卵形曲線計算

1、高等級公路卵形曲線的計算方法周燁摘要在高等級公路施工過程中，常遇到卵形曲線，而設計單位的出發(fā)點不同，中線的解算方法也大相徑庭。本文著重從卵形中線幾種計算方法入手，在此基礎之上闡述了卵形曲線的測設。關鍵詞卵形曲線復曲線匝道橋高等級公路卵形曲線是高等級公路、立交橋匝道常見的曲線形式，它由基本的三部分構成：第一圓曲線段、緩和曲線段和第二圓曲線段。中間段緩和曲線用來連接兩個不同半徑的圓曲線。其中線坐標解算方法有如下幾種： 測繪信息網1補全緩和曲線我國公路上采用的緩和曲線為輻射螺旋線，夾在兩圓曲線中間的緩和曲線為整個緩和曲線的一部分，緩和曲線上任一點半徑與該點至該緩和曲線起點的距離乘積為一定值：r

2、15;la，假設r1r2，可由兩圓半徑及兩圓間的緩和段長ls，求緩和曲線的總長l。llls(1)l就是夾在兩圓曲線間緩和段省去的部分，由yh點補長l至o點，以o點為該緩和曲線起點，起點的切線方向為x軸，與之垂直的曲線內側方向為y軸方向建立坐標系（圖1）。緩和曲線公式（推導過程略）如下： 測繪信息網(2)(3)圖1利用x、y值可以求得oyh弦與x軸的夾角：3。1為yh點的切線方位角，則ox的方位：1±。o點的坐標可由幾何關系求得為（x0，y0）。緩和段上任一點統(tǒng)一坐標可求得：(4)y=yo+xsin±ycos(5)2曲率推算 測繪信息網緩和曲線段曲率半徑由第一段圓曲線半徑r1

3、變?yōu)榈诙吻拾霃絩2（假設r1r2），則緩和曲線曲率半徑變化為：(6)其中l(wèi)s為中間段緩和曲線長，為求緩和曲線方程，現(xiàn)建立以緩和曲線起點為坐標原點，起點的切線方向為x軸，與之垂直的曲線內側方向為y軸的坐標系（圖2），設p點為緩和曲線上任一點，距原點的曲線長為l，該點附近的微分弧長為dl，緩和曲線偏角為，則有dx=dlcos(7)dy=dlsin(8)圖2由于 測繪信息網將其代入上式并進行積分可得緩和曲線方程：(9)(10)中間緩和段統(tǒng)一坐標計算為：(11)yyyhxsin±ycos(12)為曲線yh點切線方位。3其它 測繪信息網連接兩反曲線或在立交橋匝道上為使墩位美觀，常采用緩和曲

4、線連接（圖3）。其解算方法以yh點作為起點，以其切線為x軸建立坐標系，不考慮第一種情況中所講的緩和曲線加長，而直接用式（2）、（3）進行計算，然后統(tǒng)一坐標。圖3圓曲線坐標計算在此不再贅述。全站儀廣泛地應用到路橋施工中，外業(yè)施工放樣可在儀器匹配的支持下自動完成。復曲線內業(yè)計算、復核線路坐標則成為繁瑣問題。4實例 測繪信息網已知r1為5000m，r2為90m，yh點切線方位1為3275659，yh點里程為3279，坐標為（61205.283，101834.119），hy點里程為416.28，坐標為：（61140.068，101892.317）。由已知數據可得：由式（2）、（3）計算填至附表第3、4

5、欄內，由式（4）、（5）公式計算填入第5、6欄內。里程延長至原點距離（m) x(m)y(m)xyk03600057957652398261185452101859215k03279090877761473461205283101834119作者簡介：周燁，男，1996年畢業(yè)于遼寧工程技術大學測量工程專業(yè)，現(xiàn)任鐵道部十九局二處助理工程師，先后參加過太峪隧道、南京長江二橋、寧臺溫高速公路等工程的施工建設。 作者單位：（鐵道部十九局） 測繪信息網曲線任意里程中邊樁坐標正反算(casio fx-4800p計算器)程序一、程序功能     &#

6、160;  本程序由一個主程序(tyqxjs)和兩個子程正算子程序(sub1)、反算子程序(sub2)序構成，可以根據曲線段直線、圓曲線、緩和曲線（完整或非完整型）的線元要素（起點坐標、起點里程、起點切線方位角、線元長度、起點曲率半徑、止點曲率半徑）及里程邊距或坐標，對該曲線段范圍內任意里程中邊樁坐標進行正反算。另外也可以將本程序中核心算法部分的兩個子程序移植到其它相關的程序中，用于對曲線任意里程中邊樁坐標進行正反算。本程序也可以在casio fx-4500p計算器及 casio fx-4850p計算器上運行。二、源程序1.主程序(tyqxjs

