小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算和巧算

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算和巧算一、數(shù)的加減乘除有時(shí)可以運(yùn)用運(yùn)算定律、 性質(zhì)、或數(shù)量間的特殊關(guān)系進(jìn)性較快的運(yùn)算這就是簡(jiǎn)便運(yùn)算。（一）其方法有：一：利用運(yùn)算定律、性質(zhì)或法則。(1) 加法：交換律， a+b=b+a, 結(jié)合律， (a+b)+c=a+(b+c).(2) 減法運(yùn)算性質(zhì)： a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b, (a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3): 乘法：利用運(yùn)算定律、性質(zhì)或法則。交換律， a×b=b×a, 結(jié)合律，（ a×b）× c=a×(b ×c), 分配率，（

2、 a+b）× c=a×c+b× c, (a-b) ×c=a×c-b × c.(4) 除法運(yùn)算性質(zhì)：a÷(b × c)=a ÷b÷c, a ÷（ b÷ c)=a ÷ b× c, a ÷b÷c=a÷ c÷ b, (a+b) ÷ c=a÷c+b÷c, (a-b) ÷ c=a÷c-b ÷c.前邊的運(yùn)算定律、 性質(zhì)公式很多是由于去掉或加上括號(hào)而發(fā)生變化的。 其規(guī)律是同

3、級(jí)運(yùn)算中，加號(hào)或乘號(hào)后面加上或去掉括號(hào)， 。后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)不變。例 1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律）。減號(hào)或除號(hào)后面加上或去掉括號(hào)，后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)要改變。例 2：657-263-257=657-257-263=400-263=147. （運(yùn)用減法性質(zhì)，相當(dāng)加法交換律。）例 3：195- （95+24）=195-95-24=100-24=76（運(yùn)用減法性質(zhì)）例 4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.(同上 )例 5：（ 0.75+125）× 8=0.75 &#

4、215;8+125×8=6+1000=1006. ( 運(yùn)用乘法分配律 )例 6：（ 125-0.25 ）× 8=125×8-0.25 × 8=1000-2=998. (同上 )例 7：（1.125-0.75 ）÷ 0.25=1.125 ÷0.25-0.75 ÷0.25=4.5-3=1.5 。（ 運(yùn)用除法性質(zhì)）例 8: (450+81) ÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. ( 同上，相當(dāng)乘法分配律 )例 9： 375÷（ 125÷0.5 ） =375÷ 12

5、5*0.5=3*0.5=1.5. ( 運(yùn)用除法性質(zhì) )例 10： 4.2÷（ 0。6×0.35 ）=4.2 ÷0.6 ÷0.35=7 ÷0.35=20. ( 同上 )例 11：12×125×0.25 ×8=(125×8) ×(12 ×0.25)=1000 ×3=3000(運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律 )例 12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227( 運(yùn)用加法性質(zhì)和結(jié)合律）例 13：（ 48×25×

6、;3）÷ 8=48÷8×25×3=6×25× 3=450. ( 運(yùn)用除法性質(zhì) , 相當(dāng)加法性質(zhì) )（ 5）和、差、積、商不變的規(guī)律。1：和不變：如果 a+b=c, 那么，（ a+d）+(b-d)=c,2:差不變：如果 a-b=c,那么，（ a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c3:積不變：如果 a*b=c,那么 ,(a*d)*(b ÷d)=c,4:商不變：如果 a ÷ b=c, 那么， （a*d ）÷ (b*d)=c, (a ÷d) ÷ (b ÷d)=c.例

7、14： 3.48+0.98= （3.48-0.02 ） +（ 0.98+0.02 ） =3.46+1=4.46 （和不變）例 15： 3576-2997=（3576+3） - （ 2997+3）=3579-3000=579（差不變）學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 16： 74.6 ×6.4+7.46 × 36=7.46× 64+7.46×36=7.46 ×(64+36)=7.46 × 100=746.( 積不變和分配律）例 17: 12.25÷ 0.25 =(12.25*4)÷(0.25*4)=49 ÷1=49. (

8、商不變 ) 。二：拆數(shù)法：（ 1）湊整法， 19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2 =22202(2) 利用規(guī)律， 7.5 ×2.3+1.9 ×2.5-2.5 ×0.4=7.5 × (0.4+1.9)+1.9 × 2.5 -2.5 ×0.4=7.5 × 0.4+7.5 ×1.9+1.9 ×2.5-2.5 ×0.4=0.4 ×(7.5-2.5)+1.9 × (7.5+2.5)=2+19=21.2. 1992 ×200

9、52005-2005×19921992=1992×2005×(10000+1)-2005 ×1992× (10000+1)=0三：利用基準(zhǔn)數(shù)： 2072+2052+2062+2042+2083=（ 2062x5） +10-10-20+21=10311四：改變 順序，重新組合。（1）： （215+357+429+581）- （205+347+419+571） =215+357+429+581-205-347-419-571= （215-205 ）+（429-419 ）+（357-347 ）+（ 581-571） =40（2）：（ 378×

