導數(shù)綜合復習

1、1導數(shù)綜合復習課導數(shù)綜合復習課21.導數(shù)的定義導數(shù)的定義: 設函數(shù)設函數(shù)y=f (x)在點在點x0處及其附近有定義處及其附近有定義,當自當自變量變量x在點在點x0處有改變量處有改變量x時函數(shù)有相應的改變時函數(shù)有相應的改變y=f(x0+ x)- f(x0). 如果當如果當x0 時時,y /x的極限存在的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)這個極限就叫做函數(shù)f (x)在點在點x0處的處的導數(shù)導數(shù)(或變化率或變化率)記作記作 即即:,|)(00 xxyxf 或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 2.2.幾種常見函數(shù)的導數(shù)幾種常見函數(shù)的導數(shù)公式公式1: .)(0為為常常數(shù)數(shù)CC

2、公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 公式公式3: .xxcos)(sin 公式公式4: .(cos )sinxx1(ln ).xx公式公式5: .公式公式6: .1(log)log.aaxex().xxee 公式公式7:( )ln (0,1).xxaaaaa3法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導等于這兩個函數(shù)的導 數(shù)的和數(shù)的和(差差),即即:.)(vuvu 3.導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù) 乘第二個函數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘第

3、二個函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù) ,即即.)(vuvuuv 法則法則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于分子的導數(shù)與分母等于分子的導數(shù)與分母 的積的積,減去分母的導數(shù)與分子的積減去分母的導數(shù)與分子的積,再除以分母再除以分母 的平方的平方,即即:).0()(2 vvvuvuvu設函數(shù)設函數(shù) 在點在點x處有導數(shù)處有導數(shù) ,函數(shù)函數(shù)y=f(u)在在點點x的對應點的對應點u處有導數(shù)處有導數(shù) ,則復合函數(shù)則復合函數(shù)在點在點x處也有導數(shù)處也有導數(shù),且且 或記或記)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;xuxuyy ).()()(xufxfx 4.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)4例例1:如圖如圖,已

4、知曲線已知曲線 ,求求: (1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上一點上一點 yx-2-112-2-11234OP313yx2230133 ()()lim3xxxxxxx . 42|22 xy即即點點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.解解:330011()33limlimxxxxxyyxx 22201lim33() .3xxx xxx 5例例2 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):432(1)sin 3 cos 4 ;(

5、2).2xayxxyxax解解:3212sin 3 cos 4 (cos3 cos4sin3 sin4 )xxxxxx2222()2()(2)(2)(2)xaxaxxaxaxyxax1222222() (2)2xaxxaxaxxax222.(2)2axaxxax33(1)4sin 3cos3(3 ) cos 4yxxxx42sin 3 3cos 4 ( sin4 ) (4 )xxxx3212sin 3 cos 4 cos7xxx65導數(shù)應用的知識網(wǎng)絡結構圖：導數(shù)應用的知識網(wǎng)絡結構圖：76基本思想與基本方法：基本思想與基本方法：數(shù)形轉化思想：從幾何直觀入手，理解函數(shù)單調數(shù)形轉化思想：從幾何直觀入

6、手，理解函數(shù)單調 性與其導數(shù)的關系，由導數(shù)的幾何意義直觀地探性與其導數(shù)的關系，由導數(shù)的幾何意義直觀地探 討出用求導的方法去研究，解決有導數(shù)函數(shù)的極討出用求導的方法去研究，解決有導數(shù)函數(shù)的極 值與最值問題。這體現(xiàn)了數(shù)學研究中理論與實踐值與最值問題。這體現(xiàn)了數(shù)學研究中理論與實踐 的辯證關系，具有較大的實踐意義。的辯證關系，具有較大的實踐意義。求有導數(shù)的函數(shù)求有導數(shù)的函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間的步驟：的單調區(qū)間的步驟： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）確認并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）。）確認并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）。 證明有導數(shù)函數(shù)證明

7、有導數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內的單調性：內的單調性： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）確認）確認f(x)在在(a，b)內的符號；內的符號； iv）作出判斷。）作出判斷。 8求有導數(shù)的函數(shù)求有導數(shù)的函數(shù)y=f（x）的極值的步驟：）的極值的步驟： i）求導數(shù)）求導數(shù)f(x)； ii）求方程）求方程f(x)=0的全部實根；的全部實根； iii）檢查）檢查f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右兩側的值的根左右兩側的值 的符號，如果左正右負，那么的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個）在這個 根處取得極大值；如果左負右正，那

8、么根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x） 在這個根處取得極小值。在這個根處取得極小值。設設y=f（x）在）在a，b上有定義，在上有定義，在(a，b)內有導數(shù)，內有導數(shù)，求求f（x）在）在a，b上的最大值和最小值的步驟：上的最大值和最小值的步驟： i）求）求f（x）在（）在（a，b）內的極值；）內的極值； ii）將）將f（x）的各極值與）的各極值與f（a）、）、f（b）比較，確）比較，確 定定f（x）的最大值與最小值。）的最大值與最小值。在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值 點（單峰函數(shù)），那么，只要根據(jù)實際意義判定點（單峰函數(shù)），那么，只要根

9、據(jù)實際意義判定 最值，不必再與端點的函數(shù)值作比較。最值，不必再與端點的函數(shù)值作比較。9例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的單調區(qū)間的單調區(qū)間.29xyx解解:2222(9)(9)(9)x xx xyx22290(9)xx( )3,f xx 的定義域為(, 3),( 3,3),(3,)xxx 當時時, y是減函數(shù)是減函數(shù).10例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.42yxx解解:242yx2420,yx由得2x xyy22(,2) (2,0)( 2,)00(0,2)+-極大值極大值-+極小極小 值值2,4 2;xy 極大值當時2,4 2;xy極小值當時11例例5 求函數(shù)求函數(shù) 的最大值和最小值的最大值和最小值

10、.241xyx解解:2224(1)42(1)xxxyx2224(1)(1)xx2224(1)0,1,(1)xxx 由得xyy(, 1) 1( 1,1)1(1,)-0+0-極大值極大值極小值極小值min1,2;x 故當時ymax1,2.x 故當時y12xy例例6: 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)= 4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個圍成的圖形中有一個 內接矩形內接矩形ABCD,求這求這 個矩形的最大面積個矩形的最大面積.解解:設設B(x,0)(0 x2), 則則 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2 , 0(1 x所以當所以當 時時,.9332)(3322max xSx因此當點因此當點B為為 時時,矩形的最大面積是矩形的最大面積是) 0 ,2322( .933213例例7:已知已知x,y為正實數(shù)為正實數(shù),且且x2-2x+4y2=0,求求xy的最大值的最大值.解解:由由x2-2x+4y2=0得得:(x-1)2+4y2=1.設設 ,由由x,y為正實數(shù)得為正實數(shù)得: sin21