2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《基本不等式》理新人教A版Word版

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解基本不等式的證明過程2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.1.以選擇題或填空題的形式考查基本不等式的應(yīng)用，如比較大小、求最值等，如2012年福建T5，湖南T8等2.在實(shí)際問題中和函數(shù)建模綜合起來，考查基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，如2012年江蘇T17等.歸納·知識(shí)整合1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)探究1.如何理解基本不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義？提示：當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)，即ab僅當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)，即ab.2幾個(gè)重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(

2、a，b同號(hào))ab2(a，bR)；2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題2 / 50已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是2(簡記：和定積最大)探究2.當(dāng)利用基本不等式求最大(小)值時(shí)，等號(hào)取不到時(shí)，如何處理？提示：當(dāng)?shù)忍?hào)取不到時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)來求解例如，yx在x2時(shí)的最小值，利用單調(diào)性，易知x

3、2時(shí)ymin.自測(cè)·牛刀小試1已知m>0，n>0，且mn81，則mn的最小值為()A18B36C81 D243解析：選A因?yàn)閙>0，n>0，所以mn2218.2若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a()A1B1C3D4解析：選Cf(x)xx22，x>2x2>0f(x)2 24當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時(shí)，“”成立，又f(x)在xa處取最小值，所以a3.3已知x>0，y>0，z>0，xy2z0則的()A最小值為8 B最大值為8C最小值為 D最大值為解析：選D.當(dāng)且僅，即x2z時(shí)取等號(hào)4函數(shù)yx的值域?yàn)開解析：當(dāng)x>0

4、時(shí)，x2 2；當(dāng)x<0時(shí)，x>0，x2 2，所以x2.綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?，22，)答案：(，22，)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的最小值是_解析：由題意知：P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，不妨設(shè)P(m，n)為第一象限中的點(diǎn)，則m>0，n>0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)416(當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m時(shí)，取等號(hào))故線段PQ長的最小值為4.答案：4利用基本不等式證明不等式例1已知a>0，b>0，ab1，求證：9.自主解答法一：a>0，b>0，ab1，112.同理，12.5

5、2549，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取“”9，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立法二：111，a，b為正數(shù)，ab1，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”于是4，8，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”189，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立保持例題條件不變，證明： 2.證明：a>0，b>0，且ab1， 2.當(dāng)且僅當(dāng)a1，b1，即ab時(shí)“”成立利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)、并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等1已知a>0，b>0，c>0，求證：a

6、bc.證明：a>0，b>0，c>0，2 2c，2 2b，2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.利用基本不等式求最值例2(1)(2012·浙江高考)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5 D6(2)已知a>0，b>0，a21，則a 的最大值為_自主解答(1)由x3y5xy，得5(x>0，y>0)，則3x4y(3x4y)(1312)5.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)，“”成立，此時(shí)由解得(2)a>0，a ·，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)a的最大值為.答案(1)C(2)應(yīng)用基本不等式求最值的條件利用基本不等式求

7、最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：(1)一正二定三相等“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方2(1)函數(shù)ya1x(a>0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10(m，n>0)上，求的最小值；(2)若正數(shù)a，b滿足abab3，求ab的取值范圍解：(1)ya1x(a>0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，A(1,1)又點(diǎn)A在直線mxny10

8、(m>0，n>0)上，mn1(m>0，n>0)(mn)·2224，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為4.(2)abab3，又a，b(0，)，ab23.設(shè)t>0，t22t30.t3或t1(舍去)ab的取值范圍是9，)利用基本不等式解決實(shí)際問題例3為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t0)萬元滿足x4(k為常數(shù))如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每

9、件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)(1)將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家2014年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大？自主解答(1)由題意有14，得k3，故x4.故y1.5××x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.基本不等式2 6，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2.5時(shí)等號(hào)成立故y27t27.527.5621.5.當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)，等號(hào)成立，即t2.5時(shí)，y有最大值21.5.所以2014年的年促銷費(fèi)用投入2.5萬元時(shí)，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)

10、注意的問題(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求.(4)有些實(shí)際問題中，要求最值的量需要用幾個(gè)變量表示，同時(shí)這幾個(gè)變量滿足某個(gè)關(guān)系式，這時(shí)問題就變成了一個(gè)條件最值，可用求條件最值的方法求最值.3某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售量8萬件(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最高為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)

11、行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)解：(1)設(shè)每件定價(jià)為x元，依題意，有x25×8，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最高為40元(2)依題意，x>25時(shí)，不等式ax25×850(x2600)x有解，等價(jià)于x>25時(shí)，ax有解，x2 10(當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)，等號(hào)成立)，a10.2.當(dāng)該

12、商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元1個(gè)技巧公式的逆用運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b>0)逆用就是ab2(a，b>0)等，還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等2個(gè)變形基本不等式的變形(1)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))；(2) (a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))3個(gè)關(guān)注利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不