10、;5× 25）× (4 ×0.8 ÷ 3.78)=378 ×5× 25×4×0.8 ÷ 3.78=(378÷ 3.78) ×(25 × 4)x(5 ×0.8)=100x100x4=40000，五： 1：求等差連續(xù)自然數(shù)的和。當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí) ， 有：和 =中間數(shù) x 個(gè)數(shù)。 當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，有：和 =（首 +尾） x 個(gè)數(shù)的一半。(1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+ +10=(1+10)*10 ÷2=55.2:求分

11、數(shù)串的和。 因?yàn)?1/n-1/n+1=1/n(n+1),1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以：（1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11=1/6-1/11=5/66（ 2）： 5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。 +41/400-43/460= （1/2+1/3 ） - （ 1/3+1/4 ） +（ 1/4+1/5 ） - （1/5+1/6 ）+（1/6+1/7 ）-（ 1/7+1/8 ）。 +（ 1/20+1/21 ）- （1/21+1/22

12、）=1/2-1/22=5/113 ：變形約分法。求：（ 1.2+2.3+3.4+4.5 ）÷（ 12+23+34+45）的值。因?yàn)榉帜父黜?xiàng)是分子各項(xiàng)的 10 倍。所以有：原式 =0.1六：設(shè)數(shù)法：求（ 1+0.23+0.34 ）* （0.23+0.34+0.65 ）- （1+0.23+0.34+0.65 ）*（ 0.23+0.34 ）的值。設(shè) a=0.23+0.34 . b=0.23+0.34+0.65.原式 =（1+a）*b-(1+b)*a=b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.（二）：巧算的方法：除運(yùn)用上面所說(shuō)的簡(jiǎn)便方法外

13、，最重要的是抓住題目（特別是應(yīng)用題）中的數(shù)量關(guān)系，充分利用邏輯推理，變解法不明為解法明確，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題， 以小見大，以少見多，以簡(jiǎn)馭繁。從而達(dá)到巧算的目的。學(xué)習(xí)必備歡迎下載一：利用數(shù)的整除特征和某些特殊規(guī)律。特殊問(wèn)題來(lái)求解。重在一個(gè)“巧”。（1）：一個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫兩次得到的六位數(shù)一定能被 7、 11、13 整除。為什麼？解 ; 六位數(shù) abcabc=abc×1000+abc=abc×1001. 1001=7 ×13×11.六位數(shù) abcabc 必能被 7、11、13 整除。（2）：六位數(shù) 865abc 能被 3、 4、5 整除，當(dāng)這個(gè)數(shù)最小時(shí)

14、， a,b,c 各是數(shù)字幾？解 ：因?yàn)樵摂?shù)能被 4,5 整除 ,b,c 必都是零，要使該數(shù)能被 3 整除，它各位數(shù)字和應(yīng)能被 3 整除， a 只能是 2。所以 a,b,c分別是 2 ,0 ,0。（3）：化簡(jiǎn)：（ 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（ 888888× 888888）=8×8÷ (888888× 888888)=1÷（ 111111×111111）(因?yàn)椋?11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。)二：估算法：求： a=1÷(

15、1/1992+1/1993+1/1994+ +1/2003) 的整數(shù)部分。解：用一般通分求他得值太繁瑣，可巧用“放縮法”估算。假定除數(shù)部分各加數(shù)都是1/1992 ， 則 a=1÷(12/1992)=166 。若除數(shù)部分各加數(shù)都是 1/2003 ，則 a=1÷(12/2003)=166+11/12 所以它的整數(shù)部分是 166。三：正難則反法。直接求解困難時(shí)，換個(gè)角度從反面求解。（ 1）：除了本身，合數(shù) 7854321 的最大因數(shù)是多少？一般想法是將其分解質(zhì)因數(shù)求之，但這個(gè)數(shù)很大，做起來(lái)很繁瑣。巧解：先求它的最小因數(shù)，再通過(guò)“除”求它的最大因數(shù)。 因?yàn)樵摂?shù)各位數(shù)字和能被 3整除

16、，所以這個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是 3，最大因數(shù)是： 7854321÷ 3=261807。（2）：某廠人數(shù)在 90-110 之間，做工間操排隊(duì)時(shí)，站 3 列正好；站 5列少 2 人；站7 列少 4 人，這廠有多少人？解： 按所給數(shù)值正面求解很難，若換個(gè)角度從反面做，把它轉(zhuǎn)化為：該廠工人站3 列多 3 人；站 5 列多 3 人；站 7 列多 3 人求這廠人數(shù)的問(wèn)題。即求比 3，5,7 的最小公倍數(shù)多 3 的數(shù)是多少?！?3,5,7 】=105， 105+3=108 人。這廠有 108 人。四：慎密的邏輯推理：（1）：幼兒園的小朋友分餅干，每人分5 塊，則差 27 塊。每人分 4 塊，正好分完。這

17、個(gè)幼兒園有多少小朋友？分了多少餅干？解：一般用方程法：設(shè)有 x 個(gè)小朋友。× 4=108塊。5x-4x=27, x=27.餅干為： 27學(xué)習(xí)必備歡迎下載巧解：每人分 4 塊，正好分完，每人多分一塊（5 塊）差 27 塊，說(shuō)明小朋友為： 27÷1=27 個(gè)，餅干為： 27× 4=108 塊(2): 某商店有兩個(gè)柜臺(tái)，甲臺(tái)比乙臺(tái)的磁帶少 120 盒，各賣出 164 盒后，乙剩下的是甲剩下的 3 倍，求原來(lái)兩臺(tái)各有多少盒磁帶？一般用方程法：設(shè)甲剩x 臺(tái)，乙剩 3x 臺(tái) . (3x+164)-(x+164)=120,x=60,3x=180.甲原有： 60+164=224盒

