浙大第四版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列 組合公式pm m!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)（m -n）!cm -m!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)n!（m _n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由 m種方法完成，第二種 方法可由n種方法來完成，則這件事可由 m+n種方法來完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mx n 某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由 m種方法完成，第二個(gè) 步驟可由n種方法來完成，則這件事可由 mx n種方法來完成。（3）一些 常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序） 對立事件（至少有一個(gè)）順序

2、冋題（4）隨機(jī) 試驗(yàn)和隨 機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果 不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則 稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本 事件、樣 本空間和 事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事 件，它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 0表示。一個(gè)事件就是由0中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用 大寫字母A, B, C,表

3、示事件，它們是0的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率為1，而概率為1的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的關(guān)系與 運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：Au B如果同時(shí)有A二B，B二A，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A 等于B： A=BA B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AUB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為 A-B,也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：A“B，或者AB AB=?,則表示A與

4、B不可能同 時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相谷或者互斥。基本事件疋互不 相容的。O-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示 A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)QOQOH Ai = U Ai德摩根率：Zi£aUb = a. B，MTB=aUb(7)概率 的公理化 定義設(shè)0為樣本空間，A為事件，對每一個(gè)事件 A都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1 ° 0 < P(A)

5、< 1，2° P( Q) =13°對于兩兩互不相容的事件A1，A2，有O0P U Ai =瓦 P(Ai) 丿id：常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典 概型1 。b 1, 2 n ，12 P® 1 ) = P (灼 2 ) = P® n )=。n設(shè)任一事件A，它是由國m組成的，則有P(A)=©1)U®2)UUm) = P©1)+P©2)+P®m)mA所包含的基本事件數(shù)n 一基本事件總數(shù)(9)幾何 概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻， 同時(shí)樣本空間

6、中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述， 則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件 A，P(A)-丄咚。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L®)(10 )加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB) = 0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )減P(A-B)=P(A)-P(AB)法公式當(dāng) BuA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=Q 時(shí),P( B)=1- P(B)(12 )條件概率定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生條 P(A)件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)-旦AB2。P(A) 條件概率是概率的一

7、種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1 n P(B/A)=1-P(B/A)(13 )乘 法公式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, A,A,若P(AAA-1)>0，則有P(A1A2 An) = P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An -l) 0(14 )獨(dú) 立性 兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨(dú) 立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)a0，則有 p(b|A2P(AB)= P(A)P(B)= p(b)P(A)P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則

8、可得到A與B、A與B、A與B也都 相互獨(dú)立。必然事件。和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。 多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A) 并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。 對于n個(gè)事件類似。(15 )全概公式設(shè)事件B1,B2,，Bn滿足1 ° BB2, , Bn兩兩互不相容，P(Bi) > 0(i =1,2, ,n),nAuU Bi2°-,(分類討論的則有P(A) = P(B1)P(A| B1)

9、+ P(B2)P(A| B2) +P(Bn)P(A| Bn)。(16 )貝 葉斯公式設(shè)事件B1 , B2，Bn及A滿足1° B1 , B2，Bn兩兩互不相容，P(Bi)>0, 1 = 1, 2,， n ,nAU U Bi2°i# , P(A)>0 ,(已經(jīng)知道結(jié)果 求原因貝UP(Bi)P(A/BJ.彳P(Bi /A) = “i,i=1 , 2,n。Z P(Bj)P(A/Bj)此公式即為貝葉斯公式。P(Bi)，( i=1，2，n ),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi / A) , (i =1 , 2 ,，n)，通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概 率規(guī)律，并作

10、出了“由果朔因”的推斷。(17 )伯 努利概型我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果， A發(fā)生或A不發(fā)生； n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A 發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗(yàn)。用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1-P=q，用Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(°蘭k w n)次的概率，f 八、kk n_kPn(k) =Cn P q , k =0,1,2，,n。第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X<(k=1,2,)且取