7、)"1.sz => xy"："2.xy => sz"：n：u"x0"：v"y0"：o"s0"：g"f0"：h"ls"：p"r0"：r"rn"：q：c=1÷p：d=(p-r)÷(2hpr)：e=180÷：n=1=>goto 1：>goto 2lbl 1：sz：sz：w=abs(s-o)：prog&

8、#160;"sub1"：x"xs"=xy"ys"=ygoto 1lbl 2：xy：xy：i=x：j=y：prog "sub2"：s"s"=o+wz"z"=zgoto 22. 正算子程序(sub1)a=0.1739274226：b=0.3260725774：k=0.0694318442：l=0.3300094782：f=1-l：m=1-k：x=u+w(acos(g+qekw(c+kwd)+bcos(g+qelw(c+lwd)+b

9、cos(g+qefw(c+fwd)+acos(g+qemw(c+mwd)：y=v+w(asin(g+qekw(c+kwd)+bsin(g+qelw(c+lwd)+bsin(g+qefw(c+fwd)+asin(g+qemw(c+mwd)：f=g+qew(c+wd)+90：x=x+zcosf：y=y+zsinf3. 反算子程序(sub2)t=g-90：w=abs(y-v)cost-(x-u)sint)：z=0：lbl 0：prog "sub1"：l=t+qew(c+wd)：z=(j-y)cosl-(i-x)sinl：absz<1e-6=&g

10、t;goto1：>w=w+z：goto 0lbl 1：z=0：prog "sub1"：z=(j-y)÷sinf三、使用說明1、規(guī)定        (1) 以道路中線的前進方向（即里程增大的方向）區(qū)分左右；當線元往左偏時，q=-1；當線元往右偏時，q=1；當線元為直線時，q=0。        (2) 當所求點位于中線時，z=0；當位于中線左鍘時，z取負

11、值；當位于中線中線右側時，z取正值。        (3) 當線元為直線時，其起點、止點的曲率半徑為無窮大，以10的45次代替。        (4) 當線元為圓曲線時，無論其起點、止點與什么線元相接，其曲率半徑均等于圓弧的半徑。         (5) 當線元為完整緩和曲線時，起點與直線相接時，曲率半徑為無窮大，以1

12、0的45次代替；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。止點與直線相接時，曲率半徑為無窮大，以10的45次代替；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。         (6) 當線元為非完整緩和曲線時，起點與直線相接時，曲率半徑等于設計規(guī)定的值；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。止點與直線相接時，曲率半徑等于設計規(guī)定的值；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。2、輸入與顯示說明       輸入部分：

13、0;     1. sz => xy      2. xy = > sz       n ?  選擇計算方式，輸入1表示進行由里程、邊距計算坐標 ；輸入2表示由坐標反算           

14、;   里程和邊距。     x0 ？線元起點的x坐標      y0 ？線元起點的y坐標      s0 ？線元起點里程     f0 ？線元起點切線方位角     ls ？線元長度     r0&

15、#160;？線元起點曲率半徑     rn ？線元止點曲率半徑     q ？  線 元左右偏標志(左偏q=-1，右偏q=1，直線段q=0）      s ？ 正算時所求點的里程      z ？正算時所求點距中線的邊距(左側取負，值右側取正值，在中線上取零)   &#

16、160;  x ？反算時所求點的x坐標      y ？反算時所求點的y坐標       顯示部分：       xs=×××    正算時，計算得出的所求點的x坐標       ys=×××

17、;    正算時，計算得出的所求點的y坐標       s=×××    反算時，計算得出的所求點的里程       z=×××    反算時，計算得出的所求點的邊距四、算例        某匝道的由

18、五段線元（直線+完整緩和曲線+圓曲線+非完整緩和曲線+直線）組成，各段線元的要素（起點里程s0、起點坐標x0 y0、起點切線方位角f0、線元長度ls、起點曲率半徑r0、止點曲率半徑rn、線 元左右偏標志q）如下：s0   x0       y0                   f0&#

19、160;           ls r0 rn     q500.000    19942.837    28343.561     125 16 31.00    269.256    &