18、， 乙原有 180+164=344盒。推理巧解：因?yàn)橘u出的數(shù)量相等，所以賣出后甲仍比乙少120 盒，乙是甲的 3 倍，這就轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題了。120÷（ 3-1 ）=60。 60×3=180.甲原有： 60+164=224盒， 乙原有： 180+164=344盒(3): 甲乙兩人進(jìn)行騎車比賽，當(dāng)甲騎到全程的 7/8 時(shí)，乙騎到全案程 6/7 ，這時(shí)兩人相距 140 米。如果兩人的速度不變，當(dāng)甲騎到終點(diǎn)時(shí)，兩人相距多少？解：一般方法：7/8:6/7=49:48.140 ÷（7/8-6/7 ）=7840 ，7840:x=49:48,x=76807840-7680=160

19、米推理巧解思路：直接求甲到終點(diǎn)時(shí)比乙多走多少米。甲走7/8 時(shí)比乙多走 140米甲走 1/8 時(shí)比乙多走 140/7=20 米。所以甲走 8/8（全程）時(shí)，比乙多走 140+20=160米（4）：求分母為 40 以內(nèi)所有自然數(shù)的真分?jǐn)?shù)的和。1/2+ （1/3+2/3 ）+（ 1/4+2/4+3/4 ）+ （1/5+2/5+3/5+4/5 ）+。 +39/40解：用通分法求和很繁瑣。通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系可知，每個(gè)加數(shù)乘以 2，可順次得到 1、 2、3、4/ 。 39。所以， (20 ×39) ÷2=390 即為所求。（5）：一正方形，當(dāng)豎邊減少 20%，橫邊增加 2 米時(shí)，得到的

20、長(zhǎng)方形面積與原正方形面積相等，求原正方形面積。解：一般思路：因?yàn)檎叫蚊娣e=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。所以應(yīng)先求邊長(zhǎng)。. 用方程解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度， 則面積為一個(gè)單位面積。長(zhǎng)方形的寬為： 1×(1-20%)=80%個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)為：一個(gè)單位面積÷ 80%個(gè)單位長(zhǎng)度 =1.25個(gè)單位長(zhǎng)度，與 2 米對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度為： 1.25-1=0.25個(gè)單位長(zhǎng)度。所以正方形邊長(zhǎng)（一個(gè)單位長(zhǎng)度） =2÷ 0.25=8 米，正方形面積 =8x8=64 平方米。很繁瑣。巧解思路：因豎邊減少20%，在原圖形上減少的面積與后來(lái)因橫邊增加2米，增加的面積相等。所以設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為x

21、 米，則：學(xué)習(xí)必備歡迎下載20%x× x=80%x × 2 x=8 米。 正方形面積 =8×8=64 平方米 .（6）：某班有 40 名學(xué)生，考數(shù)學(xué)時(shí)有 2 人缺考，這 38 人平均分?jǐn)?shù)是89，這2名學(xué)生補(bǔ)考后，兩人的平均成績(jī)比全班40 人的平均成績(jī)多9.5 分，這兩人的平均成績(jī)是多少？解：一般從求平均數(shù)的共識(shí)考慮，用方程解：設(shè)這兩人的平均成績(jī)?yōu)?x, 則：x-(89*38+2x)÷ 40=9.5, x=99.推理巧解（抓住平均就是移多補(bǔ)少的實(shí)質(zhì)）。這兩人的平均分?jǐn)?shù)比全班平均分?jǐn)?shù)多 9.5 分，把 9.5 ×2=19 補(bǔ)給 38 名學(xué)生，每人增

22、加 0.5 分，所以這兩人平均分 數(shù)為： 89+0.5+9.5=99 。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均數(shù)的一般方法 : 公式法，平均數(shù) =總數(shù)量÷總份數(shù)。但當(dāng)份數(shù)相等時(shí)，巧解法： 平均數(shù) =（第一份數(shù)量 +第二份數(shù)量 +。+第 n 份數(shù)量）÷份數(shù)。如： 某人晨練， 第一個(gè) 5 分鐘的速度是 100 米 / 分，第二個(gè) 5 分鐘的速度是 110 米/ 分，求他這 10 分鐘內(nèi)的平均速度一般解法：平均數(shù) =（100×5+110×5）÷ (5+5)=105 米 / 分因?yàn)椤胺輸?shù)”相同，可巧解：平均數(shù)=（ 100+110）÷ 2=

