湖北省英山縣長(zhǎng)沖高中高二數(shù)學(xué)學(xué)案基本不等式說(shuō)課稿

1、一、教學(xué)預(yù)設(shè)1教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（1）借助弦圖和幾何畫板演示，讓學(xué)生回顧基本不等式的概念形成過(guò)程，體驗(yàn)基本不等式模型的觀察、分析、猜想和概括等系列思維活動(dòng)過(guò)程，復(fù)習(xí)基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象思維的方法；（2）通過(guò)基本不等式的證明方法的探索和不同角度的欣賞，學(xué)生能用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表述基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納得出基本不等式中等號(hào)成立的條件及其使用條件，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；（3）學(xué)生會(huì)用基本不等式解決常見的最值和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。 2標(biāo)準(zhǔn)解析（1）內(nèi)容解析：本節(jié)內(nèi)容是在系統(tǒng)的復(fù)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，教材通過(guò)趙爽弦圖回顧

2、基本不等式，在代數(shù)證明的基礎(chǔ)上，通過(guò)“探究”引導(dǎo)學(xué)生回顧基本不等式的幾何意義，并給出在解決函數(shù)最值和實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用，在知識(shí)體系中起著承上啟下的作用；從知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等）在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用；從內(nèi)容的人文價(jià)值上看，基本不等式的探究、推導(dǎo)和應(yīng)用需要學(xué)生觀察、分析、猜想、歸納和概括等，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維能力和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體.（2）學(xué)情診斷：在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)

3、行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識(shí). 如何讓學(xué)生理解“基本”二字，是本節(jié)學(xué)習(xí)的前提. 事實(shí)上，該不等式反映了實(shí)數(shù)的兩種基本運(yùn)算（即加法和乘法）所引出的大小變化，這一本質(zhì)不僅反映在其代數(shù)結(jié)構(gòu)上，而且也有幾何意義，由此而生發(fā)出的問(wèn)題在訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)推理能力和幾何直觀能力上都發(fā)揮了良好的作用. 因此，必須從基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何意義兩方面入手，才能讓學(xué)生深刻理解它的本質(zhì).另外，在用基本不等式解決最值時(shí)，學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號(hào)成立的條件，因此，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)借助辨誤的方式讓學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)基本不等式成立的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用.

4、基于上述內(nèi)容解析和學(xué)情診斷，基本不等式的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)可以確定為：教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度回顧和探索基本不等式的證明過(guò)程；用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：回顧在幾何背景下抽象出基本不等式的過(guò)程；基本不等式中等號(hào)成立的條件；應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.（3）教學(xué)對(duì)策：本節(jié)作為基本不等式的復(fù)習(xí)課，一是借助弦圖和幾何畫板演示，讓學(xué)生回顧基本不等式的概念形成過(guò)程，體驗(yàn)基本不等式模型的觀察、分析、猜想和概括等系列思維活動(dòng)過(guò)程，復(fù)習(xí)基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象思維的方法；二是通過(guò)基本不等式的證明方法的探索和不同角度的欣賞，學(xué)生能用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖

5、形語(yǔ)言表述基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納得出基本不等式中等號(hào)成立的條件及其使用條件，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；三是要引導(dǎo)學(xué)生用基本不等式解決常見的最值和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程； 由“弦圖”引出基本不等式用代數(shù)法證明基本不等式從幾何和代數(shù)角度探究基本不等式的變形形式用基本不等式解釋生活中的實(shí)際問(wèn)題課本變式中利用基本不等式求最值歸納總結(jié)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖（4）教學(xué)流程： 二、教學(xué)實(shí)錄（一）溫故知新，回顧基本不等式。情景引入：【投影顯示】趙爽弦圖。問(wèn)題1、請(qǐng)同學(xué)們重溫“趙爽弦圖”，比較正方形abcd的面積s和里面的四個(gè)小三角形面積之和s的大小，看可以得到怎樣的不等關(guān)系？（通過(guò)對(duì)“趙爽弦圖”

6、的觀察，使學(xué)生由形識(shí)數(shù)，從幾何圖形中得到重要不等式的代數(shù)形式：當(dāng)且僅當(dāng)，a=b時(shí)，取得等號(hào)。）問(wèn)題3、那么在使用基本不等式時(shí)，對(duì)實(shí)數(shù)a、b有什么要求呢？（）下面請(qǐng)大家打開課本第98頁(yè)，看探究中的圖3.4-3。 問(wèn)題5、讓d點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，請(qǐng)大家指出等號(hào)成立的條件。鏈接1：幾何畫板趙爽弦圖 (以數(shù)構(gòu)形，讓學(xué)生在實(shí)際圖形中感受基本不等式的幾何解釋。)（二）代數(shù)應(yīng)用，利用基本不等式證明。鏈接2：幾何畫板單位圓中解讀基本不等式及其變形形式的幾何意義問(wèn)題6、過(guò)c做ce垂直與od與e，過(guò)o做of垂直于ab交圓o于f，連接fc,請(qǐng)大家計(jì)算de和fc的長(zhǎng)度. 剛剛我們計(jì)算出的，在數(shù)學(xué)中稱之為調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)。