20、#160;1e45 1e45      0769.256    19787.340    28563.378     125 16 31.00      37.492     1e45 221.75     -

21、1806.748    19766.566    28594.574     120 25 54.07     112.779    221.75 221.75     -1919.527    19736.072    

22、;28701.893       91 17 30.63       80.285    221.75 9579.228   -1999.812    19744.038    28781.659       

23、80 40 50.00     100.000    1e45 1e45       0         1、正算          （注意：略去計算方式及線元要素輸入，請自行根據所求點所在的線元輸入線元要素） 

24、;           s=700  z=-5    計算得  xs=19831.41785   ys=28509.72590            s=700  z=0     計算得&#

25、160; xs=19827.33592   ys=28506.83837            s=700  z= 5    計算得  xs=19823.25398   ys=28503.95084          &

26、#160; s=780  z=-5    計算得  xs=19785.25749   ys=28575.02270            s=780  z=0     計算得  xs=19781.15561   ys=28572.16358

27、            s=780  z= 5    計算得  xs=19777.05373   ys=28569.30446                   

28、60;   s=870  z=-5    計算得  xs=19747.53609   ys=28654.13091            s=870  z=0     計算得  xs=19742.68648   ys=2

29、8652.91379            s=870  z= 5    計算得  xs=19737.83688   ys=28651.69668                  

30、; s=940  z=-5.123    計算得  xs=19741. 59118  ys=28722.05802            s=940  z=0            計算得  xs=1

31、9736.47687   ys=28722.35642            s=940  z= 3.009    計算得  xs=19733.47298   ys=28722.53168            

32、;       2、 反算             x=19831.418   y=28509.726   計算得  s=699.9999974  z= -5 .00018164       

33、0;     x=19827.336   y=28506.838   計算得  s=699.9996493  z= 0.000145136             x=19823.25398   y=28503.95084    計算得&#

34、160; s=699.9999985  z= 5.000003137           x=19785.25749   y=28575.02270  計算得  s=780.0000035  z= -5 .000001663         

35、0; x=19781.15561   y=28572.16358   計算得  s=780.0000025  z=- 0.000002979           x=19777.05373   y=28569.30446   計算得  s=780.0000016  z=

36、 4.99999578                     x=19747.536   y=28654.131   計算得  s=870.0001137  z= -4.99941049       

37、;    x=19742.686   y=28652.914   計算得  s=870.0003175  z=- 0.00041814           x=19737.837   y=28651.697   計算得  s=870.0002748 

38、 z= 4.999808656          x=19741.5912   y=28722.0580   計算得  s=939.9999786  z= -5.123024937          x=19736.4769   y=287

39、22.3564   計算得  s=939.9999862  z=- 0.000027710          x=19733.4730   y=28722.5317   計算得  s=940.0000238  z= 3.00898694另一個程序功能及原理1.功能說明：本程序由一個主程序(tyqxjs)和四個

40、子程正算子程序(sub1)、反算子程序(sub2)等構成，可以根據曲線段直線、圓曲線、緩和曲線（完整或非完整型）的線元要素（起點坐標、起點里程、起點切線方位角、線元長度、起點曲率半徑、止點曲率半徑）及里程邊距或坐標，對該曲線段范圍內任意里程中邊樁坐標進行正反算。本修改版程序既可實現(xiàn)正算全線貫通，亦可實現(xiàn)反算全線貫通。本程序也可以在casio fx-4800p計算器運行。2計算原理：利用gauss-legendre 5點通用公式正算線路中邊樁坐標、線外測點至曲線元起點和終點的垂距的符號是否相異（即dca×dcb<0=>該測點在其線元內）進行判斷并利用該線

41、元要素反算中樁里程、支距，最后計算出放樣數據。二、源程序1.主程序(tyqxjs)lbl 0：defm 50:"1.sz => xy，2.xy => sz"：n： n=1=>goto 1：>goto 2lbl 1：sz：szsz18=>j=1：prog “dat1”：goto 3sz26=>j=2：prog “dat1”：goto 3sz34=>j=3：prog “dat1”：goto

42、 3sz42=>j=4：prog “dat1”：goto 3             sz8（n+1）+2=>j=n：prog “dat1”：goto 3lbl 3：w=abs(s-o)：prog "sub1"："xs=":x=x"ys=":y=y”fwi=”: f=f-m :fdmsgoto 4