23、105米 / 分。（2）：甲（帶著一條狗）乙兩人同時(shí)從相距100 千米的兩地出發(fā)相向而行，甲速度為 6 千米 / 小時(shí)，乙速為 4 千米 / 小時(shí)，狗速為 10 千米 / 小時(shí)，狗碰到乙時(shí)就掉頭朝甲走來(lái)，碰到甲時(shí)又朝乙跑去。直到甲乙兩人相遇。這狗走了多少米？解：若分段求出狗與甲、與乙、與甲、與乙。相遇時(shí)走的路程，再加起來(lái)是很困難的。一般巧解方法是：從整體考慮，狗走的時(shí)間就是甲乙相遇用的時(shí)間，所以狗走的時(shí)間=100÷（ 4+6） =10 小時(shí)， 狗走的路程=10×10=100千米 .這還不算巧，更巧的方法是：從題意可知：甲乙速度和的時(shí)間相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程

24、 =100 千米?？偟膩?lái)看，“巧解”就是在一題多解情況下的最佳選擇。（三） 總練習(xí)題（用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1-16計(jì)算 17-30 題，并指出最巧方法。=狗速，并且走題，用多種方法1730 題只給出巧解答案。）（1）925-28-72+75（2）（64×125) ÷(16 ×28)(3)12.348÷25 (4)55× 55/56(5)3.8+3.75+3.85+3.75學(xué)習(xí)必備歡迎下載(6)123454321÷（55555×55555）（11×11=121, 111×111=12321, 1111×

25、 1111=1234321.)(7)18×5/7-5 × 4/7 (8)999×222+333×334 (9)(4.8×7.5 ×8.1) ÷(2.4×2.7 ÷4) (10)8.3×64+1.7 × 65（11）12.5*(36-7.2)÷3.6 (12)43*11.8+860*0.91 (13)(9+2/7+7+2/9)÷ (5/7+5/9)(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30（ 15） （1+1/2+1/3+ 。+1/1999 ）×（

26、 1/2+1/3+1/4+1/2000。）-(1+1/2+1/3+.+1/2000)×(1/2+1/3+1/4.+1/1999)（15）4327-98（16）求： 5+10+15+20+。 +200 的和（17）比較 9/10 和 11/12 的大小。（提示：有比較分子、比較分母、比較與 1 的差、比較它們的倒數(shù)、 變成整數(shù)比較和用真分?jǐn)?shù)特點(diǎn)比較等方法。但最巧的比較方法是用“規(guī)律”比較：分子分母都相差1 時(shí)，分母大的分?jǐn)?shù)大。）（ 18）比較： 2222221/2222223 和 3333331/3333334 的大小。（提示：巧法是先比較他們與 1 的差。）（19）某廠工人植樹，若每

27、人植 5 棵，剩 50 棵，若每人植 6 棵，差 40 棵。這廠有多少工人？他們共植多少棵樹？巧解：由題意可知，每人多種 1 棵，就多種 50+40=90棵，所以這場(chǎng)工人有 90÷1=90 人， 共植 5*90+50=500 棵。（20）張老師用 216 元買鋼筆獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，若每支便宜 1 元，可多買 3 支，鋼筆原價(jià)是多少？巧解：因?yàn)榭們r(jià) =單價(jià)×數(shù)量，所以把216 分解成兩個(gè)數(shù)相乘有2 和108 、3 和 72 、4 和 54 、6 和 36 、8 和 27 、 9 和 24。根據(jù)題意，從后兩組數(shù)可知每支筆原價(jià)是 9 元。（21）王華和李明在銀行都有存款，原來(lái)王比李少 1

28、/6 ，每人捐出 20 元后，李比王多 25%，兩人原來(lái)存款各是多少？巧解：由王比李少 1/6 可知 ；李存款是他兩存款差的 6 倍，由李比王多 25%可知，捐出 20 元后李存歀是他兩存款差的 5 倍，捐款前后“差”不變，李捐出 20 元后，自己的錢變成“差”的 5 倍，所以“差”是 20 元。李原有錢為 20*6=120 元 。王原有錢 120-20=100 元。(22) 甲乙兩消防隊(duì)共有 338 人，從甲隊(duì)調(diào)出 1/3 ，從乙隊(duì)調(diào)出 1/7 的和是 78 人，甲乙兩隊(duì)各有多少人？巧解：假設(shè)甲乙調(diào)出的人數(shù)都擴(kuò)大到 3 倍，則共調(diào)出 78×3=234，原消防隊(duì)只剩乙隊(duì)的 4/7 ，

29、所以原乙消防隊(duì)有： （338-234 ）÷4/7=182 人，原甲隊(duì)有 338-182=156 人。（23）猴吃桃，第一天吃了全部的 1/9 ，第二天吃余下的 1/8 ，第三天吃又余下的 1/7 。第八天吃余下的 1/2 ，第九天吃了一個(gè)正好吃完，原有桃多少個(gè)？巧解：從題意可知：每天都吃了總數(shù)的 1/9 ，（第二天吃 8/9 ×1/8=1/9,第三天吃 7/9*1/7=1/9.),所以桃子總數(shù)為： 1÷ 1/9=9 個(gè)。(24) 媽媽給上衣縫紐扣，若每天縫 15 件，比規(guī)定日期晚 2 天，每天縫 18 件，就可提前 3 天，這批上衣是多少件？巧解：按工程問(wèn)題做：（