11、各個(gè)值的散型隨概率，即事件(X=Xk)的概率為機(jī)變量P(X=x<)=Pk, k=1,2,，的分布則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分律布列的形式給出：X| x*，,xk,P(X =xk) P1, P2,Pk,。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：為 pk = 1(1)Pk 啟0 , k 彳2,(2)k二。(2)連設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，對任意實(shí)續(xù)型隨數(shù)x，有機(jī)變量x的分布F(x) = Lof(x)dx密度則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：j f(x“0。-bo2°J

12、f(x)dx=1。(3)離 散與連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的關(guān)系P(X =x)壯 P(xcX Wx + dx)吧 f(x)dx積分元f (x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X =Xk) = pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x) =P(X 蘭 x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a cX蘭b) = F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-, x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 °0 乞 F(X)乞1,£ X £ +吆；2&

13、#176;F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即X1CX2時(shí)，有 F(xi)蘭F(x2)；3°F(-«) = lim F(x) = 0，F(xiàn)(代)=lim F(x) =1;4°F(x+0)=F(x)，即 F(x)是右連續(xù)的；5°P(X =x) =F(x) _F(x_0)。對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x) = E pk ;xk痙X對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Jf(x)dx。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q32 / 33二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為01,2,n。P(kP

14、n(kC：pkq""，其 中q =1 p,0 v p <d,k =0,1,2,n，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記為X B(n,p)。當(dāng) n =1 時(shí)，p(x =k) = pkq1上，k = 0.1，這就是（0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(x =k) =e" k >0，k k!：=0,1,2，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為人的泊松分布，記為X 兀（九）或者P（丸）。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=X，nx)。超幾何分布P(X=k)=CM C壯 丁0,1,2CN1 = min(M , n

15、)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n,N,M H（n,N,M）。的超幾何分布，記為幾何分布P(X =k)=qkp,k=1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G（p）。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f（X）在 a，b上為常數(shù) x _0x : 0其中，0，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為的指數(shù)分 布。X的分布函數(shù)為廠 ATx _ e 幾,F(x)-0,記住積分公式：-bo ，即b aa< x < b其他,1f (x) =<b - a0,則稱隨機(jī)變量X在a , b上服從均勻分布，記為XU（a, b）。分布函數(shù)為x<a，F(xiàn)

16、(x)二Xf (x)dx =ax - ab - a1，x>b。當(dāng)awxi<x2< b時(shí)，X落在區(qū)間（Xi%）內(nèi)的概率為x2 - x1P(x1 : X ： x2) = xnedx 二 n!01指數(shù)分布x _ 0x<0 ob a正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為15f(x)=e 2J ,J2g其中< -0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為，、二的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為x N(,2)。f(x)具有如下性質(zhì):1°f(x)的圖形是關(guān)于X"I對稱的;2°當(dāng)x若XN(i譏F(X)： rP2w s時(shí)，fg)二1 為最大值;J2 兀 CT

17、的分布函數(shù)為 t0 。參數(shù)"=0、丁 -1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記 為X N(011)，其密度函數(shù)記為(X)=e 2J2兀， oo < x £ + 旳，分布函數(shù)為1 譏x)二 2-：. j(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。L1(-x) = 1-(x)且(0) = o2X - 卩2如果 X NC12)，則N(0,1) oxt2e 2 dt o6)分 位數(shù)'x2-不Pi】ry1 b丿1 b丿P( : X 冬 x2)二 Go(7)函 數(shù)分布下分位表：P(X I 一.)= ：；上分位表：P(X 7 Jh 0離散型Xx1,X2,Xn,P(X =

18、xi)P1,P2,Pn,已知X的分布列為g(x1), g(x2), g(xn),丫二g(X)的分布列(yi二g(x互不相等)如下：YP(Y=yJ 12 n 若有某些g(xp)'相等,則應(yīng)將對應(yīng)的Pi相加作為g(xi)的 概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f/(x)寫出丫的分布函數(shù)FXy)=P(g(X) < y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fWy)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合 離散型 分布如果二維隨機(jī)向量 (X, Y)的所有可能取值為至多可列 個(gè)有序?qū)?x,y )，則稱©為離散型隨機(jī)量。設(shè).=(X，Y)的所有可能取值為(Xj , yj )(i, j =1,2，