13、等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致. 創(chuàng)新交匯基本不等式在其他數(shù)學(xué)知識(shí)中的應(yīng)用1考題多以函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)為載體考查基本不等式求最值問題2解決此類問題的關(guān)鍵是正確利用條件轉(zhuǎn)換成能利用基本不等式求解的形式，同時(shí)要注意基本不等式的使用條件典例(2012·湖南高考)已知兩條直線l1：ym和l2：y(m0)，l1與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y|log2x|

14、的圖象從左至右相交于點(diǎn)C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為()A16B8C8 D4解析數(shù)形結(jié)合可知A，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1，)內(nèi)，而且xCxA與xBxD同號(hào)，所以，根據(jù)已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2，由于m4，當(dāng)且僅當(dāng)，即2m14，即m時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為28.答案B1本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)本題是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問題，通過分析、轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值問題(2)本題將指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式相結(jié)合，考查了考生分析問題、解決問題的能力2解決本

15、題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)(1)正確求出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)正確理解a，b的幾何意義，并能正確用A、C、B、D的坐標(biāo)表示；(3)能用拼湊法將m(m>0)化成利用基本不等式求最值的形式1已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是()A0B1C2D4解析：選D由題知abxy，cdxy，x>0，y>0，則4，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)2若直線axby20(a>0，b>0)被圓x2y22x4y10截得的弦長為4，則的最小值為()A. B.C. D.2解析：選C圓的直徑是4，說明直線過圓心(1,2)，故ab1，當(dāng)且僅當(dāng)，即a

16、2(1)，b2時(shí)取等號(hào)3若x>0，y>0，且a恒成立，則a的最小值是_解析：由a，得a，令f(x，y)，則f(x，y) ，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立故a .答案：一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：選C取x，則lglg x，故排除A；取x，則sin x1，故排除B；取x0，則1，故排除D.2(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aa&l

17、t;v<BvC.<v< Dv解析：選A設(shè)甲、乙兩地的距離為S，則從甲地到乙地所需時(shí)間為，從乙地到甲地所需時(shí)間為，又因?yàn)閍<b，所以全程的平均速度為v<，>a，即a<v<.3若a>0，b>0，且ln(ab)0，則的最小值是()A.B1C4D8解析：選C由a>0，b>0，ln(ab)0得故4.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)上式取“”4(2013·淮北模擬)函數(shù)y(x>1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：選Ax>1，x1>0，yx122· 222，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，取等號(hào)5設(shè)a>0，

18、b>0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：選C由0得k，而24(ab時(shí)取等號(hào))，所以4，因此要使k恒成立，應(yīng)有k4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.6(2013·溫州模擬)已知M是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且·2，BAC30°，若MBC，MCA和MAB的面積分別為，x，y，則的最小值是()A20 B18C16 D19解析：選B由·|·|cos 30°2得|·|4，SABC|·|sin 30°1，由xy1得xy.所以2·(xy)22×(52×2)18.二、

19、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站_公里處解析：設(shè)x為倉庫與車站距離，由已知y1；y20.8x費(fèi)用之和yy1y20.8x2 8，當(dāng)且僅當(dāng)0.8x，即x5時(shí)“”成立答案：58若a>0，b>0，ab2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))ab1 a2b22a3b332.解析：兩個(gè)正數(shù)，和為定值，積有最大值，即ab1，

20、當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，故正確；()2ab2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，得2，故錯(cuò)誤；由于1，故a2b22成立，故正確；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故錯(cuò)誤；·1112，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，故正確答案：9(2013·泰州模擬)已知x>0，y>0，x2y2xy8，則x2y的最小值是_解析：依題意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，當(dāng)且僅當(dāng)x12y1，即x2，y1時(shí)取等號(hào)，故x2y的最小值是4.答案：4三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10已知a

21、>0，b>0，c>0，d>0.求證：4.證明：224(當(dāng)且僅當(dāng)ab，cd時(shí)，取“”)，故4.11已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x>0，y>0，xy2x8y2，即xy8，8，即xy64.當(dāng)且僅當(dāng)2x8y，即x16，y4時(shí)，“”成立xy的最小值為64.(2)x>0，y>0，且2x8yxy0，2x8yxy，即1.xy(xy)·10102 18，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y12時(shí)“”成立xy的最小值為18.12提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流

22、速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))解：(1)由題意，當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，則由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由

23、(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，f(x)取得最大值為60×201 200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí)1已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_解析：log2alog2blog2ab.log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，3a9

24、b的最小值為18.答案：182設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：ab2.證明：由于a、b均為正實(shí)數(shù)，所以2 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)閍b2 2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，所以abab2，當(dāng)且僅當(dāng)即ab時(shí)取等號(hào)3已知x<，求f(x)4x2的最大值解：因?yàn)閤<，所以54x>0，則f(x)4x23231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立4某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比