30、 2+3）÷（ 1/15-1/18 ） =450 件。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（25）：一架飛機(jī)的燃料最多可用6 小時(shí)，飛機(jī)去時(shí)順風(fēng)，速度為1500千米 / 小時(shí)，返回時(shí)逆風(fēng)，速度為1200 千米 / 小時(shí)，飛機(jī)最多飛出多遠(yuǎn)就要往回飛？巧解：按工程問(wèn)題（相遇問(wèn)題）思路來(lái)解答。按題意轉(zhuǎn)化為往返多少千米用 6 小時(shí)。 6÷（ 1/1500+1/1200 ） =4000千米。（ 26）：某人賣商品，第一天按 11 元/ 個(gè)的利潤(rùn)賣出 10 個(gè)，第二天是五一，按 5 元 / 個(gè)的利潤(rùn)賣出 11 個(gè)，兩天賣出的總價(jià)（營(yíng)業(yè)總額）相同，求該商品的進(jìn)價(jià)？巧解：因?yàn)榭們r(jià) =（利潤(rùn) +進(jìn)價(jià)）×

31、;個(gè)數(shù)。第一天利潤(rùn)為11× 10=110元，第二天若賣10 個(gè)，利潤(rùn)為 5×10=50 元，總額少 60 元，多賣出一個(gè)，利潤(rùn)僅為 5×11=55 元，第二天少得利潤(rùn)60-5=55元，所以，一件商品的進(jìn)價(jià)為55元。（27）一農(nóng)民死前立遺囑：要把17 頭牛分給三個(gè)兒子，大兒子得1/2 ，二兒子得 1/3 ，三兒子得 1/9 ，（不得殺或賣）三個(gè)兒子不會(huì)分，你應(yīng)如何分？巧解： 17 不是 2 、3 、9 的倍數(shù)，不能安分率分配，應(yīng)把三個(gè)分率看成分牛時(shí)每人得的份數(shù)。1/2:1/3:1/9=9:6:2，所以：17÷（ 9+6+2）=1 頭，三個(gè)兒子分別應(yīng)分：9

32、頭， 6 頭， 2 頭。另一巧解方法是：三個(gè)分率的分母最小公倍數(shù)是18，可以 18 頭牛為單位“ 1”，進(jìn)行分配。 18× 1/2=9,18 ×1/3=6,18 ×1/9=2(28) 學(xué)校買進(jìn)一批白色、 彩色粉筆， 白色是彩色的 3 倍，開學(xué)后平均每周用 36 盒白色的、 8 盒彩色的。幾周后，白色的用完，彩色的還剩 36 盒，原來(lái)購(gòu)進(jìn)白、彩粉筆各多少盒？巧解：因?yàn)榘资遣实?3 倍，若每周按比例白 36 盒，彩 12 盒使用，則同時(shí)用完，現(xiàn)在每周少用彩筆 12-8=4 盒，可見用了 36÷4=9 周，所以 白色粉筆為： 36× 9=324盒，

33、彩色粉筆為： 8×9+36=108 盒。（29）前六（ 2），若甲、乙速度不變，狗速變?yōu)?15 千米 / 小時(shí)，甲乙兩人相遇時(shí)，狗跑了多少千米？巧解：因?yàn)楣放c兩人運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，所以，路程和時(shí)間成正比.x/100=15/10, x=150千米。（ 30）某蓄水池長(zhǎng)、寬、深分別為 10 米、 8 米、 3 米。一進(jìn)水管以 0.6 小時(shí)使水深達(dá) 0.3 米的速度往池內(nèi)放水，多少時(shí)間可放滿水池？巧解：思路：水深達(dá)到 3 米，就滿池了。因?yàn)榉潘俣炔蛔儯运钆c時(shí)間成正比，3/0.3=x/0.6x=6小時(shí)?；?3÷（ 0.3 ÷ 0.6 ）=6 小時(shí)。同學(xué)們：快來(lái)看博客上

34、的文章吧， 它有助于你分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的提高，大大提高你學(xué)習(xí)新知識(shí)、復(fù)習(xí)舊知識(shí)的效率。老師們：快來(lái)看吧，看后會(huì)使你增加一些引導(dǎo)學(xué)生“復(fù)習(xí)知識(shí)”的方法，從而提高復(fù)習(xí)效率。文中不妥之處，誠(chéng)請(qǐng)指正。謝謝。加法類似）：交換律，a*b=b*a,結(jié)合律，（ a*b ）*c=a*(b*c),分配率，（ a+b）xc=ac+bc, (a-b)×c=ac-bc.(4) 除法運(yùn)算性質(zhì)：（與減法類似） ，a÷(b ×c)=a ÷b÷c, a÷（b÷c)=a ÷bxc, a÷b÷c=a÷ c÷

35、 b,(a+b) ÷c=a÷c+b÷c, (a-b)÷c=a÷c-b ÷c.學(xué)習(xí)必備歡迎下載前邊的運(yùn)算定律、性質(zhì)公式很多是由于去掉或加上括號(hào)而發(fā)生變化的。其規(guī)律是同級(jí)運(yùn)算中，加號(hào)或乘號(hào)后面加上或去掉括號(hào)，。后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)不變。例 1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。（運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律） 。 減號(hào)或除號(hào)后面加上或去掉括號(hào)， 后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)要改變。例 2： 657-263-257=657-257-263=400-263=147. （運(yùn)用減法性質(zhì)，相當(dāng)加法交換律。）例

