)钠骄β拭芏龋?311=exxhhkk即為等效厚度。即為等效厚度。2311,xxkk表示表示yE衰減到衰減到1e處的深度，這一深度正是全反射中的處的深度，這一深度正是全反射中的倏逝波的穿透深度倏逝波的穿透深度.mz因此，傳輸功率因此，傳輸功率可以看作是在厚度為可以看作是在厚度為ePS h的平板波導(dǎo)中的平板波導(dǎo)中eh以平均功率密度以平均功率密度傳輸。而傳輸。而x方向上實際

42、傳輸功率是變化的，在波腹方向上實際傳輸功率是變化的，在波腹S處傳輸?shù)墓β拭芏葮O大值為處傳輸?shù)墓β拭芏葮O大值為210.2A 對于對于TM波，利用波，利用222221201121222221301131()tan2()tan2xxxxnnkknnknnkknnk 求得單位寬度的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)傳輸功率求得單位寬度的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)傳輸功率2()14TMePH h其中其中2311exxhhkk上式在形式上與上式在形式上與TE波類似，但要注意的是，其中的等效厚度波類似，但要注意的是，其中的等效厚度eh與與TE波中波中的值不同，這是因為對于的值不同，這是因為對于TE波與波與TM波，波，與與的數(shù)值不同，從而由的數(shù)

43、值不同，從而由特征方程對同一個特征方程對同一個m值及值及0k值將有不同的值將有不同的i值，這是使值，這是使123xxxkkk、的值對于的值對于P波與波與S波均不同而造成的。波均不同而造成的。同樣我們也可以證明，等效厚度中的同樣我們也可以證明，等效厚度中的21/xk31/xk和和就是全反射就是全反射中用古斯中用古斯-漢森位移所求出來的倏逝穿透深度。漢森位移所求出來的倏逝穿透深度。介質(zhì)平板波導(dǎo)中的古斯介質(zhì)平板波導(dǎo)中的古斯-漢森位移及穿透深度漢森位移及穿透深度6. 圓形介質(zhì)波導(dǎo)（光纖）的一般概念圓形介質(zhì)波導(dǎo)（光纖）的一般概念（a）均勻光纖；（）均勻光纖；（b）非均勻光纖）非均勻光纖在均勻光纖中可以存

44、在兩種光射線：在均勻光纖中可以存在兩種光射線：子午光線子午光線光線處在過光纖軸線的子午面內(nèi)；光線處在過光纖軸線的子午面內(nèi)；孤矢光線孤矢光線不通過光纖軸的光線。不通過光纖軸的光線。21arcsinicnn對于子午光線，入射角應(yīng)滿足全反射條件對于子午光線，入射角應(yīng)滿足全反射條件此時方可在光纖中傳播。此時方可在光纖中傳播。 芯層與包層折射率之差直接影響到光纖的性能。引入幾個常芯層與包層折射率之差直接影響到光纖的性能。引入幾個常用的概念：用的概念：（1）相對折射率指數(shù)差）相對折射率指數(shù)差2212212nnn 對于對于12,n n相差極小的光纖，相對折射率指數(shù)差可近似為相差極小的光纖，相對折射率指數(shù)差可

45、近似為121nnn 這種光纖稱為弱導(dǎo)波光纖。這種光纖稱為弱導(dǎo)波光纖。（2）數(shù)值孔徑）數(shù)值孔徑NA 數(shù)值孔徑是描寫允許進(jìn)入光纖芯內(nèi)形成導(dǎo)波的光線范圍參數(shù)。數(shù)值孔徑是描寫允許進(jìn)入光纖芯內(nèi)形成導(dǎo)波的光線范圍參數(shù)。如圖。如圖。設(shè)光線以與光軸成設(shè)光線以與光軸成0角度方向從光纖角度方向從光纖0,n端面入射，設(shè)光纖外的環(huán)境折射率為端面入射，設(shè)光纖外的環(huán)境折射率為定義數(shù)值孔徑為定義數(shù)值孔徑為00sinNAn表示為最大允許的入射角范圍，表示為最大允許的入射角范圍，此時入射的光處于內(nèi)壁全反射臨界狀態(tài)，在此光錐之內(nèi)的所有光此時入射的光處于內(nèi)壁全反射臨界狀態(tài)，在此光錐之內(nèi)的所有光線均可在光纖內(nèi)傳播，反之，入射到光纖內(nèi)的光就會從介質(zhì)的界線均可在光纖內(nèi)傳播，反之，入射到光纖內(nèi)的光就會從介質(zhì)的界面上折射到包層中而逃逸。面上折射到包層中而逃逸。圓形介質(zhì)波導(dǎo)的電磁理論解法圓形介質(zhì)波導(dǎo)的電磁理論解法 柱坐標(biāo)系下，電場磁場各分量之間的關(guān)系柱坐標(biāo)系下，電場磁場各分量之間的關(guān)系22221()11()1()1()zzrzczzzczzrczzzcEHiEikkrrEHEikikrrEHiHikzkrrEikHHikrr g 首先求出首先求出z向長分量向長分量,zzE H就可以求出全部電磁分量。就可