19、)，且事件 =(Xj, yj)的概率為pjj，,稱P(X,Y)=a，yj)二 Pj(i,j =1,2,)為 =( X，Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分(1) pj > 0 (i,j=1,2,);(2) 二二pj =1.i j連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量r =(X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(亠c x £ +=c,a < y < +=c)，使對任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D-(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)D = JJf(x,y)dxdy,D則稱©為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為

20、© =( X，Y)的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：(1) f(x,y) > 0;(2)(切J(x,y)dxdy = 1.q a(2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)<X =x,Y =y) =!；(X =xY = y)(3)聯(lián)合設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)分布函數(shù)F(x, y) =PX Ex,丫蘭 y稱為二維隨機(jī)向量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(國1,灼2) I a cxgj蘭x,q <y©2)蘭y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)

21、。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 蘭F(x,y)蘭 1;(2) F( x,y )分別對x和y是非減的，即當(dāng)X2>X1時(shí)，有F ( X2,y ) > F(X1,y);當(dāng) y2>y1 時(shí)，有 F(x,y 2) > F(x,y 1)；(3) F( x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0, y), F(x,y) = F(x,y + 0);(4) F(T_oc)= f ( -°o, y) = F (x, -°°) = 0, F (畑，畑)=1.(5)對于x1<X2，% “2，F(xiàn)(X2, y2)-F(X2

22、，yj F(X1，y2)十 Fg yj HO.(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系P(X =x, Y=y) P(x c X 蘭 x+dx, y £丫 蘭 y 十dy)吧 f (x, y)dxdy(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi嚴(yán) p(x =Xi)=E Pij(i, j=1,2,)；jY的邊緣分布為Pj=P(Y = yi)Pj(i,j=i,2,)。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為"bofx(x) = j f (x, y)dy;JOY的邊緣分布密度為faofy(y)= J _f(x, y)dx.(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PjP(Y = yj |X

23、 =人)=丄；Pi*在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PjP(X =為|丫十)=亠P<連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為£、 f(x,y)f(x|y)；J(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為fWIx)/、)fx(X)(7)獨(dú)立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pj = Pi 4有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f 丫(y)直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布。九珂匕廠辱"丿2兀<10 2 出-P2P = 0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,XmXm+1,X相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，

24、則： h (X1, X2,Xm) 和 g (Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若 X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。(9)二維 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y的分布密度函數(shù)為1刁1 _p)丿CTC2丿 If (x. v) 一e'',' 丿' 1 22 兀 CT 1 CT 2 J 一 P其中已.卩2 6 >0,2 >0.1 P|c1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X，Y)N (卩 1.巴ei.Q；, P).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即

25、XN (41).Y “(巴嚴(yán)；).但是若XN(氣衛(wèi)門丫N(42口 2), (X , Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：FZ(z) = P(Z Ez) = P(X + YEZ)-bo對于連續(xù)型，f z(z) = J f (x.z - x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(+k2+d| )。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。C*i ,C>i2iiZ=max.mi n(X1.X2,Xn)若X1.Xrt Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x)，則 Z=max.min(X 1.X2.Xn)的分布 函數(shù)為：Fm

26、ax(X)= Fx(X)Fx2(X)Fxn(X)Fmin (X) =1 -1 - 鼻(x)屮 一 FX2 (X)1 一 (X)2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2,，Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n2W » Xii丄t分布的分布密度為1f(u)= 22】-I 遼丿0，n-J2u _0,u ： 0.我們稱隨機(jī)變量 W服從自由度為n的2分布，記為 W 2(n),其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量 分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)Yi -2(口)，則kZ 八 Yi 2(nin2 nk).i呂設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且XN(0,1)

27、,Y2(n),可以證明函數(shù)XY/nn 1的概率密度為f(t)= i 2j i 時(shí)oh l2丿我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)ti_：.(n) 一t：.(n)F分布設(shè)X 2（n 1）,Y 2（門2），且X與Y獨(dú)立，可以證明X /niF的概率密度函數(shù)為丫/應(yīng)f (y)=<nin2n2221 ni yni n2'2,y -0我們稱隨機(jī)變量 的F分布，記為0, y 0F服從第一個(gè)自由度為 ni,第二個(gè)自由度為n2Ff（n i, n 2）.F1 _.( ni , n2 )=F-A n2,ni)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)離散型連續(xù)型一維期望:設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，