36、3： 195- （95+24）=195-95-24=100-24=76（運(yùn)用減法性質(zhì)）例 4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.( 同上 )例 5： （0.75+125）× 8=0.75 ×8+125× 8=6+1000=1006. ( 運(yùn)用乘法分配律 )例 6：（ 125-0.25 ）× 8=125×8-0.25 × 8=1000-2=998.( 同上 )例 7： （1.125-0.75 ）÷ 0.25=1.125 ÷0.25-0.75 ÷0.25=4.5-3=1.5

37、。（ 運(yùn)用除法性質(zhì)）例 8: (450+81) ÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. ( 同上，相當(dāng)乘法分配律 )例 9： 375 ÷（ 125÷0.5 ） =375÷ 125*0.5=3*0.5=1.5. (運(yùn)用除法性質(zhì) )例 10： 4.2 ÷（ 0。 6× 0.35 ） =4.2 ÷ 0.6 ÷0.35=7 ÷0.35=20. (同上 )例 11： 12 ×125×0.25 ×8=(125×8) ×(12 ×0.

38、25)=1000 ×3=3000. ( 運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律 )例 12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. ( 運(yùn)用加法性質(zhì)和結(jié)合律）例 13：（48×25× 3）÷ 8=48÷ 8×25×3=6×25×3=450.( 運(yùn)用除法性質(zhì) , 相當(dāng)加法性質(zhì) )（ 5）和、差、積、商不變的規(guī)律。1： 和不變：如果 a+b=c, 那么，（ a+d） +(b-d)=c,2:差不變：如果 a-b=c, 那么，（ a+d）-(b+d)=c, (a-

39、d)-(b-d)=c3:積不變：如果 a*b=c,那么 ,(a*d)*(b ÷d)=c,4:商不變：如果 a ÷ b=c,那么， （a*d ）÷ (b*d)=c, (a ÷d) ÷ (b ÷d)=c.例 14： 3.48+0.98= （3.48-0.02 ）+（0.98+0.02 ）=3.46+1=4.46, 。（和不變）例 15： 3576-2997= （3576+3）- （2997+3） =3579-3000=579。 （差不變）例 16： 74.6 ×6.4+7.46 × 36=7.46× 64+7

40、.46×36=7.46 ×(64+36)=7.46 × 100=746.( 積不變和分配律）例 17:12.25 ÷0.25 =(12.25*4)÷(0.25*4)=49 ÷ 1=49.( 商不變 ) 。二：拆數(shù)法：（ 1）湊整法， 19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2=22202(2) 利用規(guī)律， 7.5 ×2.3+1.9 ×2.5-2.5 ×0.4=7.5 × (0.4+1.9)+1.9× 2.5-2.5 ×0.4=7

41、.5 ×0.4+7.5 × 1.9+1.9 × 2.5-2.5 × 0.4=0.4 ×(7.5-2.5)+1.9×學(xué)習(xí)必備歡迎下載(7.5+2.5)=2+19=21.2. 1992 ×20052005-2005×19921992=1992×2005×(10000+1)-2005 ×1992×(10000+1)=0三：利用基準(zhǔn)數(shù)： 2072+2052+2062+2042+2083=（ 2062x5） +10-10-20+21=10311四：改變順序，重新組合。（1）： （ 21

42、5+357+429+581） - （ 205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571=（215-205 ）+（429-419 ）+（357-347） +（ 581-571） =40（2）：（378×5×25）×(4 ×0.8 ÷ 3.78)=378 ×5×25× 4× 0.8 ÷ 3.78=(378÷ 3.78) ×(25 × 4)x(5 ×0.8) =100x100x4=40000，五： 1：求等差連續(xù)自

43、然數(shù)的和。當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，有：和 =中間數(shù) x個(gè)數(shù)。當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，有：和=（首 +尾） x 個(gè)數(shù)的一半。(1):3+6+9+12+15=9*5=45,(2):1+2+3+4+ +10=(1+10)*10 ÷2=55.2: 求分?jǐn)?shù)串的和。 因?yàn)?1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1). 所以：（1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11=1/6-1/11=5/66（2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/

44、56+。+41/400-43/460=（1/2+1/3 ）-（1/3+1/4 ）+（ 1/4+1/5 ）-（1/5+1/6 ）+（1/6+1/7 ）- （1/7+1/8 ）。 +（1/20+1/21 ） - （ 1/21+1/22 ） =1/2-1/22=5/11 3：變形約分法。求：（ 1.2+2.3+3.4+4.5 ）÷（ 12+23+34+45）的值。因?yàn)榉帜父黜?xiàng)是分子各項(xiàng)的10 倍。所以有：原式 =0.1六：設(shè)數(shù)法：求（ 1+0.23+0.34 ）* （0.23+0.34+0.65 ）- （1+0.23+0.34+0.65 ）*（ 0.23+0.34 ）的值。 設(shè) a=0.2