25、x(x>1)，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計(jì)？解：(1)設(shè)休閑區(qū)的寬為a米，則長為ax米，由a2x4 000，得a.則S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·16080(2)4 160(x>1)(2)804 16080×2 4 1601 6004 1605 760.當(dāng)且僅當(dāng)2，即x2.5時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a40，ax100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計(jì)為長100米，寬40米備考方向要明了考 什 么怎 么 考

26、1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.1.合情推理的考查常單獨(dú)命題，以選擇題、填空題的形式考查，如2012年江西T6，陜西T11，湖南T16等2.對(duì)演繹推理的考查則滲透在解答題中，側(cè)重于對(duì)推理形式的考查.歸納·知識(shí)整合1合情推理(1)歸納推理：定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理特點(diǎn)：是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理定

27、義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理特點(diǎn)：類比推理是由特殊到特殊的推理探究1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：不一定，結(jié)論是否真實(shí)，還需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)2演繹推理(1)模式：三段論大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理探究2.演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎？提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結(jié)論才一定是真實(shí)的，錯(cuò)誤的前提則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論自測(cè)·牛刀小試1下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)

28、；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分；三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，五邊形的內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n2)·180°.ABC D解析：選C是類比推理，是歸納推理，是非合情推理2觀察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，則52 013的末四位數(shù)字為()A3 125 B5 625C0 625 D8 125解析：選A553 125,5615 62

29、5,5778 125，58390 625，591 953 125，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m4k與5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2 0134×5025，所以52 013與55后四位數(shù)字相同為3 125.3給出下列三個(gè)類比結(jié)論(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22a·bb2.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選B不正確，正確4(教材習(xí)題改編)有一段演

30、繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D非以上錯(cuò)誤解析：選A大前提是錯(cuò)誤的，直線平行于平面，則不一定平行于平面內(nèi)所有直線，還有異面直線的情況5(教材習(xí)題改編)在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立，猜想，在n邊形A1A2An中，成立的不等式為_解析：932,1642,2552，且132,242,352，故在n邊形A1A2An中，有不等式成立答案：(n3)歸納推理例1(1)(2012·

31、江西高考)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28B76C123 D199(2)設(shè)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明自主解答(1)記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a1

32、0b10123.(2)f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，猜想f(x)f(1x)，證明：f(x)，f(1x).f(x)f(1x).答案(1)C利用本例(2)的結(jié)論計(jì)算f(2 014)f(2 013)f(1)f(0)f(1)f(2 015)的值解：f(x)f(1x)，f(2 014)f(2 013)f(1)f(0)f(1)f(2 015)f(2 014)f(2 015)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)2 015×. 歸納推理的分類常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與

33、序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納1觀察下列等式：可以推測(cè)：132333n3_(nN*，用含n的代數(shù)式表示)解析：第二列等式右邊分別是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，與第一列等式右邊比較即可得，132333n3(123n)2n2(n1)2.答案：n2(n1)2類比推理例2(2013·廣州模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，則amn.類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn>0，nN*)，若b

34、mc，bnd(nm2，m，nN*)，則可以得到bmn_.自主解答法一：設(shè)數(shù)列an的公差為d1，則d1.所以amnamnd1an·.類比推導(dǎo)方法可知：設(shè)數(shù)列bn的公比為q，由bnbmqnm可知dcqnm，所以q，所以bmnbmqnc·.法二：(直接類比)設(shè)數(shù)列an的公差為d1，數(shù)列bn的公比為q，因?yàn)榈炔顢?shù)列中ana1(n1)d1，等比數(shù)列中bnb1qn1，因?yàn)閍mn，所以bmn.答案類比推理的分類類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解；(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖

35、形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移2在ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D.求證：.那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由證明：如圖所示，ABAC，ADBC，ABDCAD，ABCDBA，AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想：類比ABAC，ADBC，猜想四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD，

36、則.下面證明上述猜想成立如右圖所示，連接BE并延長交CD于點(diǎn)F，連接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.同理可得在RtACD中，AFCD，.故猜想正確演 繹 推 理例3已知函數(shù)f(x)(a0且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3) 的值自主解答(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)由已知得y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(2)由(1)可知1f(x)f(1x

37、)，即f(x)f(1x)1.則f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論(2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提一般地，若大前提不明確時(shí)，一般可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提3已知

38、函數(shù)f(x)bx，其中a>0，b>0，x(0，)，試確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的增減性解：法一：設(shè)0<x1<x2，則f(x1)f(x2)(x2x1)·.當(dāng)0<x1<x2 時(shí)，a>0，b>0，x2x1>0,0<x1x2<，>b，f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在上是減函數(shù)；當(dāng)x2>x1 >0時(shí)，x2x1>0，x1x2>，<b，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在上是增函數(shù)法二：a>0