28、其分布設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密隨機(jī)期望就是平均值度為f(x),變量律為 p( X = xk ) = pk ,-bo的數(shù)k=1,2,n ,E(X)= Jxf(x)dx字特na征E(X>Z XkPk（要求絕對收斂）k仝（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)n-boE(Y)=2： g(xQPkE(Y) = Jg(x)f(x)dxk=l方差-bo2D(X)=EX-E(X),D(X)=E Xk-E(X)2pkD(X)= Jx-E(X)2 f (x)dx標(biāo)準(zhǔn)差k<r(X)=,矩對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的kk次幕的數(shù)學(xué)期望為

29、X的k階原點(diǎn)階原點(diǎn)矩，記為Vk,即矩，記為Vk,即V k=E(Xk)= E Xik Pi ,iVk-be kk=E(X)= xk f (x)dx,k=1,2,k=1,2,對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與與E （X）差的k次幕的數(shù)學(xué)期E（X）差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X望為X的k階中心矩，記為4k，的k階中心矩，記為Pk，即即= E(X -E(X)kkk = E(X-E(X)=乞 X - E(X)kpi,i中ck=(x-E(X)k f(x)dx,k=1,2,k=1,2,切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E （X）=卩，方差D （X） =c，則對于任意正數(shù)£ ,有

30、下列切比雪夫不等式P(2X _嗎"）M篤切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率P(|xy tx r,、-/、一r-Lit 、人ra . .i-i- 、 , »_ A2L的一種估計(jì)，它在理論上有里要意乂。(2)（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性nn質(zhì)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(Z GXj)=2； CiE(Xi)7i呂（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。(3)（1）D(C)=0 ； E(C)=C方差（2）2D(aX)=a D(X) ； E(aX)=aE(X)的性（3）2D(aX+b)

31、= a D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b質(zhì)（4）2 2D(X)=E(X )-E (X)（5）D（X± Y）=D（X）+D（Y），充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X± Y)=D(X)+D(Y)± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。(4)期望方差常 分見布0-1分布B(1, p)PP(1 - P)的期 望和 方差二項(xiàng)分布B(n, p)npnP(1 - P)泊松分布P(k)h&幾何分布G( p)1P1- P2P超幾何分布 H(n, M,N)nMNnM h M n N i N人

32、N -1丿均勻分布U (a,b)a + b2(b-a)212指數(shù)分布e(入)1扎1 TT扎正態(tài)分布N (卩，2)ACT 232分布n2nt分布0n , c、(n >2) n -2(5) 二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征期望nE(X)=2： Xi Pi.i =1nE(Y)=E yjP劃-boE(X)= Jxfx(x)dx-boE(Y)= fyfY(y)dy函數(shù)的期望EG(X,Y)=乞遲 G(N,yj)Piji jEG(X,Y)=-be -bef fG(x, y)f (x, y)dxdy-oCod方差D(X)=I： Xi E(x)2 Pi.iD(Y)=：S j E(Y)2p癇j-boD(X)

33、= Jx E(X)2fx(x)dxboD(Y)= Jy-E(Y)2fY(y)dy協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩k11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為 aXY或cov(X,Y)，即Jy =出1 =E(XE(X)(YE(Y).與記號(hào)CT XY相對應(yīng)，X與Y的方差D( X)與D( Y)也可分別記為b XX f J O' yy。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量 X與丫，如果D( X) >0, D(Y)>0，則稱° XYJd(x)Jd(y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作 PXY (有時(shí)可簡記為 P )。| P| < 1,當(dāng) | P|=1 時(shí)，稱 X 與 Y 完全相關(guān)：P