45、3+0.34. b=0.23+0.34+0.65. 原式 =（ 1+a）*b-(1+b)*a=b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.（二）：巧算的方法：除運(yùn)用上面所說(shuō)的簡(jiǎn)便方法外，最重要的是抓住題目（特別是應(yīng)用題）中的數(shù)量關(guān)系，充分利用邏輯推理，變解法不明為解法明確，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題， 以小見大，以少見多，以簡(jiǎn)馭繁。從而達(dá)到巧算的目的。一：利用數(shù)的整除特征和某些特殊規(guī)律。特殊問(wèn)題來(lái)求解。重在一個(gè)“巧”。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）：一個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫兩次得到的六位數(shù)一定能被 7、11、 13 整除。為什麼？解 ; 六位數(shù) abcabc=

46、abc×1000+abc=abc×1001.1001=7× 13×11.六位數(shù) abcabc 必能被 7、 11、13 整除。（2）：六位數(shù) 865abc 能被 3、4、5 整除，當(dāng)這個(gè)數(shù)最小時(shí)， a,b,c 各是數(shù)字幾？解 ：因?yàn)樵摂?shù)能被 4,5 整除 ,b,c 必都是零，要使該數(shù)能被 3 整除，它各位數(shù)字和應(yīng)能被 3 整除， a 只能是 2。所以 a,b,c分別是 2,0 ,0 。（3）：化簡(jiǎn)：（ 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（ 888888×888888）=8× 8÷ (88

47、8888× 888888)=1÷（ 111111×111111）( 因?yàn)椋?1*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321, 所以。)二：估算法：求：a=1÷(1/1992+1/1993+1/1994+ +1/2003) 的整數(shù)部分。解：用一般通分求他得值太繁瑣，可巧用“放縮法”估算。假定除數(shù)部分各加數(shù)都是1/1992 ， 則 a=1÷(12/1992)=166 。若除數(shù)部分各加數(shù)都是1/2003 ，則 a=1÷(12/2003)=166+11/12所以它的整數(shù)部分是166。三：正難則反法。直接求解困

48、難時(shí)，換個(gè)角度從反面求解。（ 1）：除了本身，合數(shù) 7854321 的最大因數(shù)是多少？一般想法是將其分解質(zhì)因數(shù)求之，但這個(gè)數(shù)很大，做起來(lái)很繁瑣。巧解：先求它的最小因數(shù)，再通過(guò)“除”求它的最大因數(shù)。 因?yàn)樵摂?shù)各位數(shù)字和能被 3整除，所以這個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是3，最大因數(shù)是： 7854321÷3=261807。（2）：某廠人數(shù)在 90-110之間，做工間操排隊(duì)時(shí)，站3 列正好；站 5列少 2 人；站7 列少 4 人，這廠有多少人？解：按所給數(shù)值正面求解很難， 若換個(gè)角度從反面做， 把它轉(zhuǎn)化為：該廠工人站3 列多 3 人；站 5 列多 3 人；站 7 列多 3 人求這廠人數(shù)的問(wèn)題。即求比 3，

49、5,7 的最小公倍數(shù)多 3 的數(shù)是多少?！?3,5,7 】=105， 105+3=108 人。這廠有 108 人。四：慎密的邏輯推理：（1）：幼兒園的小朋友分餅干，每人分 5 塊，則差 27 塊。每人分 4 塊，正好分完。這個(gè)幼兒園有多少小朋友？分了多少餅干？解：一般用方程法：設(shè)有 x 個(gè)小朋友。 5x-4x=27, x=27.餅干為： 27× 4=108塊。學(xué)習(xí)必備歡迎下載巧解：每人分 4 塊，正好分完，每人多分一塊（5 塊）差 27 塊，說(shuō)明小朋友為： 27÷ 1=27個(gè)，餅干為： 27×4=108 塊(2): 某商店有兩個(gè)柜臺(tái)，甲臺(tái)比乙臺(tái)的磁帶少 120 盒

50、，各賣出 164 盒后，乙剩下的是甲剩下的 3 倍，求原來(lái)兩臺(tái)各有多少盒磁帶？一般用方程法：設(shè)甲剩x 臺(tái)，乙剩 3x 臺(tái) .(3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180.甲原有： 60+164=224盒， 乙原有 180+164=344盒。推理巧解：因?yàn)橘u出的數(shù)量相等，所以賣出后甲仍比乙少120 盒，乙是甲的 3 倍，這就轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題了。120÷（ 3-1 ）=60。 60×3=180.甲原有： 60+164=224盒， 乙原有：180+164=344盒(3): 甲乙兩人進(jìn)行騎車比賽， 當(dāng)甲騎到全程的 7/8 時(shí)，乙騎到全案程 6/7 ，這時(shí)兩人相距

51、 140 米。如果兩人的速度不變， 當(dāng)甲騎到終點(diǎn)時(shí)， 兩人相距多少？解：一般方法： 7/8:6/7=49:48.140÷（ 7/8-6/7 ） =7840 ，7840:x=49:48, x=76807840-7680=160 米推理巧解思路：直接求甲到終點(diǎn)時(shí)比乙多走多少米。甲走 7/8 時(shí)比乙多走 140 米甲走 1/8 時(shí)比乙多走 140/7=20米。所以甲走 8/8 （全程）時(shí)，比乙多走 140+20=160米（4）：求分母為 40 以內(nèi)所有自然數(shù)的真分?jǐn)?shù)的和。1/2+ （1/3+2/3 ）+（ 1/4+2/4+3/4 ）+（1/5+2/5+3/5+4/5 ） +。 +39/40