39、，b>0，x(0，)，令f(x)b0，得x ，當(dāng)0x 時(shí)，b，b0，即f(x)0，f(x)在上是減函數(shù)；當(dāng)x 時(shí)，b0，即f(x)0，f(x)在上是增函數(shù)2個(gè)步驟歸納推理與類比推理的步驟(1)歸納推理的一般步驟：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)；檢驗(yàn)猜想(2)類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)；檢驗(yàn)猜想1個(gè)區(qū)別合情推理與演繹推理的區(qū)別(1)歸納是由特殊到一般的推理；(2)類比是由特殊到特殊的推理；(3)演繹推理是由一般到特殊的推理；(4)從推理的結(jié)

40、論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確. 創(chuàng)新交匯合情推理與證明的交匯創(chuàng)新1歸納推理主要有數(shù)與式的歸納推理、圖形中的歸納推理、數(shù)列中的歸納推理；類比推理主要有運(yùn)算的類比、性質(zhì)的類比、平面與空間的類比題型多為客觀題，而2012年福建高考三角恒等式的推理與證明相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，是高考命題的一個(gè)創(chuàng)新2解決此類問題首先要通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；然后把這種相似性推廣到一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)；最后對(duì)所得的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)典例(2012·福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同

41、一個(gè)常數(shù)：(1)sin213°cos217°sin 13°cos 17°；(2)sin215°cos215°sin 15°cos 15°；(3)sin218°cos212°sin 18°cos 12°；(4)sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；(5)sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)

42、(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解法一：(1)選擇(2)式，計(jì)算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin

43、cos sin2sin2cos2.法二：(1)同法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin ·cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin (cos 30°cos sin 30°sin )cos 2(cos 60°cos 2sin 60°sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1本題的創(chuàng)新點(diǎn)(1)本題給出一個(gè)等于同一個(gè)常數(shù)的5個(gè)代數(shù)式，但沒有給出具體的值，需要學(xué)生求出這個(gè)常數(shù)，這

44、打破以往給出具體關(guān)系式的模式(2)本題沒有給出具體的三角恒等式，需要考生歸納并給出證明，打破了以往只歸納不證明的方式2解決本題的關(guān)鍵(1)正確應(yīng)用三角恒等變換，用一個(gè)式子把常數(shù)求出來(2)通過觀察各個(gè)等式的特點(diǎn)，找出共性，利用歸納推理正確得出一個(gè)三角恒等式，并給出正確的證明閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得sin()sin()2sin cos .令A(yù)，B，有，代入得sin Asin B2sincos.(1)類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cos Acos B2sinsin；(2

45、)若ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos 2Acos 2B1cos 2C，試判斷ABC的形狀(提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論)解：(1)因?yàn)閏os()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令A(yù)，B，有，代入得cos Acos B2sinsin.(2)由二倍角公式，cos 2Acos 2B1cos 2C可化為12sin2A12sin2B112sin2C，所以sin2Asin2Csin2B.設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由正弦定理可得a2c2b2.根據(jù)勾股定理的逆定理知

46、ABC為直角三角形一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2013·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確解析：選C由于f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，故小前提不正確2(2013·銀川模擬)當(dāng)x(0，)時(shí)可得到不等式x2，x23，由此可以推廣為xn1，取值p等于()Ann Bn2Cn Dn1解析：選Ax(0，)時(shí)可得到不等式x2，x23，在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母xn的指數(shù)n的指數(shù)次方，即pnn.3由代數(shù)式的乘法法則類比

47、推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”；“”類比得到“”以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4解析：選B正確，錯(cuò)誤4(2012

48、83;江西高考)觀察下列事實(shí)：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A76 B80C86 D92解析：選B通過觀察可以發(fā)現(xiàn)|x|y|的值為1,2,3時(shí)，對(duì)應(yīng)的(x，y)的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,8,12，可推出當(dāng)|x|y|n時(shí)，對(duì)應(yīng)的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4n，所以|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為80.5設(shè)ABC的三邊長分別為a、b、c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體SABC的四個(gè)面的面積分別為

49、S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體SABC的體積為V，則R()A. B.C. D.解析：選C設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為O，那么由VVOABCVOSABVOSACVOSBC，即：VS1RS2RS3RS4R，可得：R.6已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析：選B依題意，就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組，不難得知第n組整數(shù)對(duì)的和為n1，且有n個(gè)整數(shù)對(duì)，這樣的前n組一共有個(gè)整數(shù)對(duì)，注意到<60

50、<，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組(每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組)的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是(5,7)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(2012·陜西高考)觀察下列不等式1<，1<，1<，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_解析：觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列即1<(nN*，n2)，所以第五個(gè)不等式為1<.答案：1<8(2012·湖北高考)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，1