34、(X=aY + b)=1完全相關(guān):正相關(guān)，當(dāng)P i時(shí)(a = 0)， 兀王'負(fù)相關(guān)，當(dāng)P = _1時(shí)(acO),而當(dāng)P =0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的： 匕丫 =0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣依 xx J “ f YX ° YY J混合矩對于隨機(jī)變量X與丫如果有E(XkYl)存在，則稱之為 X與Y的 k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 vk| ； k+l階混合中心矩記為：klUkl =E(X - E(X) (丫-E(Y).(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) cov

35、 (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)獨(dú)立和不相關(guān)(i )(ii )若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則-XY =0 ；反之不真。若(X, Y)N ( 2，打，；打小)，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理(1 )大數(shù)定律X切比雪 夫大數(shù) 定律設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一 常數(shù)C所界：D(X) <C(i=1,2,)，則對于任意

36、的正數(shù)£，有l(wèi)im pH Xi 1遲 E(Xi) n 護(hù) Qn i二n y |特殊情形：若Xi, X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (X)=卩， 則上式成為lim Pn :! -Z Xi、n y伯努利 大數(shù)定 律設(shè)卩是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在 每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)£，有岬-pH"伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件 A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，艮卩JRlim P-p=0In卩丿這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)Xi, X2,，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xn) = ，則對

37、于任意的正數(shù) £有J-z Xi、lim Pl< w、n y)-1.(2)中心極限定理.2 Nt N (巴二) n列維 林德伯 格定理設(shè)隨機(jī)變量Xi, X 相同的數(shù)E(Xk) = »,D(Xk) =的分布函數(shù)Fn(X)對任意lim Fn (x) =lim Pn' /n_jpc1此定理也稱為獨(dú)立同分;2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有學(xué)期望和方差：口2芒0(k=1,2,)，則隨機(jī)變量n送 Xk -n4YkJn_ 后予的實(shí)數(shù)X,有n、Z Xk - nAt2k 4孑 x(f e2 dt二x fi edt.J no|J 2兀nJ布的中心極限定理。棣莫弗 拉普 拉斯定 理

38、設(shè)隨機(jī)變量 Xn為具有參數(shù) n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于 任意實(shí)數(shù)x,有-1t2Xn -np1 十右-lim P,< x 卜一e 2 dt.Y 小p(1-p) ,V'2n 皿(3 )二項(xiàng)定理若當(dāng)Nt田時(shí)，t p(n,k不變)，則NC k 廠 n kc：pk(1p)z(Nt «).Cn超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4 )泊松定理右當(dāng)nT處時(shí)，npT h>0，貝V-kk k”、n-k兒-X,、CnP (1 p)T ef(nT 旳)k!其中k=0, 1, 2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理 統(tǒng)計(jì)的基 本概

39、念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)(或多個(gè))指標(biāo)的全 體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨 機(jī)變量(或隨機(jī)向量)。個(gè)體總體中的每一個(gè)單兀稱為樣品(或個(gè)體)。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1,x2r , xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下， 總是把樣本看成是 n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相冋分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié) 果時(shí)，X!,X2,，Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次抽取之后，x1,x2/l , xn表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣本值)。我們 稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量設(shè)Xi

40、,X2 "- ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱®( Xi,X2,，Xn)為樣本函數(shù)，其中 申為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果 申中不包含任何未 知參數(shù)，則稱申(X-X2,Xn )為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量 及其性質(zhì)-1 n樣本均值x=丄瓦Xi.n y樣本方差1 n 一S2 二七無(Xi -X)2.n - 1 i m1 1 n - 2樣本標(biāo)準(zhǔn)差S =、一送(Xj _x)2.F n-1 y樣本k階原點(diǎn)矩1 nM k =區(qū) xk, k =1,2,-n i仝樣本k階中心矩彳 n一.1kMk 二一送(人x) ,k=2,3，.n imCT 2E(X)-卩,D(X)-, nE(S2)廠,E(S*2) n G

