正交矩陣及其性質(zhì) 本科畢業(yè)論文

1、本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 題目名稱(chēng)：正交矩陣及其性質(zhì) 學(xué) 院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專(zhuān)業(yè)年級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名： 班級(jí)學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)教師： 二O一三年五月二十四日 摘 要正交矩陣是一種常用的特殊矩陣, 在矩陣論中占有重要地位, 有著非常好的性質(zhì), 并具有廣泛的應(yīng)用. 本文應(yīng)用矩陣的行列式, 特征值, 秩等概念, 深入研究了正交矩陣的相關(guān)性質(zhì), 并利用這些性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題. 關(guān)鍵詞: 矩陣; 正交矩陣; 特征值; 行列式; 秩AbstractOrthogonal matrix is a kind of commonly used matrix and plays an important role

2、in matrix theory. Orthogonal matrix has many good properties. It is widely used. In this paper, we depth study the related properties of orthogonal matrix by applying the concepts of determinant, eigenvalue, rank and so on in matrix, and using these properties solve some practical problems. Kerword:

3、 Matrix; Orthogonal matrix; Eigenvalue; Determinant; Rank 目 錄摘 要IAbstractII目 錄III1. 引 言12. 正交矩陣的定義及其性質(zhì)12.1正交矩陣的定義12.2正交矩陣的性質(zhì)13. 應(yīng)用舉例5致 謝7參考文獻(xiàn)81. 引 言矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念, 是代數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象之一. 矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中的核心內(nèi)容, 而正交矩陣作為一種特殊形式的矩陣, 在整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系中占有重要地位, 有著非常好的性質(zhì)1-4, 并在各領(lǐng)域的數(shù)學(xué)方法中有著廣泛的應(yīng)用, 對(duì)其本身的研究來(lái)說(shuō)是富有創(chuàng)造性的領(lǐng)域. 關(guān)于正交矩陣的研究, 如今已取得

4、了豐富的成果, 文獻(xiàn)5比較全面的分析了正交矩陣的性質(zhì); 文獻(xiàn)6討論了正交矩陣的特征值與行列式的關(guān)系; 文獻(xiàn)7闡述了2階正交矩陣有哪些類(lèi)型; 文獻(xiàn)8利用歐式空間的理論得出了正交矩陣的子式的性質(zhì); 文獻(xiàn)9應(yīng)用正交矩陣的若干性質(zhì), 給出了正交矩陣特征多項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律; 文獻(xiàn)10敘述了正交矩陣在近世代數(shù)中的應(yīng)用. 國(guó)內(nèi)還有許多學(xué)者研究了正交矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用, 為矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展做出了重大貢獻(xiàn), 對(duì)于研究學(xué)習(xí)高等代數(shù)有重大的理論意義. 但他們都是從正交矩陣的某個(gè)性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行研究, 沒(méi)有系統(tǒng)全面的討論正交矩陣的性質(zhì), 所以, 在此基礎(chǔ)上, 本文對(duì)正交矩陣進(jìn)行了較為深入的研究, 得到了正交矩陣的一系列常用性質(zhì)

5、, 并對(duì)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了概括, 改進(jìn)和推廣, 又研究了其子式與余子式的關(guān)系以及正交矩陣的應(yīng)用.2. 正交矩陣的定義及其性質(zhì)2.1正交矩陣的定義定義1 一個(gè)階實(shí)矩陣叫做正交矩陣, 如果.注 (1)一個(gè)階實(shí)矩陣叫做正交矩陣, 如果. (2)若階實(shí)矩陣的個(gè)行(列)向量是兩兩正交的單位向量, 則為正交矩陣. 2.2正交矩陣的性質(zhì)性質(zhì)11-2 設(shè), 均為正交矩陣, 則(1).(2), , , 都是正交矩陣. 性質(zhì)25 設(shè)為正交矩陣, 則其特征值的模等于1, 且屬于的不同特征值的特征向量互相正交. 證 設(shè)為的特征值, 是的屬于的特征向量, 由 ,而, 故, 即的模等于1.另設(shè)是的屬于的特征向量, 由, ,

6、, 可得 .所以,而, 從而, 故, 即與互相正交.性質(zhì)36 設(shè)為正交矩陣, (1)若, 則一定有特征值. (2)若, 且為奇數(shù)，則一定有特征值1.證 (1) 由 ,可得, 即,由特征方程的定義可知, 一定有特征值. (2) 由 , 這里為奇數(shù), 可得, 即 , 由特征方程的定義可知, 一定有特征值1.性質(zhì)4 設(shè)是階正交矩陣, 是歐式空間中的列向量, 則. 證 因?yàn)?,所以.性質(zhì)5 設(shè)是階正交矩陣，則對(duì)任意階正交矩陣，有.證 是階正交矩陣, 由得,而由引理37知, , 其中為階可逆矩陣, 故對(duì)任意階矩陣, 有.性質(zhì)6 (1)設(shè)為對(duì)稱(chēng)正交矩陣, 則必為對(duì)合矩陣, 從而的特征值只能等于. (2)設(shè)