52、解：用通分法求和很繁瑣。通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系可知，每個(gè)加數(shù)乘以 2，可順次得到 1、 2、 3、4/ 。 39。所以， (20 ×39) ÷ 2=390 即為所求。（5）：一正方形，當(dāng)豎邊減少 20%，橫邊增加 2 米時(shí)，得到的長(zhǎng)方形面積與原正方形面積相等，求原正方形面積。解：一般思路：因?yàn)檎叫蚊娣e=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。所以應(yīng)先求邊長(zhǎng)。. 用方程解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，則面積為一個(gè)單位面積。長(zhǎng)方形的寬為：1×(1-20%)=80%個(gè)單位長(zhǎng)度， 長(zhǎng)為：一個(gè)單位面積÷ 80%個(gè)單位長(zhǎng)度 =1.25個(gè)單位長(zhǎng)度，與 2 米對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度為： 1.25-1

53、=0.25個(gè)單位長(zhǎng)度。所以正方形邊長(zhǎng)（一個(gè)單位長(zhǎng)度） =2÷0.25=8 米，正方形面積 =8x8=64平方米。很繁瑣。學(xué)習(xí)必備歡迎下載巧解思路：因豎邊減少20%，在原圖形上減少的面積與后來(lái)因橫邊增加 2 米，增加的面積相等。所以設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為x 米，則：20%x× x=80%x ×2x=8米。 正方形面積 =8×8=64 平方米 .（ 6）：某班有 40 名學(xué)生，考數(shù)學(xué)時(shí)有 2 人缺考，這 38 人平均分?jǐn)?shù)是 89，這2名學(xué)生補(bǔ)考后，兩人的平均成績(jī)比全班40 人的平均成績(jī)多9.5 分，這兩人的平均成績(jī)是多少？解：一般從求平均數(shù)的共識(shí)考慮，用方程解：設(shè)

54、這兩人的平均成績(jī)?yōu)閤,則：x-(89*38+2x)÷40=9.5, x=99.推理巧解（抓住平均就是移多補(bǔ)少的實(shí)質(zhì)）。這兩人的平均分?jǐn)?shù)比全班平均分?jǐn)?shù)多 9.5 分，把 9.5× 2=19 補(bǔ)給 38 名學(xué)生，每人增加0.5 分，所以這兩人平均分 數(shù)為： 89+0.5+9.5=99。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均數(shù)的一般方法 :公式法，平均數(shù) =總數(shù)量÷總份數(shù)。但當(dāng)份數(shù)相等時(shí)，巧解法：平均數(shù) =（第一份數(shù)量 +第二份數(shù)量 +。 +第 n份數(shù)量）÷份數(shù)。如： 某人晨練，第一個(gè)5 分鐘的速度是 100 米/ 分，第二個(gè) 5 分鐘的速度是110 米/

55、分，求他這 10 分鐘內(nèi)的平均速度一般解法：平均數(shù) =（100×5+110×5）÷ (5+5)=105 米/ 分因?yàn)椤胺輸?shù)”相同，可巧解：平均數(shù)=（ 100+110）÷ 2=105 米/ 分。（2）：甲（帶著一條狗）乙兩人同時(shí)從相距 100 千米的兩地出發(fā)相向而行，甲速度為 6 千米 / 小時(shí)，乙速為 4 千米 / 小時(shí)， 狗速為 10 千米 / 小時(shí)，狗碰到乙時(shí)就掉頭朝甲走來(lái)，碰到甲時(shí)又朝乙跑去。直到甲乙兩人相遇。這狗走了多少米？解：若分段求出狗與甲、與乙、與甲、與乙。相遇時(shí)走的路程，再加起來(lái)是很困難的。一般巧解方法是： 從整體考慮， 狗走的時(shí)間就是甲

56、乙相遇用的時(shí)間， 所以狗走的時(shí)間=100÷（ 4+6）=10 小時(shí)，狗走的路程 =10× 10=100 千米 .這還不算巧，更巧的方法是：從題意可知：甲乙速度和 =狗速，并且走的時(shí)間相同，所以，甲乙共走的路程就 =狗走的路程 =100 千米。總的來(lái)看，“巧解”就是在一題多解情況下的最佳選擇。（三） 總練習(xí)題（用簡(jiǎn)便方法計(jì)算 1-16 題，用多種方法計(jì)算 17-30 題，并指出最巧方法。1730 題只給出巧解答案。）學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1） 925-28-72+75 （ 2）（ 64× 125)÷(16×28) (3)12.348÷ 2

57、5 (4) 55× 55/56 (5)3.8+3.75+3.85+3.75(6)123454321÷（ 55555×55555）（ 11×11=121, 111×111=12321, 1111×1111=1234321.)(7)18×5/7-5 ×4/7(8)999×222+333×334(9)(4.8× 7.5× 8.1)÷(2.4×2.7÷4) (10)8.3× 64+1.7× 65（ 11）12.5*(36-7.2) ÷3.6 (12)43*11.8+860*0.91 (13)(9+2/7+7+2/9)÷ (5/7+5/9)(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30（15） （1+1/2+1/3+ 。 +1/1999）×（ 1/2+1/3+1/4+ 。+1/2000） -(1+1/2+1/3