41、2,n2 1 n 2其中S*(Xi X)，為二階中心矩。n i#(2)正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布設(shè)Xi,X2,Xn為來自正態(tài)總體本函數(shù)N(4q2)的一個(gè)樣本，則樣def X 卩UN(0,1).© /斤t分布設(shè)Xi,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(4q2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def X 一 卩s/jn t(n -1),其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。尤2分布設(shè)Xi,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(4,b2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def (n 1)S2弋2W2上(n 1),CT其中/ 2( n1)表示自由度為n-1的笑2分布。F分布設(shè)XjX?,Xn為來自正態(tài)總體N (巴耳2)

42、的一個(gè)樣本，而y1,y2,yn為來自正態(tài)總體N(巴2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def Sj2/2F_s；心F (m -1,門2 -1),其中1 n1 S 送(Xi -X),1n2_S2 -瓦y);m -1 i#n -1 imF (n1 -1, n2 -1)表示第 自由度為m -1，第一自由度為n2 -1的F分布。(3)正態(tài)總體下分X與S2獨(dú)立。布的性質(zhì)第七章參數(shù)估計(jì)(1 )點(diǎn)矩估計(jì) 估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù) 門2,Cm，則其分布函數(shù)可以表成F(X；宀戶2,，")它的k階原點(diǎn)矩Vk =E(X k)(k=1,2,m)中也包含了未知參數(shù)宀門2,Cm ,即Vk =汕宀廠2,門m)。又設(shè)

43、Xi,X2，,Xn為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的 k階原點(diǎn)矩為1 n'、Xk (k =1,2,m).n i A這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩” 的原則建立方程，即有1 nvi(uu ,九)=、Xi,n i 二1 nV2(刊門2廠宀)I，Xi2,n y1 nVm(f ,%)=無 X.n im由上面的m個(gè)方程中，解出的 m個(gè)未知參數(shù)(十門2,Cm)即為參數(shù)(f 2,，'m )的矩估計(jì)量。A-若二為二的矩估計(jì)，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則 g(國為g("的矩估計(jì)。極大似 然估計(jì)當(dāng)總體 X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f（X；d，日2，日m），其中

44、日1 ,日2，日m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi ,X2,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱nL© 月2,，日 m） = f （Xi；8i ,日2,8m）i A 為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體 X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為PX =x = P（X；也,日2，0m），則稱nL（Xi,X2，X®,/,，£）= P（Xi；d ,日2,®m）y為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L（X1 x,_ ,Xn®，日2,，&m）在& 1,會(huì)，fm處取到最大值，則稱0i,02,8m分別為日仆匹，Bm的取大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。cln Ln8

45、n-0,i 1,2，m若日為日的極大似然估計(jì)，g（x）為單調(diào)函數(shù)，則g（壓）為gp）的極大 似然估計(jì)。（2）估 計(jì)量的 評(píng)選標(biāo) 準(zhǔn)無偏性設(shè)$ = &X1,X2，Xn）為未知參數(shù)日的估計(jì)量。若E （）/，則稱日為日的無偏估計(jì)量。E（ X）=E（ X），E（ S2）=D（ X）有效性A.A.AA設(shè)日 1=1 （X1 , X，2 , Xn ）和日 2=2（X1,X,2, , Xn ）是未知參數(shù) 日的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若D（日1）cD（日2），則稱日1比日2有效。一致性A設(shè)a n是日的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)呂，都有Alim P（|Bn8 卜毎）=0,nJpc則稱日n為日的一致估計(jì)量（或相

46、合估計(jì)量）。若8為日的無偏估計(jì)，且 D（的T 0（nT 呵,則日為B的一致估計(jì)。 只要總體的E（X）和D（X）存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相 應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū) 間估計(jì)置信區(qū) 間和置 信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù) 日。如果我們從樣本xx,2,xn出 發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量6=6 （x1, x,2，,xn）與 日2 =2（Xi,X,2 ,，Xn）但1 <日2），使得區(qū) 間日1,日2以1 _ot（0 <a <1）的概率包含這個(gè)待估參數(shù) e，即P6蘭日蘭日2 =1_a,那么稱區(qū)間6，I32為日的置信區(qū)間，1 -口為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài) 總體的 期望和 方差的 區(qū)間估 計(jì)設(shè)x1, x,2, xn為總體XN（4,b ）的一個(gè)樣本，