43、lbl 2：xy：xy：z4=x：z5 =y：n=0lbl  a：isz n：a=z8n+3-m：b=z8（n+1）+3-m：prog "zx1" ：z6×z7<0=>j=n：prog dat1" ：goto ba=z8n+3+m：b=z8（n+1）+3+m：prog "zx1" ：z6×z7<0=>j=n：prog dat1" ：goto b

44、：> goto albl  b：prog "sub2"："s=":s=o+w"z=":z=zgoto 2lbl 4:j=0:i=pol(x-z1，y-z2):f=j:f<0=>f=f+360  ”dist=”:  i”fw=”:fdms goto 12. 正算子程序(sub1)a=0.1184634425:b=0.2393143352:n=0.2844444444:k=0.046

45、9100770:l=0.2307653449:z3=0.5:x=u+w(acos(g+qekw(c+kwd)+bcos(g+qelw(c+lwd)+ncos(g+qez3w(c+z3wd)+bcos(g+qe(1-l)w(c+(1-l)wd)+acos(g+qe(1-k)w(c+(1-k)wd): y=v+w(asin(g+qekw(c+kwd)+bsin(g+qelw(c+lwd)+nsin(g+qez3w(c+z3wd)+bsin (g+qe(1-l)w(c+(1-l)wd)+asin (g+qe(1-k)w(c+(1-k)wd)：m”ang=”: 

46、f=g+qew(c+wd)+m：x=x+zcosf：y=y+zsinf 3. 反算子程序(sub2)m”ang=”:t=g-m：w=abs(y-v)cost-(x-u)sint)：z=0：lbl 0：prog "sub1"：l=t+qew(c+wd)：z=(z5-y)cosl-(z4-x)sinl：absz<1e-6=>goto1：>w=w+z：goto 0lbl 1：z=0：prog "sub1"：z=(z5-y)÷sinf4. 垂距計算子程序(zx1)z

47、6=(z5-z8n+1)cos a-(z4-z8n)sin az7=(z5-z8(n+1)+1)cos b-(z4-z8(n+1)sin b5.曲線元要素數據庫：dat1lbl1:j=1=>u=z8:v=z9:o=z10:g=z11:h=z12:p=z13:r=z14:q=z15j=2=>u=z16:v=z17:o=z18:g=z19:h=z20:p=z21:r=z22:q=z23j=3=> u=z24:v=z25:o=z26:g=z27:h=z28:p=z29:r=z30:q=z31j=4=> u=z32:v

48、=z33:o=z34:g=z35:h=z36:p=z37:r=z38:q=z39                       j=n=> u=z8n:v=z8n+1:o=z8n+2:g=z8n+3:h=z8n+4:p=z8n+5:r=z8n+6:q=z8n+7(注：如有多個曲線元要素繼續(xù)添加入數據庫dat1中)lbl 2 ：u&qu

49、ot;x0"：v"y0"：o"s0"：g"f0"：h"ls"：p"r0"：r"rn"：q：c=1÷p：d=(p-r)÷(2hpr)：e=180÷三、使用說明1、規(guī)定        (1) 以道路中線的前進方向（即里程增大的方向）區(qū)分左右；當線元往左偏時，q=-1；當線元往右偏時，q=1；當線元為直線時，q=0。   &

50、#160;    (2) 當所求點位于中線時，z=0；當位于中線左鍘時，z取負值；當位于中線中線右側時，z取正值。        (3) 當線元為直線時，其起點、止點的曲率半徑為無窮大，以10的45次代替。        (4) 當線元為圓曲線時，無論其起點、止點與什么線元相接，其曲率半徑均等于圓弧的半徑。     &

51、#160;   (5) 當線元為完整緩和曲線時，起點與直線相接時，曲率半徑為無窮大，以10的45次代替；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。止點與直線相接時，曲率半徑為無窮大，以10的45次代替；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。         (6) 當線元為非完整緩和曲線時，起點與直線相接時，曲率半徑等于設計規(guī)定的值；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線的半徑。止點與直線相接時，曲率半徑等于設計規(guī)定的值；與圓曲線相接時，曲率半徑等于圓曲線

52、的半徑。(7)曲線元要素數據庫（dat1）可根據線型不同分為各個線元段輸入到dat1中，即分為直線段、緩和曲線、圓曲線等。(8)正算時可僅輸入里程lp和邊距dp及右交角ang全線計算，反算時通過輸入測點的x、y坐標和右交角ang后計算器自動判斷該點所屬曲線元并利用該線元的曲線要素執(zhí)行反算中樁里程lp及支距dp。2、輸入與顯示說明（一）、 輸入部分：      1. sz => xy      2. xy =&#