7、問(wèn)題7、請(qǐng)大家比較它們的大小關(guān)系，用不等號(hào)將，連接起來(lái)。 由,.問(wèn)題8、在這個(gè)鏈狀不等式中，有三處等號(hào)，這三個(gè)等號(hào)能否同時(shí)成立呢？(設(shè)計(jì)意圖：對(duì)圖形進(jìn)行進(jìn)一步分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)。讓學(xué)生體會(huì)到我們不僅能以數(shù)構(gòu)形，尋找到數(shù)量關(guān)系的幾何解釋，更重要的是，對(duì)圖形的觀察分析可以以形識(shí)數(shù)，發(fā)現(xiàn)和完備我們的代數(shù)結(jié)論。)問(wèn)題9、當(dāng)然，僅僅通過(guò)觀察得到圖形中的感性認(rèn)識(shí)是不夠的，下面讓我們一起完成上面這個(gè)不等式鏈的代數(shù)證明。問(wèn)題10、首先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的具體證明要分幾個(gè)步驟？（設(shè)計(jì)意圖：在剛才的探究過(guò)程中，我們對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)得到了拓展，并且對(duì)它的理解在從由形到數(shù)，由數(shù)到形的過(guò)程中，從感

8、性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。）（三）課本變式，利用均值不等式求最值將課本打開到第99頁(yè)的題目做一些修改，大家重新思考。 對(duì)于例2，我們改為：變式1、某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)。（1） 試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使得總造價(jià)最低，并（四）實(shí)際應(yīng)用，體會(huì)基本不等式的實(shí)際意義?！就队帮@示】 安德森概念本 華為s7問(wèn)題11、請(qǐng)

9、同學(xué)們看大屏幕，這是富士通剛推出的“安德森”正方形概念本和華為的平板電腦“s7”；它們屏幕都是6.5寸，這是否意味著它們的屏幕面積都是一樣大呢？問(wèn)題12、那大家認(rèn)為誰(shuí)的屏幕更大一些，請(qǐng)談?wù)劺碛?。?wèn)題13、最后我們回到筆記本的屏幕上，大家知道，同樣是17寸的筆記本，5年前的屏幕和現(xiàn)在的屏幕有什么變化嗎？問(wèn)題14、那改變長(zhǎng)寬比的原因是什么呢？問(wèn)題15、從材料上來(lái)看，大家認(rèn)為16:9比4:3更為節(jié)省材料是吧？大家對(duì)角線一定的情況下，長(zhǎng)寬比對(duì)面積有什么影響呢？（設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)酒饘W(xué)生的感性認(rèn)識(shí)：差異越大，面積越小，帶著這個(gè)問(wèn)題，重溫“趙爽弦圖”根據(jù)圖像的動(dòng)態(tài)變化感受長(zhǎng)寬比對(duì)面積的影響。通過(guò)將學(xué)生在實(shí)際生活

10、中對(duì)不等式的感性認(rèn)識(shí)提煉為理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，感受不等式和生活的緊密聯(lián)系和指導(dǎo)意義。）鏈接3：幾何畫板趙爽弦圖（五）歸納總結(jié)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖.（六）方法提煉，數(shù)學(xué)思想升華。三、教學(xué)反思形數(shù)結(jié)合是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要思想。.本課的設(shè)計(jì)思路是：“從趙爽弦圖引出基本不等式利用代數(shù)知識(shí)證明基本不等式從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度發(fā)掘基本不等式的變形形式數(shù)學(xué)建模，利用基本不等式求最值實(shí)際應(yīng)用，利用基本不等式指導(dǎo)生活實(shí)踐”。從幾何圖形中提煉和挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)，完成從感性認(rèn)識(shí)逐步上升為以抽象概括為主的理性認(rèn)識(shí)，然后指導(dǎo)生活實(shí)踐. 在整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程中，始終體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)問(wèn)和引導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，為增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在設(shè)計(jì)之初精心安排“趙爽弦圖”的背景，同時(shí)在后續(xù)探究中，不斷的讓學(xué)生從單位圓中發(fā)現(xiàn)基本不等式的變形形式，到后面讓學(xué)生用代數(shù)知識(shí)證明不等式鏈，讓學(xué)學(xué)生探究問(wèn)題的過(guò)程中既復(fù)習(xí)了數(shù)學(xué)知識(shí)，又培養(yǎng)了他們形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；在思維拓展中，利用課本變式，引導(dǎo)學(xué)生用基本不等式求最值，訓(xùn)練了學(xué)生的建模思想，體會(huì)了不等式的應(yīng)用；最后圍繞電腦屏幕問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)以致用，真正感受到數(shù)學(xué)無(wú)窮的魅力所在；以上種種正好體現(xiàn)出新課程的新理念.成功之處：在本節(jié)