7、為上(下)三角的正交矩陣, 則必為對(duì)角矩陣, 且主對(duì)角線(xiàn)上的元素為.證 (1)顯然成立. (2)不妨設(shè)為上三角的正交矩陣, 則, 所以只能是對(duì)角矩陣.從而是對(duì)稱(chēng)矩陣, 由(1)知, 的特征值只能等于, 故的主對(duì)角線(xiàn)上的元素為.性質(zhì)7 設(shè)為非對(duì)稱(chēng)的正交矩陣, 則的特征值不可能全為實(shí)數(shù).證 反證 若的特征值均為實(shí)數(shù), 則存在正交矩陣, 使得 8,所以合同于對(duì)稱(chēng)矩陣, 從而為對(duì)稱(chēng)陣, 矛盾故的特征值不可能全為實(shí)數(shù). 定義2 在一個(gè)級(jí)行列式中任意選定行列. 位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)級(jí)行列式, 稱(chēng)為行列式的一個(gè)級(jí)子式. 當(dāng)時(shí), 在中劃去這行列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的級(jí)

8、行列式稱(chēng)為級(jí)子式的余子式. 定義3 設(shè)的級(jí)子式在中所在的行, 列指標(biāo)分別是. 則的余子式前面加上符號(hào)后稱(chēng)做的代數(shù)余子式. 性質(zhì)89 設(shè)為正交矩陣, (1) 若, 則的任意子式與其代數(shù)余子式相等. (2) 若, 則的任意子式與其代數(shù)余子式僅差一個(gè)符號(hào).證 (1)記為中階子式, 為的代數(shù)余子式. 由于為正交矩陣, , 故當(dāng)有 . (2)當(dāng)時(shí), 由(1)直接可得 . 性質(zhì)9 設(shè)是階實(shí)矩陣, 則(1) 若, 則為正交矩陣的充要條件是, 其中是在中的代數(shù)余子式.(2) 若, 則為正交矩陣的充要條件是. 證 只證(1) 必要性: 當(dāng)時(shí), 由得, 為正交矩陣，則, 從而, 即. 充分性: 若, 即. 則,

9、于是為正交矩陣.3. 應(yīng)用舉例例1 設(shè), 是兩個(gè)正交矩陣, 為奇數(shù), 證明.證 ,又 ,于是,由是奇數(shù)知. 例2 證明: 不存在正交矩陣, 使. 證 反證 設(shè)有正交矩陣A, B使, 則, 以及, 都是正交矩陣10, 且 , . 從而由知: , .由此二式得, 矛盾, 故得證. 例3 設(shè)為正交矩陣, 是的復(fù)特征值, 為其對(duì)應(yīng)的特征向量, 證明, 的模長(zhǎng)相等且互相正交. 證 令, , 則, 于是, 由得, 即, 由性質(zhì)2知, 所以得, 而, , 所以, 從而,即, 這樣就有及, 故, 的模長(zhǎng)相等且互相正交. 致 謝本文是在高福順老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的. 他為人隨和熱情, 治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心.

10、在我論文的整個(gè)寫(xiě)作過(guò)程中, 高老師對(duì)我提出了許多寶貴的意見(jiàn)和建議, 從選題, 定題開(kāi)始, 一直到最后論文的修改潤(rùn)色, 定稿, 高老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo), 幫助我開(kāi)拓研究思路. 老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心的指導(dǎo), 而且在思想和生活上給我以無(wú)微不至的關(guān)懷, 在此謹(jǐn)向高老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意! 同時(shí)感謝數(shù)學(xué)系各位老師的關(guān)心和教育, 感謝我的同學(xué)們, 正是由于他們的幫助和支持, 我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑, 直至本文的順利完成. 在論文即將完成之際, 我的心情無(wú)法平靜, 從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文的順利完成, 有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)和朋友給了我無(wú)言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠(chéng)摯的謝

11、意！我還要感謝含辛茹苦培養(yǎng)我長(zhǎng)大的父母，謝謝你們！最后，再次對(duì)關(guān)心、幫助我的老師和同學(xué)表示衷心的感謝！參考文獻(xiàn)1 張禾瑞, 郝炳新. 高等代數(shù)M. 北京: 高等教育出版社, 1983, 321- 328. 2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)M. 北京: 高等教育出版社, 2000, 372- 393. 3 楊子胥. 高等代數(shù)精選題解M. 北京: 高等教育出版社, 2008, 518- 528. 4 Paul Edward Spicer. On orthogonal polynomials and related discrete integrable systemsD. Leeds, UK: Department of Applied Mathematics, School of Mathematics, University of Leeds, 2006. 5 戴立輝, 王澤文, 劉龍章. 正交矩陣的若干性質(zhì)J. 華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào), 2002, 25( 3 ) : 267- 269. 6 鄭艷琳, 劉少慶. 關(guān)于正交矩陣特征值與行列式的兩個(gè)定理J. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2011, 27( 1 ) : 161- 163. 7 李先崇. 正交矩陣的兩個(gè)特征性質(zhì)J. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1997( 8