53、160;> sz     1、  n ?  選擇計算方式，輸入1表示進行由里程、邊距計算坐標 ；輸入2表示由坐標反算              里程和邊距。     2、x0 ？線元起點的x坐標      3、y0

54、 ？線元起點的y坐標      4、s0 ？線元起點里程     5、f0 ？線元起點切線方位角     6、ls ？線元長度     7、r0 ？線元起點曲率半徑     8、rn ？線元止點曲率半徑     9、q 

55、？  線 元左右偏標志(左偏q=-1，右偏q=1，直線段q=0)     10、s ？ 正算時所求點的里程     11、z ？正算時所求點距中線的邊距(左側取負，值右側取正值，在中線上取零)   12、ang？正算邊樁時左右邊樁連線與線路中線的右交角   13、j？曲線元數據庫曲線段判斷系數（j=1、2.n）     14、x

56、 ？反算時所求點的x坐標     15、y ？反算時所求點的y坐標16、m?斜交右角17、z1-測站點x坐標18、z2- 測站點y坐標 19、a、b、n是gauss-legendre求積公式中的插值系數20、k 、l、z3 是gauss-legendre求積公式中的求積節(jié)點21、n=1時：z8、z9、z10、z11、z12、z13、z14、z15分別是各曲線元的x、y坐標、起始里程s0、初始方位角f0、線元長度ls、起點半徑r0、終點半徑rn、曲線偏向系數q   &

57、#160;      n=n時：z8n、z8n+1、z8n+2、z8n+3、z8n+4、z8n+5、z8n+6、z8n+7分別是各22、曲線元的x、y坐標、起始里程s0、初始方位角f0、線元長度ls、起點半徑r0、終點半徑rn、曲線偏向系數q23、正算中的z18、z26、z34、z42z8（n+1）+2分別為各線元中的終點里程24、主程序中的“defm 50”應視具體線元的數量，適當增加擴展變量。25、本次修改版不考慮casio fx-4500pa，因其容量太小，擴展變量實在太少而不能勝任。（二）、顯示部分：

58、60;      xs=×××    正算時，計算得出的所求點的x坐標       ys=×××    正算時，計算得出的所求點的y坐標       s=×××    反算時，計算得出的所求

59、點的里程       z=×××    反算時，計算得出的所求點的邊距 四、算例        某匝道的由五段線元（直線+完整緩和曲線+圓曲線+非完整緩和曲線+直線）組成，各段線元的要素（起點里程s0、起點坐標x0 y0、起點切線方位角f0、線元長度ls、起點曲率半徑r0、止點曲率半徑rn、線 元左右偏標志q）如下：   

60、60;s0             x0               y0                  f0  &

61、#160;             ls          r0      rn            q500.000    19942.837&#

62、160;   28343.561     125 16 31.00    269.256     1e45    1e45           0769.256    19787.340   

63、; 28563.378     125 16 31.00      37.492     1e45    221.75        -1806.748    19766.566    28594.574

64、60;    120 25 54.07     112.779    221.75  221.75       -1919.527    19736.072    28701.893      91 17

65、60;30.63      80.285     221.75  9579.228    -1999.812    19744.038    28781.659      80 40 50.00     100.000&

66、#160;    1e45     1e45           0         1、正算          （注意：略去計算方式及線元要素輸入，請自行根據所求點所在的線元輸入線元要素） 

67、0;          s=700  z=-5    計算得  xs=19831.41785   ys=28509.72590            s=700  z=0     計算得 &

68、#160;xs=19827.33592   ys=28506.83837            s=700  z= 5    計算得  xs=19823.25398   ys=28503.95084           

69、 s=780  z=-5    計算得  xs=19785.25749   ys=28575.02270            s=780  z=0     計算得  xs=19781.15561   ys=28572.16358 

70、;           s=780  z= 5    計算得  xs=19777.05373   ys=28569.30446                    &#

71、160;  s=870  z=-5    計算得  xs=19747.53609   ys=28654.13091            s=870  z=0     計算得  xs=19742.68648   ys=28652.

72、91379            s=870  z= 5    計算得  xs=19737.83688   ys=28651.69668                  

73、0;s=940  z=-5.123    計算得  xs=19741. 59118  ys=28722.05802            s=940  z=0            計算得  xs=19736.47687   ys=28722.35642            s=940  z= 3.009    計算得  xs=19733.47298   ys=28722.53168