泰勒公式及其妙用

1、泰勒公式及其妙用學(xué)號(hào)： 姓名 班級(jí)： 1公式形式泰勒公式可以用(無限或者有限)若干項(xiàng)連加式來表示一個(gè)函數(shù)，這些相加的項(xiàng)由函數(shù)在某一點(diǎn)(或者加上在臨近的一個(gè)點(diǎn)的 次導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)求得對(duì)于正整數(shù)n，若函數(shù) 在閉區(qū)間 上 階連續(xù)可導(dǎo)，且在 上 階可導(dǎo)。任取一是一定點(diǎn)，則對(duì)任意 成立下式： 其中 表示 的n階導(dǎo)數(shù)，多項(xiàng)式稱為函數(shù) 在a處的泰勒展開式，剩余的 是泰勒公式的余項(xiàng)，是 的高階無窮小。  2公式的余項(xiàng) 可以寫成以下幾種不同的形式：1、佩亞諾(peano）余項(xiàng)：這里n階導(dǎo)數(shù)存在2、施勒米爾希-羅什(schlomilch-roche）余項(xiàng)：其中（0,1）。3、拉格朗日（lagrange）余

2、項(xiàng)： 其中（0,1）。4、柯西（cauchy）余項(xiàng)：其中（0,1）。5、積分余項(xiàng)：以上諸多余項(xiàng)事實(shí)上很多是等價(jià)的。3公式推廣1麥克勞林展開函數(shù)的麥克勞林展開指上面泰勒公式中a取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0處n階連續(xù)可導(dǎo)，則下式成立：其中 表示 的n階導(dǎo)數(shù)。 2泰勒中值定理若 在包含 的某開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x（a，b）時(shí)，有：其中 是n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)： 4公式應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用中，泰勒公式需要截?cái)啵蝗∮邢揄?xiàng)，一個(gè)函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。2一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。3泰勒級(jí)數(shù)可以用來近似計(jì)算函數(shù)的值。 在這里著重介紹泰勒公式在求極限中的應(yīng)用，以下為常用函數(shù)的泰勒展開式。由上面幾個(gè)例題可以看出泰勒公式可以在我們求極限的過程中為我們帶來許多方便使許多復(fù)雜的極限問題簡(jiǎn)單化，當(dāng)然泰勒公式的妙用還有很多，由于所學(xué)有限，就不在此一一列舉